Элективный курс для профильного обучения в 11-м классе "Четырехмерное пространство и его свойства"

Пояснительная записка

Данный курс по выбору является предметно-ориентированным. Рассчитан на 34 часа в 11-м классе. Предлагаемый к изучению материал расширяет и углубляет знания учащихся по стереометрии базового курса математики. Учитель на доступном пониманию учащихся материале показывает возможности использования аксиоматического метода при построении гиперстереометрии, формирует у учеников математический стиль мышления, развивает пространственное воображение.

Целью изучаемого курса является расширение знаний по геометрии и дальнейшее развитие логического мышления учащихся.

Задачи изучаемого курса:

- развивать и закреплять навыки и умения решения геометрических задач и доказательства теорем;

- реализация учеником интереса к математике как выбранному профильному предмету;

- создание условий для подготовки к экзамену по выбору;

- расширить и систематизировать представления учащихся по аксиоматическому методу построения математической теории;

- дать опыт работы с математической литературой.

В результате изучения курса учащиеся должны:

- иметь представление о пространствах различных измерений;

- получить представление о применении четвёртого измерения в физике;

- решать задачи на доказательство;

- решать задачи на вычисление геометрических величин, проводя необходимую аргументацию;

- изображать геометрические фигуры, выполнять чертежи по условию задачи;

- иметь опыт работы в паре и группе.

Контроль достижений учащихся осуществляется в форме поурочного балла, оценки качества выполнения домашних заданий, выполнения моделей трёхмерных проекций и реферата, его оформление и защита. Завершается изучение курса обобщающим уроком. Наивысшая оценка по завершении изучения курса ставится ученику при условии выполнения всех предложенных заданий.

Тематическое планирование

Содержание учебного материала
(1 час в неделю, всего 34 часа)

1. Введение (3 ч.).

Предмет гиперстереометрии. Аксиомы гиперстереометрии. Некоторые следствия из аксиом. Способы задания трехмерных пространств. Пересечение трёхмерного пространства прямой и плоскостью.

Основная цель – сформировать у учащихся представления об основных понятиях и аксиомах гиперстереометрии.

Тема играет важную роль в развитии математических представлений учащихся, фактически они впервые здесь знакомятся с четырёхмерным пространством. Учащиеся увидят, что геометрия не остановилась в своём развитии, а играет всё возрастающую роль в познании мира. Материал темы обобщает и систематизирует известные учащимся сведения из планиметрии и стереометрии.

2. Параллельность плоскостей и трёхмерных пространств (2 ч.).

Параллельные и скрещивающиеся плоскости в гиперпространстве. Плоскость, параллельная трёхмерному пространству. Признаки параллельности плоскости и трёхмерного пространства. Свойство трёхмерного пространства, проходящего через плоскость, параллельную другому трёхмерному пространству. Свойство плоскости, параллельной трёхмерному пространству. Гиперкуб.

Основная цель - дать ученикам систематические знания о параллельности плоскостей и трёхмерных пространств в гиперпространстве; ввести понятие скрещивающихся плоскостей в гиперпространстве.

Здесь учащиеся знакомятся с изображением гипертела на плоскости и моделями проекций гипертела на трёхмерное пространство.

3. Параллельность прямых и трёхмерных пространств (1 ч.).

Параллельность прямой и трёхмерного пространства. Признак параллельности прямой и трёхмерного пространства. Свойство прямой, параллельной трёхмерному пространству.

Основная цель - дать ученикам систематические сведения о параллельности прямых и трёхмерных пространств.

Изучение темы можно вести на наглядной основе, опираясь на изображение гиперкуба на плоскости и модели проекции его на трёхмерное пространство.

4. Параллельность трёхмерных пространств (2 ч.).

Параллельные трёхмерные пространства. Свойства параллельных трёхмерных пространств. Признаки параллельности трёхмерных пространств.

Основная цель - дать ученикам систематические сведения о параллельности трёхмерных пространств в гиперпространстве.

При изучении темы следует обратить внимание на часто используемый метод от противного при доказательстве теорем, знакомый учащимся из курсов планиметрии и стереометрии, и на теоремы, аналогичные теоремам стереометрии.

Использование трёхмерных проекций гиперкуба облегчит учащимся восприятие и усвоение материала темы.

5. Перпендикулярность прямых и трёхмерных пространств (3 ч.).

Перпендикулярность прямой и трёхмерного пространства. Свойства и признаки перпендикулярности прямой и трёхмерного пространства, связь параллельности прямых с перпендикулярностью прямой и трёхмерным пространством и связь параллельности трёхмерных пространств с перпендикулярностью прямой и трёхмерного пространства. Перпендикуляр и наклонная к трёхмерному пространству.

Теорема о трёх перпендикулярах.

Основная цель - дать учащимся систематические сведения о перпендикулярности прямых и трёхмерных пространств.

При изучении темы показать связь между параллельностью и перпендикулярностью, подчеркнуть аналогию между этими отношениями в четырёхмерном, трёхмерном и двумерном пространстве.

В ходе изучения темы обобщаются и систематизируются знания учащихся о перпендикулярности прямых, перпендикуляре и наклонных, известные из курсов планиметрии и стереометрии. Постоянное обращение к знакомому материалу и использование наглядности будет способствовать более глубокому усвоению темы.

6. Перпендикулярность плоскости и трёхмерного пространства (1 ч.).

Перпендикулярность плоскости и трёхмерного пространства. Признак перпендикулярности прямой и трёхмерного пространства. Свойство плоскости, перпендикулярной трёхмерному пространству.

Основная цель - дать учащимся систематические знания о перпендикулярности плоскости и трёхмерного пространства.

Использование трёхмерной модели проекции гиперкуба на трёхмерное пространство поможет учащимся в более глубоком усвоении темы.

7. Декартовы координаты и векторы в четырёхмерном пространстве (3 ч.).

Декартовы координаты в гиперпространстве. Расстояние между точками. Координаты середины отрезка. Преобразования фигур в четырёхмерном пространстве. Движение и его свойства. Параллельный перенос и его свойства. Преобразование подобия. Угол между прямой и трёхмерным пространством. Угол между плоскостью и трёхмерным пространством. Угол между скрещивающимися плоскостями. Угол между трёхмерными пространствами. Ортогональная проекция гипертела на трёхмерное пространство. Векторы в четырёхмерном пространстве. Абсолютная величина, направление вектора, равенство векторов. Координаты вектора. Равенство векторов.

Действия над векторами: сложение векторов и его свойства, умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов. Разложение вектора по координатным осям.

Уравнение трёхмерного пространства.

Основная цель - обобщить и систематизировать знания учащихся о векторах , декартовых координатах, преобразованиях фигур в пространстве; ввести понятие угла между прямой и трёхмерным пространством, угла между плоскостью и трёхмерным пространством, угла между трёхмерными пространствами, угла между скрещивающимися плоскостями.

Рассмотрение векторов и системы декартовых координат носит характер повторения, новым для учащихся является четырёхмерная система координат и четырёхмерный вектор , и уравнение трёхмерного пространства.

8. Гипермногогранники (5 ч.).

Гиперпризма. Прямая и правильная гиперпризма.Гиперпараллелепипед. Гиперпирамида. Правильная гиперпирамида. Усечённая гиперпирамида. Теорема о сечениях гиперпирамиды, параллельных её основанию. Правильные гипермногогранники. Теорема Эйлера.

Основная цель - дать учащимся систематические сведения об основных видах гипермногогранников. На материале, связанном с изучением геометрических фигур в четырёхмерном пространстве систематизируются знания учащихся о многогранниках трёхмерного пространства. Пространственные представления учащихся развиваются в процессе решения задач и построения соответствующих чертежей.

9. Гипертела, полученные из тел вращения (5 ч.).

Гиперцилиндр , его виды и элементы. Сечения гиперцилиндра. Гиперконус , его виды и элементы. Сечения гиперконуса. Гипершар. Сечения гипершара. Касательная плоскость к гипертелу. Касательное трёхмерное пространство к гипертелу. Уравнение гиперсферы.

Основная цель - познакомить учащихся с гипертелами, полученными из тел вращения. В ходе знакомства с теоретическим материалом изучается взаимное расположение гипертел и плоскостей, гипертел и трёхмерных пространств, происходит знакомствос понятиями описанных и вписанных гипермногогранников.

Продолжается развитие пространственных представлений и формирование логических и графических умений.

10. Гиперобъёмы гипертел (4 ч.).

Понятие о гиперобъёме. Свойства гиперобъёмов. Гиперобъёмы гипермногогранников: прямоугольного и наклонного гиперпараллелепипедов, гиперпризмы, гиперпирамиды. Гиперобъёмы гипертел, в основании которых лежат тела вращения. Гиперобъём гипершара.

Основная цель - продолжить систематическое изучение гипермногогранников и гипертел, в основании которых лежат тела вращения , в ходе решения задач на вычисление их гиперобъёмов.

В теоретическом материале темы выведено несколько формул, удобных для вычисления гиперобъёмов гипертел.

11. Объемы границ гипертел (3 ч.).

Объём границы гипермногогранников: гиперпризмы, гиперпирамиды.

Объём границы гипертел, полученных из тел вращения: прямого гиперцилиндра и прямого гиперконуса. Объём границы гипершара.

Основная цель - продолжить ознакомление учеников с геометрическими величинами. Аппарат для нахождения этих величин взят из курса начал анализа: интегрирование и вычисление пределов.

12. Повторение. Решение задач (2 ч.).

Литература для учителя и учащихся

1. Котенок А.Н. Гиперкуб. Первый шаг в четвёртое измерение. М., Математика (еженедельное приложение к газете “Первое сентября”), № 44 / 1999.

2. Котенок А.Н. Гиперпирамида. Второй шаг в четвёртое измерение. М., Математика. (еженедельное приложение к газете “Первое сентября”), № 31/2001.

3. Котенок А.Н. Гиперсфера. Математика (приложение к газете “Первое сентября”), № 13/2005.

4. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7–9-го кл. общеобразоват. учреждений / А.В. Погорелов. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 2004. - 224 с. : ил.

5. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 10–11-го кл. общеобразоват. учреждений / А.В. Погорелов. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2002. - 128 с. : ил.

6. Щербакова Т.П. Гиперстереометрия. Учеб. пособие для 11-го кл. общеобразоват. учреждений / Рукопись. – 56 с.