Урок по теме "Уравнение касательной к графику" для 10-х классов с углубленным изучением математики

Тема: Уравнение касательной к графику.

Цель урока: повторить теоретические знания по данной теме, закрепить их при решении задач.

Ход урока

1. Устная работа

1) Геометрический смысл производной.

- Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х₀ можно провести касательную не параллельную оси Оу, то производная данной функции в точке х₀ выражает угловой коэффициент касательной.

2) Записать формулу уравнения касательной.

у =

3) Известно, что угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀ равен 0,6. Чему равно значение производной в этой точке?

- геометрический смысл.

4) Касательная к графику функции f(x) в точке с абсциссой х₀ образует с положительным направлением оси Ох угол 45⁰. Найдите значение производной в точке касания.

, т.к.

5) В каких точках кривой у = 2 – х² касательная к ней параллельна оси Ох.

(0; 2)

6) Какой угол (острый или тупой ) образует с положительным направлением оси Ох касательная к графику функции в точке с абсциссой х₀.

а) - острый.

б) - тупой.

2. Проверка домашней работы.

Двое работают у доски во время устной работы.

3. Работа в группах.

Учитель выступает в роли консультанта. Порядок выполнения заданий не играет роли.

Задача 1. Найти угол между касательными к графику функции , проведенными в точках с абсциссами 1 и 2.

Решение: . Найдем тангенсы углов наклона касательных к положительному направлению оси Ох.

- угол между касательными;

;

;

.

Задача 2. Является ли прямая у=х-1 касательной к кривой у=х³-2х+1?

Решение: Найдем общие точки графиков.

х³-2х+1=х-1.

х³-3х+2=0.

х=1 – корень.

Воспользуемся схемой Горнера.

	1	0	-3	2
1	1	1	-2	0

х² + х – 2 = 0.

х₁= 1, х₂ = -2.

у(1) = 0; у(-2) = - 3.

(1;0), (-2;-3) – общие точки.

Найдем угловые коэффициенты касательных в этих точках:

.

k₁= k₂=, т.к. угловой коэффициент прямой у=х-2 равен 1, то в точке (-2;-3) она не может быть касательной.

Найдем уравнение касательной в точке (1;0)

у=1(х-1); у=х-1.

Ответ: у=х-1 – касательная в точке (1;0) к графику функции у= х³-2х+1.

Задача 3. На параболе у=х² взяты две точки с абсциссами 1 и 3. Через эти точки проведена прямая. В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой?

Решение: у=х² , (1;1), (3;9).

Найдем уравнение прямой .

4х - 4=у – 1.

у = 4х – 3.

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.

- угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х₀.

2х₀ = 4.

х₀ = 2.

у(2) = 4.

Ответ: в точке (2;4) касательная параллельна заданной прямой.

Задача 4. Составить уравнение касательной к графику функции у=х³, х>0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна .

Решение: Пусть (х₀; у(х₀)) - точка касания . Составим уравнение касательной у=х₀³+3х₀²(х-х₀).

Найдем точки пересечения этой прямой с осями координат:

с Оу х=0. у= х₀³+3х₀³=-2х₀³ . В(0; - 2х₀³).

с Ох у=0. х₀³+3х₀²(х-х₀) =0.

х₀³+3х₀²х-3х₀³ =0.

3х₀²х= 2х₀³

.

А(; 0).

ОВ = 2х₀³; ОА = .

Sтреуг = ОВ*ОА.

х₀⁴ = 1.

х₀ = 1 или х₀ = - 1.

По условию х₀ > 0 х₀ = 1 – абсцисса точки касания.

Уравнение касательной у = 1³ + 3*1³(х – 1).

у = 3х – 2.

Ответ: у = 3х – 2.

4. Итог урока.

Тестовые задания:

В – I.

1. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀ = - 1.

А) у=-2х-3; Б) у= 2х-1; В) у= -2х+3; Г) у= 2х+3.

2. К графику функции у=3(х+2) проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х₀= - 1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции.

А) - 2; Б) 2; В) 1; Г) - 3.

3. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x² – 4x + 5, если эта касательная проходит через точку (0; 4) и абсцисса точки касания положительна.

А) у = 2х+4; Б) у = -2х+4; В) у = -4х+4; Г) у = 4х-3.

В – II.

1. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀ = - 2.

А) у =2х-6; Б) у = 10х+12; В) у= 4х+8; Г) у= -10х+8.

2. К графику функции у=-4(х-3) проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х₀= 1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции.

А) - 1; Б) 5; В) 2; Г) - 3.

3. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x² + 3x + 5, если эта касательная проходит через точку (0; 1) и абсцисса точки касания отрицательна.

А) у = 2х+1; Б) у = х+1; В) у = -х+1; Г) у = -2х-5.

Ключ:

I

1	2	3
В	Г	Б

II

1	2	3
Б	Б	В

5. Подведение итогов.

6. Домашнее задание:

1. Найдите уравнение параболы f(x)=ax² + bx + 1 касающейся прямой у=7х + 2 в точке М (1; 5). Ответ: f(x)=3x² + x + 1
2. Вычислите координаты точек пересечения с осью У тех касательных к графику , которые образуют угол 135⁰ с осью Х. Ответ: (0; 12); (0; 0)