Тип урока:
урок “открытия” нового знания.Цели урока:
1. Образовательные:
- ввести определения сферы и шара и связанных с ними понятий (центр, радиус, диаметр, хорда, ось, полюса, диаметрально противоположные точки, большой круг, большая окружность);
- рассмотреть сечение шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстоянии, меньшем радиуса шара (изучить теорему 6.3).
2. Развивающие:
- развивать пространственное воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание;
- учить учащихся учиться математике, самостоятельно добывать знания.
3. Воспитательные:
- воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, волю;
- формировать эмоциональную культуру и культуру общения.
Методы обучения: словесный, наглядный, деятельностный.
Формы обучения: коллективная, индивидуальная.
Оборудование: мультимедиа проектор, экран, модель сферы, модель шара, модель круга, модель окружности, шаблон сферы, шаблон круга, глобус, указка, цветные мелки.
Структура урока:
1) Организационный момент – 2 минуты.
2) Проверка домашнего задания - 2 минуты.
3) “Открытие” новых знаний – 19 минут.
4) Первичное осмысление и закрепление новых знаний – 15 минут.
5) Постановка домашнего задания – 2 минуты.
6) Подведение итогов урока – 4 минуты.
7) Рефлексия - 1 минута.
1. Организационный момент.
Приветствие учеников. Сообщение учащимся краткого плана урока. Ребята, работа предстоит большая, поэтому, прошу всех настроиться на серьёзную работу.
2. Проверка домашнего задания.
Ребята, дома вы написали к сегодняшнему уроку домашнюю контрольную работу по теме: “Цилиндр, конус” (Т.Л. Афанасьева, Л.А. Тапилина. Геометрия. 11 класс. Поурочные планы. Волгоград. Издательство “Учитель”, 1999).
Вариант 1.
1. В цилиндре радиуса 5 см проведено параллельное оси сечение, отстоящее от неё на расстояние 3см. Найдите высоту цилиндра, если площадь указанного сечения равна 64см2.
2. Угол при вершине осевого сечения конуса с
высотой 1м равен 60
.
Чему равна площадь сечения конуса, проведённого
через две образующие, угол между которыми равен 45?
3. В усечённом конусе диагональ осевого сечения равна 10м, радиус меньшего основания 3м, высота 6м. Найдите радиус большего основания.
Вариант 2.
1. В цилиндре с высотой 6см проведено параллельное оси сечение, отстоящее от неё на расстояние 4см. Найдите радиус цилиндра, если площадь указанного сечения равна 36см 2.
2. Угол при вершине осевого сечения конуса с
высотой 1м равен 120.
Чему равна площадь сечения конуса, проведённого
через две образующие, угол между которыми равен 60?
3. В усечённом конусе диагональ осевого сечения равна 10м, радиусы оснований 2м и 4м. Найдите высоту конуса.
Анализ работы проведём на следующем уроке, после того как я ваши работы проверю. А пока посмотрите, какие ответы вы должны были получить <слайд №1 презентации>.
3. “Открытие” новых знаний.
Ребята, к сегодняшнему уроку я просила повторить вас определение окружности, круга и всех понятий, связанных с ними. Все точки круга и окружности, обладая определённым свойством, лежат в одной плоскости, А теперь давайте представим, что точки не лежат в одной плоскости, а находятся в пространстве. Получили два геометрических тела: шар и сферу.
Ребята, тема нашего урока: “Шар и сфера. Сечение шара плоскостью <слайд №2 презентации>. Сегодня на уроке мы должны с вами изучить определения шара, сферы, всех связанных с ними понятий; рассмотреть сечение шара плоскостью. Сформулируйте определение шара (шар-это геометрическое тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки, эта точка называется центром шара, а данное расстояние - радиусом шара). Сформулируйте определение сферы (сфера-это геометрическое тело, которое состоит из всех точек пространства, равноудалённых от данной точки, эта точка называется центром сферы, а данное расстояние - радиусом сферы). Ребята, а ещё сферой или шаровой поверхностью называют границу шара. Шар и сфера являются телами вращения. Попытайтесь сформулировать определение шара и сферы, как тел вращения (шар-это геометрическое тело, которое получается при вращении полукруга или круга вокруг его диаметра как оси; сфера - это геометрическое тело, которое получается при вращении полуокружности или окружности вокруг её диаметра как оси). Слова “шар” и “сфера” происходят от одного и того же греческого слова “сфайра” - мяч.
Рассмотрим определения понятий, связанных с шаром и сферой: радиуса, хорды, диаметра, оси, полюсов, диаметрально противоположных точек, диаметральной плоскости, большого круга, большой окружности <слайд №3 презентации>. Все новые для вас определения, сформулированные сегодня на уроке, вы найдёте в пункте 58 учебника. Их надо выучить.
Ребята, как вы думаете, каково может быть взаимное расположение плоскости и шара? <слайд №4 презентации>. Сколько общих точек у шара и плоскости в каждом случае? Рассмотрим подробно последний случай, когда (R>d). Ребята, как вы думаете, какая фигура является сечением шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстоянии, меньшем радиуса шара? (Круг). Теорему о сечении шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстоянии, меньшем радиуса шара (теорема 6.3, пункт 59. “Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость”), докажет Рыжова Екатерина (на “отлично” успевающая по геометрии ученица). Доказательство этой теоремы она подготовила для вас дома. Некоторое время на уроке Екатерина будет учителем, поэтому, всё, что она записывает на доске, вы записываете в своих тетрадях. После доказательства теоремы прошу Рыжову Екатерину выписать формулу радиуса круга, являющегося сечением, затем из этой формулы все вместе записываем формулу, связывающую радиус шара, радиус сечения, расстояние от центра шара до секущей плоскости <слайд №5 презентации>.
Следствие 1. Плоскости, равноудалённые от центра шара, пересекают шар по равным кругам и обратно: сечения шара, имеющие равные радиусы, равноудалены от центра шара.
Следствие 2. Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечением является большой круг с центром и радиусом шара.
При решении задач на шар (сферу) чаще всего чертят осевое сечение шара (сферы) - круг, тогда большая окружность изображается диаметром этого круга. Ну, а если хотят сделать рисунок шара или сферы, то чертят круг; центр круга, являющийся центром шара (сферы); большой круг изображают в виде эллипса; чертят полюса, которые чуть-чуть “затапливают” <слайд №6 презентации>.
Приведите примеры из окружающего нас мира тел,
имеющих шарообразную форму. Говорить о значении
шара (сферы) в жизни человека можно очень много, и
мы будем это делать на последующих уроках. Я хочу
только дополнить, что свойства шара и сферы
продолжают изучать и в наши дни физики, химики,
биологи, астрономы, геодезисты, медики, так как уж
очень часто их объекты наблюдения и исследования
имеют шарообразную форму. В математике есть
такой раздел, который изучает фигуры на
поверхности сферы - это сферическая геометрия.
Роль прямых в ней выполняют большие окружности.
Примером фигуры сферической геометрии является
сферический треугольник. Сумма его углов больше
180 <слайд
№7 презентации>. Будет замечательно, если
кто-то из вас, ребята, заинтересуется сферической
геометрией и захочет её самостоятельно изучить.
4. Первичное осмысление и закрепление новых знаний.
Решение задач учащимися под руководством учителя и с его помощью: №30, №34 на странице 95 учебника.
№30 “Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?”.
№34 “На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6см, 8см, 10см. Радиус шара 13см. Найдите расстояние от центра до плоскости, проходящей через эти точки”.
5. Постановка домашнего задания.
П.58, п.59; №29, №31, №32; №33 (для желающих) <слайд №8 презентации>.
6. Подведение итогов урока. <слайд №9 презентации>.
1) Вопросы для закрепления:
- Что такое шар?
- Что такое шаровая поверхность или сфера?
- Что такое радиус, диаметр, хорда шара?
- Какие точки называются диаметрально противоположными?
- Что является сечением шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстояние, меньшее радиуса шара?
- Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара?
- Что такое большой круг, большая окружность?
2) Несколько учеников по просьбе учителя оценивают работу класса на уроке; оценивают свою собственную работу на уроке. Учитель оценивает работу учащихся на уроке.
7. Рефлексия.
Ребята, я оценила вашу работу на уроке. Я прошу вас, когда вы будете после урока выходить из класса, оцените каждый самостоятельно свою работу на уроке с помощью соответствующего смайлика на листе бумаги, помещённом на крыле магнитной доски.
Урок окончен, спасибо вам за урок, ребята.
Литература
- Т.Л. Афанасьева, Л.А. Тапилина. Геометрия. 11 класс. (Поурочные планы). Волгоград. Издательство “Учитель”, 1999.
- Г.И. Глейзер. История математики в школе.VII-VIII классы. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1982.
- А.Н. Земляков. Геометрия в 11 классе. Методические рекомендации к учебнику А.В.Погорелова. М.: Просвещение, 2003.
- А.В. Погорелов. Геометрия. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2005.