Урок-проект по теме "Практическое применение прогрессии"

Цели:

• Развитие наглядно – образного мышления.
• Развитие логической памяти.
• Развитие кругозора и познавательного интереса учащихся через исследование разных источников информации по одной теме.

Задачи:

• Научить учащихся добывать информацию из различных источников и ее обрабатывать.
• Научить учащихся анализировать, обобщать, сопоставлять полученные знания с известными фактами и делать аргументированные выводы.
• Воспитывать познавательную активность, стремление расширять свой кругозор.
• Научить использовать полученные знания в жизни.

Структура урока:

1. Орг. момент.
2. Исторический материал.
3. Решение упражнений.
4. Итог.
5. Домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент.

Учитель объявляет тему урока, цели и задачи, ход урока.

2. Исторический материал (сообщение ученика).

Прогрессии – частные виды числовых последовательностей – встречаются в памятниках 2 тысячелетия до н.э. В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Задачи по данной теме имеются и в древнекитайском трактате “Математика в девяти книгах”, в котором нет, однако, указаний на применение какой – либо формулы суммирования.

Первые из пришедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства…

Теоретические сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции.

В “Исчислении песчинок” Архимед впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии, и указывает на связь между ними.

Слово “прогрессия” латинского происхождения, буквально означает “движение вперед”. Первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, построению по закону, позволяющему неограниченно продолжать ее в одном направлении, например последовательности натуральных чисел, их квадратов и кубов.

В настоящее время мы рассматриваем прогрессии как частные случаи числовых последовательностей.

3. Повторение.

На доске написано два ряда чисел. Вызывается два ученика, каждый из которых определяет вид последовательности и записывает все формулы полученной прогрессии.

4. Решение задач.

Ученики заранее получили задания от учителя: подобрать задачи по теме: “прогрессия” с практическим применением. Учащиеся на уроке в виде презентации показывали решения своих задач.

Задача 1 (на движение). Из пункта А выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Спустя 3 ч вслед ему отправился мотоциклист. Который в первый час проехал 20 км, а в каждый следующий час проезжал на 1 км больше, чем в предыдущий. Сколько часов потребовалось мотоциклисту, чтобы догнать велосипедиста?

Решение: данная задача на арифметическую прогрессию. Разность прогрессии 1. Первый член прогрессии 20. Пусть за n часов мотоциклист догонит велосипедиста. Тогда велосипедист проехал 15 * 3 + 15 * n км., а мотоциклист проехал *n км. Пути у них одинаковые. Составим и решим уравнение:

15 * 3 + 15 * n = *n ,
n² + 9n – 90 = 0,
n = 6.

Ответ:6 часов.

Задача 2 (на работу). Артель изготовила в январе 118 изделий, а в каждый следующий месяц она изготавливала на 8 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила артель в марте; в декабре?

Решение: применяем арифметическую прогрессию. Первый член прогрессии 118. Разность 8. Третий член прогрессии равен 118 + 8 * (3 – 1) = 134. Двенадцатый член прогрессии равен 118 + 8 * (12 – 1) = 206.

Ответ: в марте артель изготовила 134 изделия, в декабре 206 изделий.

Задача 3 (строительство). Вертикальные стержни фермы имеют такую длину: наименьший а₁ = 5 дм, а каждый следующий на 2 дм длиннее. Записать длину семи стержней.

Решение: применяем арифметическую прогрессию.а₁ = 5, а₂ = 5 + 2 = 7, а₃ = 7 + 2 = 9, а₄ = 9 + 2 = 11, а₅ = 11 + 2 = 13, а₆ = 13 + 2 = 15, а₇ = 15 + 2 = 17.

Ответ: 7м, 9м, 11м, 13м, 15м, 17м.

Задача 4 (биология). В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Записать колонию, рожденную одной бактерией за 7 минут.

Решение: применяем геометрическую прогрессию.b₁ = 1, q = 2.

b₈ = b₁ * q^{n – 1}, b₈ = 1 * 2^{8 – 1} = 128. S₈ = b₁ *(qⁿ – 1) :(q – 1). S = 1 * (2⁸ – 1) : (2 – 1) = 255. Получилось 255 бактерии. Но среди них присутствует и первоначальная бактерия. Значит от нее родились 254 бактерии.

Ответ: 254 бактерии.

Задача 5 (сельское хозяйство). Одно растение василька производит в среднем 1500 семян. Семена сохраняют всхожесть до 10 лет. Определите запасы семян этого сорняка в почве после 5 лет засорения на одном поле.

Задача 6 (рыбное хозяйство). Осетр живет 50 лет, Каждый год он мечет 300 тыс. икринок, выметывая за свою жизнь более 15 млн. Подсчитайте потенциально возможное потомство 3 самок за 10 лет.

Задача 7. Вычислить: 7,5 + 9,8 + 12,1 + …+ 53,5(слагаемые составляют арифметическую прогрессию).

Решение: а₁ = 7,5, d = 9,8 – 7,5 = 2,3, а_n = 53,5, а_n = а₁ + d(n – 1),

53,5 = 7,5 + 2,3(n – 1), n = 21. S =( 7,5 + 53,5):2 * 21 = 640,5.

Ответ: 640,5.

Задача 8. Решить уравнение: 2 + 5 + 8 + …+ х = 155(слагаемые составляют арифметическую прогрессию).

Решение: d = 5 – 2 = 3, s_n = (2a₁ + d(n – 1) ) * n : 2,

155 =( 2 * 2 + 3(n -1)) * n : 2,
n = 10.
a_n = 2 + 3 * 9 = 29.
х = 29.

Ответ: 29.

5. Итог:

Что интересного и полезного узнали на данном уроке?
Что уже знали, а что узнали нового?

6. Домашнее задание:

Найдите задачи практического содержания, где будет использована тема прогрессия.