Урок алгебры в 8-м классе по теме "Метод подстановки"

 Цели урока:

 Образовательная: формирование навыков решения дробно-рациональных уравнений методом подстановки.

 Развивающая: развитие памяти, любознательности, познавательного интереса учащихся, умения преодолевать трудности при решении задач.

 Воспитательная: воспитание аккуратности, наблюдательности, настойчивости в учёбе, умения видеть красивое и удивительное вокруг нас.

 Оборудование:

1) таблицы «Этапы решения уравнения»; «Схема решения биквадратного уравнения»;
2) плакат со словами В. Гюго о математике и поэзии: «Дух человеческий открывается тремя ключами: это – число, буква, нота»;
3) карточки с заданием для самостоятельной работы;
4) карточки для блиц-опроса;
5) ключи из картона, на которых написаны методы решения дробно-рациональных уравнений.

I. Ознакомление с темой урока, постановка цели.

- Сегодня на уроке мы продолжаем знакомиться с техникой решения дробных рациональных уравнений. Какие методы решения дробных рациональных уравнений вам известны?

- Итак, ребята, в наших руках теперь есть «связка ключей» к решению уравнений, содержащих переменную в знаменателе [1].

Ключ 1. Условие равенства дроби нулю.

Ключ 2. Условие равенства двух дробей с одинаковыми знаменателями.

Ключ 3. Критерий равенства двух дробей или основное свойство пропорции.

Ключ 4. Свойство равенства.

- У кого любимый «ключ» 1, 2, 3, 4?

А кто применяет разные «ключи» в зависимости от ситуации?

II. Проверка домашнего задания.

- Проверим домашнее задание. Дома необходимо было решить уравнение, используя все названные методы. Ответ: х=0.

- Прежде, чем расстаться с данным уравнением, хочу обратить внимание на одну его особенность. При любом способе решения вы переходили от дробного уравнения к целому уравнению . Как вы считаете, равносильны ли данные уравнения? (Нет!)

- Почему? (Корни целого уравнения х=0 и х=2. Но х=2 не является корнем дробного уравнения).

- То есть, дробные уравнения надо решать с осторожностью.

III. Изучение нового материала.

- Рассмотрим уравнение

Напомню, что, как и решение любой задачи, решение уравнения состоит из ряда этапов.

1. Анализ уравнения.
2. Составление плана решения.
3. Реализация этого плана.
4. Проверка решения.
5. Анализ метода решения и систематизация опыта.

- Итак, проанализируем уравнение. Прежде всего, отвечаем на вопрос, встречались ли мы с уравнениями такого вида ранее? (Да! Встречались! Это дробное рациональное уравнение).

- Известны ли методы решения дробно-рациональных уравнений? (Да! Известны! У нас есть связка ключей).

- Какой ключ надо использовать?

- Вывод! Если перебрать все ключи к решению дробно-рациональных уравнений, то окажется, что все они приведут к достаточно громоздкому целому уравнению. В нём будут слагаемые, содержащие от первой до четвёртой степени х! Такие громоздкие уравнения мы пока не решали. Можно попытаться всё-таки найти решение этого «тяжёлого» уравнения, а можно вернуться к исходному уравнению и ещё раз проанализировать его.

Попытайтесь выделить некоторые элементы уравнения, установить общие свойства у этих элементов, т. е. найти ещё один «ключ» к решению дробно-рациональных уравнений.

- Верно! Числители и знаменатели содержат выражение . Чтобы сделать структуру уравнения более обозримой, заменим выражение одной буквой, например, буквой t.

- Говорят, что произведена замена переменной.

Как вы считаете, целесообразна ли такая замена? Удастся ли решить новое уравнение? Удастся ли найти х по t? Попробуйте решить это уравнение (желающий ученик работает у доски).

Решение:

или

Вернёмся к исходной переменной.

Ответ: х=0; -2.

- Итак, мы решили уравнение методом замены переменной. В нашей связке появился ещё один «ключ». При этом мы действовали так:

1. Выделили выражение в уравнении и обозначили его буквой t.
2. Выполнили подстановку, получив при этом более простое уравнение относительно t.
3. Нашли корни нового уравнения.
4. Вернулись к «старой» переменной и получили два уравнения, решив которые нашли корни исходного уравнения.

- Нет ли других замен переменных, позволяющих решить данное уравнение? (Есть).

IV. Домашнее задание:

1) решить уравнение, используя метод подстановки:

Решить уравнение с помощью той подстановки, которая вам представляется более рациональной.

2) А можете ли вы подобрать замену в решении такого уравнения?

V. «Пора отвлечься!»

(решение нестандартной задачи «Замок с секретом» объясняет заранее подготовленный ученик).

Замок с секретом.

В одном учреждении обнаружен был несгораемый шкаф, сохранившийся с дореволюционных лет. Отыскивался и ключ к нему, но чтобы им воспользоваться, нужно было знать секрет замка; дверь шкафа открывалась лишь тогда, когда имевшиеся на двери 5 кружков с алфавитом на их ободах (36 букв) устанавливались на определённое слово. Так как никто этого слова не знал, то, чтобы не взламывать шкафа, решено было перепробовать все комбинации букв в кружках. На составление одной комбинации требовалось 3 секунды времени. Можно ли надеться, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней?

Решение:

Подсчитаем, сколько всех буквенных комбинаций надо было перепробовать. Каждая из 36 букв первого кружка может сопоставляться с каждой из 36 букв второго кружка. Значит, двухбуквенных комбинаций возможно 36х36=36І.

К каждой из этих комбинаций можно присоединить любую букву из третьего кружка. Поэтому трёхбуквенных комбинаций возможно 36Іх36=36і. Таким же образом определяем, что четырёхбуквенных комбинаций может быть 36іх36 , а пятибуквенных 36іх36І. , или 60466176, чтобы составить эти 60.000.000 с лишним комбинаций, потребовалось бы времени, считая по 3 секунды на каждую, 3х60.466.176=181.398.328 секунд. Это составляет более 50.000 часов, или почти 6.300 восьмичасовых рабочих дней–более 20 лет.

Значит, шансов на то, что шкаф будет открыт в течение ближайших 10 рабочих дней, имеется 10 на 6.300, или 1 из 630. Эта очень малая вероятность.

VI. Обобщение нового материала.

- Ребята! Мы рассмотрели, как применяется метод замены переменной на примере решения конкретного уравнения.

В математике существуют целые классы уравнений, которые можно решать с помощью данного метода [2].

Например: биквадратные уравнения.

При анализе выделяются 2 элемента и . Связь между ними проста: . Поэтому напрашивается замена .

Уравнение после замены принимает вид .

Изобразим схематично этапы решения такого уравнения

Можно ли решить уравнение , применяя подстановку ?

VII. Закрепление!

Самостоятельная работа на карточках с заданием.

VIII. Итоги урока.

Блиц-опрос. Ученики по очереди подходят к столу учителя, берут карточку и отвечают на вопрос.

Вопросы:

Спасибо за урок! Желаю, чтобы связка «ключей» пополнялась по мере изучения математики! Как сказал В. Гюго, «дух человеческий открывается тремя ключами: это – число, буква, нота».

1. Алгебраические дроби/ Э.Г. Гельфман, Л.М. Алфутова, М.С. Бухтяк и др. – Томск: Изд-во Томского университета, 2000. – 240 с.
2. Квадратные уравнения/ Э.Г. Гельфман, Ю.Ю. Вольфенгаут, И.Э. Гриншпон и др. – Томск: Изд-во Томского университета, 1999. – 248 с.
3. Ю.Н. Макарычев и др. Алгебра, 8 кл. – М.: Просвещение, 2001-2004.