Введем на плоскости систему координат: горизонтальная ось – ось абсцисс; вертикальная ось – оа, где а – параметр данного уравнения.
Решением уравнения вида f(a;x) * √g(a;x)=0 являются решения системы
Изобразив на выбранной координатной плоскости область, определяемую неравенством g(a;x)≥0 и построив график уравнения f(a;x)=0 мы определим количество решений заданного уравнения.
Рассмотрим некоторые примеры:
Сколько решений имеет уравнение в зависимости от а?
а) (х-а) * √х=0
Это уравнение равносильно системе
Неравенство х ≥ 0 определяет на координатной плоскости ХоА множество всех точек I и IV четвертей; уравнение а=х – биссектриса I и III координатного углов.
При а ≤ 0 решением данного уравнения является х=0; при а > 0 x=a и х=0.
Ответ: При а ≤ 0 уравнение имеет единственное решение х=0; при а (0;∞) уравнение имеет 2 корня х=а, х=0.
Б) х*√х-а=0
Это уравнение равносильно системе
Изобразим на системе хоа решение неравенства а≤х(часть плоскости, расположенная ниже прямой а=х и сама прямая а=х). х=а - ось оа.
Ответ: При а < 0уравнение имеет два решения х=а и х=0; при а≥0 уравнение имеет одно решение х=а.
В) (х2-х-2)* √х-а=0 <=> х2-х-2=0
х2-х-2=0 => x=2 x=-1
Ответ: При а (-∞;-1) – уравнение имеет 3 решения х=а; х=-1; х=2;
При а=-1 х=-1; х=2.
При а (-1;2) х=а; х=2.
При а=2 х=2.
При а > 2 x=a.
Г) √х2-х-2* (х-а)=0
Корнями трехчлена х2-х-2 = 0 являются числа -1; 2. Изобразив на
координатной плоскости х=-1; х=2 мы разобьем эту плоскость на три области х≥2; х
[-1;2]; х ≤ -1. Решением неравенства является области, соответствующие
неравенствам 
Ответ: при а (-∞;-1) V (2; ∞) уравнение имеет 3 решения х=а; х=-1; х=2;
При а [-1;2] х=-1; х=2
Д) (х2-(а+2)х+2а)/ √х+2- х2 =0 <=> 
Решением неравенства (2) является интервал (-1;2). На координатной плоскости ему соответствует множество всех точек между прямыми х=-1 и х=2. Корнями трехчлена (1) являются числа х=а и х=2, при этом х=2 корнем уравнения не является, так как не принадлежит решению неравенства (2).
Следовательно, при а (-∞;-1] V [2; ∞) уравнение не имеет решений. При а (-1;2) уравнение имеет единственное решение х=а.
Е) (х2-х-2)/ √(х2-(а+2)х+2а)=0 <=> 
Построим прямые х=2 и а=х на координатной плоскости. Плоскость разобьется на 4 множества. Определим знаки трехчлена на каждом из них.
А) х=3
А=1 (3-2)(3-1) > 0Б) х=3
А=5
(3-2)(3-5) < 0В) х=0
А=3
(0-2)(0-3) > 0
Очевидно, что х=2 не является корнем данного уравнения, поэтому построим только прямую х=-1.
Таким образом, при а (-∞;-1] – решений нет, при а (-1; ∞) уравнение имеет один корень х=-1.
Ж) (х2-(2а+3)х+а2+3а+2)/ √х+2- х2
=0 <=>
Т.к. а2+3а+2=( a +1)( a +2) и 2а+3=(а+1)+(а+2), то данное уравнение имеет корни х=2а+3 и х=а+1.
Изобразим на координатной плоскости х (-1;2) и построим прямые а=(х-3)/2 и а=х
Ответ: при а (-∞;-2] и [2;∞) – решений нет. При а (-2;-0.5) уравнение имеет 2 решения х=а+1 и х=2а+3. При а [-0.5;1) уравнение имеет одно решение х=а+1.