Методическая разработка по теме "Изображение комбинаций многогранников и тел вращения"

Разделы: Математика

Существует несколько способов изображения пространственных фигур, использующие различные проекции:

  • Параллельную
  • Ортогональную
  • Центральную

Параллельная проекция удобна для изображения многогранников и построения их сечений. Ортогональное проектирование используется для изображения тел вращения: цилиндра, конуса, сферы, а также комбинаций многогранников и тел вращения. Центральное проектирование, или перспектива, наиболее близка к зрительному восприятию человеком окружающих предметов.

Рассмотрим вопрос об изображении сферы.

Теорема. Ортогональной проекцией сферы является круг, радиус которого равен радиусу сферы.

Для большей наглядности изображения сферы в ней выделяют большую окружность-экватор (сечение сферы плоскостью, проходящей через ее центр), плоскость которой образует острый угол с направлением проектирования, и полюсы (концы диаметра, перпендикулярного плоскости большой окружности).

Проекцией выделенной большой окружности будет эллипс.

На изображении сферы, помимо экватора и полюсов, можно нарисовать несколько параллелей и меридианов.

Особые затруднения вызывают у учащихся геометрические задачи, в которых требуется хорошо представлять себе нужные геометрические конфигурации. Примером таких задач являются задачи на комбинации тел и многогранников. Необходимо всегда хорошо «с разных точек зрения» представлять себе взаимное расположение тел в пространстве, о которых идет речь в задаче, стараться правильно, чётко и аккуратно выполнять чертёж. Рассмотрим вопрос об изображении комбинаций многогранников и тел вращения. Наибольшие трудности с чертежом возникали у моих учеников в тех случаях, когда одно из тел - сфера.

Начнем с куба и сферы. Одной из распространенных ошибок изображения сферы, вписанной в куб, является изображение, показанное на рисунке 1. Здесь сразу несколько ошибок. Первая связана с неверным изображением точек касания. Точки касания должны располагаться не на окружности, ограничивающей изображение сферы, а внутри нее. Так, например, точки касания верхней и нижней граней куба должны располагаться в полюсах сферы. Эту ошибку можно исправить, несколько увеличив размеры вписанной сферы, как показано на рисунке 2. Здесь как будто точки касания верхней и нижней граней куба расположены в полюсах сферы, однако это изображение также не является верным. Ошибка рисунков 1 и 2 состоит в том, что для изображения сферы и куба использованы разные проекции. Сфера изображена в ортогональной проекции, а куб нет. На одном изображении этого делать нельзя. Если сфера изображается в ортогональной проекции, то и куб должен изображаться в ортогональной проекции.

Для построения правильного изображения сферы, вписанной в куб, сначала изобразим сферу с экватором и полюсами. Затем опишем около экватора квадрат и построим его изображение. Это можно сделать следующим образом. Отметим на эллипсе, изображающем экватор какую-нибудь точку A и проведем касательную a к эллипсу в этой точке. Через точку A и центр эллипса O проведем прямую, и ее точку пересечения с эллипсом обозначим B. Через точку B проведем прямую b, параллельную a. Она также будет касательной к эллипсу. Построим диаметр CD, сопряженный диаметру AB эллипса и через точки C и D проведем прямые c и d, параллельные AB. Они будут касательными к эллипсу. Параллелограмм PQRS будет искомым изображением квадрата, описанного около экватора.

Через вершины параллелограмма проведем прямые, параллельные оси SN сферы и отложим на них в обе стороны отрезки, равные ON = OS. Получим вершины верхнего и нижнего оснований куба, описанного около сферы. Соединяя теперь соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований, получим остальные ребра искомого куба.

Заметим, что изображение куба, описанного около данной сферы, полностью определяется начальным выбором точки A. Выбирая различным образом эту точку можно получать различные изображения куба, описанного около сферы.

Аналогичным образом строится изображение правильной треугольной призмы, описанной около сферы.

Аналогичным образом строится изображение пирамиды с вписанной в нее сферой, сферы, вписанной в правильный тетраэдр.

На рисунке слева изображена сфера с вписанным в нее кубом. На рисунке справа изображена сфера с вписанным в нее правильным тетраэдром.

Предлагаю решение задачи о конфигурации, состоящей из правильного тетраэдра и вписанной в неё сферы.

Для изображения сферы, вписанной в правильный тетраэдр необходимо найти отношения

  1. Вычисление отношений
  1. Пусть ребро правильного тетраэдра a. Тогда апофема

 

  1. В ?АСВ S-центр вписанной окружности;

(радиус вписанной окружности в правильный треугольник);

  1. В

  1. Пусть радиус вписанной сферы r, а радиус окружности с центром в точке

;

  1. Построим

а)

 

    Из первого равенства имеем

    Из второго равенства имеем

б)

Из первого равенства имеем

Из второго равенства имеем

  1. Найдем

  1. Найдём

  1. Найдём

таким образом,

  1. Изображение правильного тетраэдра

    Для изображения правильного тетраэдра необходимо выполнить несколько шагов:

  1. изобразить в плоскости произвольный треугольник АСВ;
  2. найти центр описанной около треугольника окружности S (точка пересечения медиан);
  3. построить высоту тетраэдра DS;
  4. соединить вершину D с вершинами треугольника АСВ.
  1. Изображение сферы, вписанной в правильный тетраэдр.

Отметим точки , зная эти отношения.

Проведём окружность с центром в точке O. Построим эллипс с центром в точке , который является сечением сферы.

Найдём точки Этими общими точками тетраэдра и сферы будут точки пересечения полученного эллипса с апофемами тетраэдра.

Замечу, что изображение сферы, вписанной в тетраэдр, определяется начальным выбором основания и высоты правильного тетраэдра.

Использованная литература:

Смирнова И.М. Изображение пространственных фигур. Элективный курс. 10-11 классы: учеб. пособие для общеобразоват. учреждений/ И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – М.: Мнемозина, 2007. – 64 с.:ил.

Интернет - источники: www.Geometry 2006.narod.ru.

Приложение (Изображение комбинаций многогранников и тел вращения.)