Все многообразие тригонометрических уравнений в жесткую, ограниченную схему свести не удается. Можно, однако, выделить несколько типов уравнений, при решении которых желательно применять стандартные, давно известные и эффективные приемы.
Даже самые сложные примеры допускают в качестве промежуточных этапов в решении применение этих приемов. Перечислим их:
1) Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.
2) Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение.
3) Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.
4) Решение уравнений сведением к квадратным уравнениям и уравнениям высших степеней путем замены.
5) Решение однородных тригонометрических уравнений.
6) Решение линейных тригонометрических уравнений универсальной подстановкой или введением дополнительного угла.
7) Решение уравнений вида
.
8) Решение уравнений вида
.
9) Использование оценок при решении.
На занятии решаются все девять приведенных типов тригонометрических уравнений,
И дается задание для самостоятельной работы дома.
Пример 1.
Решить уравнение . Сколько корней имеет уравнение,
если
?
Решение
Преобразуем исходное уравнение следующим образом:
.
Полученное уравнение равносильно паре
тригонометрических уравнений: -
простейшее,
- сводящееся к простейшим. Для
преобразования второго уравнения в простейшее
сделаем замену
,
в результате которой получим алгебраическое
уравнение
. Решаем полученное квадратное
уравнение:
Таким образом второе уравнение эквивалентно еще двум простейшим уравнениям:
и
. Решим
три полученных простейших уравнения:
;
не
имеет решения;
;
дополнительному условию удовлетворяют следующие
решения:
Таким образом, уравнение имеет 5 корней.
Ответ: 5.
Пример 2.
Решить уравнение В ответ записать сумму решений
(в градусах) , удовлетворяющих условию
Решение
Используя тригонометрические тождества преобразования суммы тригонометрических функций в произведение, получаем:
.
Таким образом, исходное уравнение эквивалентно двум простейшим тригонометрическим уравнениям. Решим их:
Дополнительному условию удовлетворяют решения:
Их сумма равна
Ответ:
Пример 3.
Решить уравнение В ответ записать сумму решений
, удовлетворяющих
условию
Решение
Преобразуем произведение в левой части уравнения в сумму
.
Разложим по формуле двойного угла и вынесем
общий множитель
.
Получим два простейших тригонометрических уравнения, решим их
Дополнительному условию задачи удовлетворяют
решения Их сумма равна
Ответ:
Пример 4.
Решить уравнение . В ответ записать число решений,
принадлежащих интервалу
.
Решение
Сделаем замену , получим алгебраическое
уравнение третьей степени
.
Вынесем общий множитель, получим
Зная свойства функции , заметим, что решать
полученные уравнения нет необходимости, так как
из свойства функции
следует, что первое и третье
уравнения имеют в точности по одному решению в
интервале
, а второе уравнение не имеет решений в
этом интервале. Таким образом, искомых решений –
два.
Ответ: 2.
Пример 5.
Решить уравнение
В ответ записать (в градусах) решение , удовлетворяющее
условию
Решение
Данное уравнение является однородным. Поделим
обе части уравнения на , получим
Решим
его:
.
Рассмотрим полученные простейшие тригонометрические уравнения:
не
имеет решений.
Дополнительному условию удовлетворяет решение
Ответ: .
Пример 6.
Решить уравнение В ответ записать количеств решений,
удовлетворяющих условию
Решение
Используем формулы для преобразования
тригонометрических выражений вида
Для этого разделим исходное уравнение на 2 и преобразуем его.
.
Так как
, то исходное уравнение имеет вид
Применим эту формулу для синуса суммы
Дополнительному условию удовлетворяют два
решения: .
Заметим, что это уравнение можно было решать
по-другому. Используем замену переменной В этом
случае
Тогда уравнение превращается в
следующее:
.
Достаточно вспомнить, что уравнение для
любого
имеет единственное решение в любом
промежутке длиной
. Поэтому уравнение
в любом промежутке длиной
для
любого
имеет единственное решение.
Дополнительное условие задачи как раз и есть
условие принадлежностей корней промежутку длины
.
Поэтому можно утверждать, что корней, удовлетворяющих исходному уравнению и
Дополнительному условию – два ( при этом нет необходимости находить сами корни) .
Один корень удовлетворяет дополнительному
условию и уравнению , а другой – дополнительному
условию и уравнению
.
Ответ: 2.
Пример 7.
Решить уравнение . В ответ записать количество
решений, удовлетворяющих условию
Решение
Напомним соотношение, легко следующее из
основного тригонометрического тождества:
При получаем
из него:
Поэтому, преобразовав левую часть исходного уравнения по этой формуле, получим
Получившееся уравнение эквивалентно следующей системе уравнений
Дополнительному условию удовлетворяет решение
Ответ: 1.
Задачи для самостоятельного решения:
1..
В ответ записать количество решений,
удовлетворяющих условию
. Ответ: 7.
2..
В ответ записать (в градусах) решение,
удовлетворяющее условию
. Ответ: 72.
3. В
ответ записать количество решений,
удовлетворяющих условию
Ответ:5.
4. В
ответ записать сумму решений, удовлетворяющих
условию
Ответ: 240.
5..
В ответ записать решение, удовлетворяющее
условиям:
Ответ: 150.
6..
В ответ записать количество решений,
удовлетворяющих условиям:
Ответ:1.
7..
В ответ записать количество решений,
удовлетворяющих условию:
. Ответ: 1.
8. В
ответ записать количество решений,
удовлетворяющих условиям:
Ответ:1.
9..
В ответ записать количество решений,
удовлетворяющих условию
. Ответ:2.
10. .
В ответ записать (в градусах) наименьшее
положительное решение. Ответ: 300.