Многолетний опыт работы показывает, что учащимся труднее всего дается решение текстовых задач. Поэтому, я проанализировав методику подхода к задачам в начальных классах, провела эксперимент, а затем выполняя ряд действий, общих для всех методов, стала добиваться лучшего результата.
Каким бы из основных методов не решалась текстовая задача /арифметическим, алгебраическим и геометрическим/, на 1 этапе анализа текста задачи необходимо выделить объекты, о которых идет речь в задаче, а также ее условие и вопрос, установить неизвестные и искомые величины, выделить ситуации, описанные в задаче.
На 2 этапе поиска плана решения понадобятся умения записывать функциональную зависимость между величинами и выражать величины из формул, составлять из заданной задачи подзадачи, выделять из условия задачи предложения, выражающие зависимость между величинами, и преобразовывать их.
На этапе реализации плана важнейшим оказывается умение переводить зависимости между величинами на математический язык
Большинство этих умений формируется в начальных классах. Арифметический метод, который там преобладает, практически исчерпывается названными умениями. Но в средней школе основным является метод уравнений, для его использования, кроме общих, необходимы специальные умения. Перечислю эти умения и охарактеризую методику их формирования.
УМЕНИЕ СОСТАВЛЯТЬ КРАТКУЮ ЗАПИСЬ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ
В начальной школе решение арифметических задач начинается с рассмотрения и обсуждения, готовых образцов краткой записи условия. После этого учащимся предлагаются упражнения на чтение краткой записи и составление по ней задачи. Школьников учат также краткой записи по аналогии, выбору подходящей записи из предложенных, дополнению незаконченной записи. Подобную работу необходимо продолжать и в младших классах средней школы. Приведу пример.
ЗАДАЧА 1. Токарь выполнил заказ на изготовление одинаковых деталей за 3 дня. В первый день он изготовил 34, во второй день - на 5 деталей больше, чем в первый день. Сколько деталей изготовил токарь за три дня?
УМЕНИЕ ВЫПОЛНЯТЬ СХЕМАТИЧЕСКУЮ ЗАПИСЬ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ
Краткую запись часто отождествляет со схематической, хотя с точки зрения методики: для этого нет особых оснований. В краткой записи используются и развиваются умения учащихся представлять информацию в вербальной форме. А схематическая запись нацелена на умение работать с образной информацией.
Особенно эффективно используются схемы при решении задач на движение. Обучение умению строить чертеж проводится по принципу от простого к сложному и реализуется по мере усложнения самих задач на протяжении всего курса математики. Вначале учащимся показывают образцы построения чертежей, потом предлагают специальные упражнения на выбор чертежа, соответствующего условию задачи, на чтение чертежа. В конце концов, наступает черед заданий на составление задачи по чертежу, на построение чертежа по аналогии, на достраивание незаконченных или исправление чертежей. Проиллюстрируем сказанное.
ЗАДАЧА 2. Из двух городов, расстояние между которыми 650 км, вышли навстречу друг другу два поезда. Один шел со скоростью 50 км/ч, другой со скоростью 60 км\ч. Какое расстояние будет между поездами через 5 ч?
- Из приведенных выше схем выберете ту, которая соответствует условию задачи.
- Объясните, что обозначают отрезки АВ, АС, ВD, CD на схеме?
- Составьте задачи по схемам.
УМЕНИЕ ВЫБРАТЬ ВЕЛИЧИНУ, КОТОРУЮ БУДЕМ СЧИТАТЬ ПЕРЕМЕННОЙ
Это умение формируется в средних классах на специальных упражнениях. Укажу одно из них. Сначала предлагается рассмотреть какую-либо задачу.
ЗАДАЧА 3. Автобус проходит расстояние от города до села за 1, 5 ч, а легковая машина - за 0, 9 ч. Найти скорость автобуса, если известно, что она меньше скорости легковой машины на 40 кмlч.
Задания:
1. Какую из неизвестных величин /скорость автобуса, скорость легковой машины или расстояние от города до села/ целесообразно считать переменной?
2. Какую величину было бы удобно обозначить через х , если бы скорость автобуса была больше скорости легковой машины?
3. Какую величину удобно обозначить через Х, если нужно найти расстояние от города до села?
УМЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИ ВЫРАЖАТЬ ВЕЛИЧИНЫ ЧЕРЕЗ ПЕРЕМЕННУЮ
Это умение связано с предыдущим, так как от выбора переменной зависит составляемое по условию алгебраическое выражение. В начальной школе проводится пропедевтика этого действия: записывают числовые и буквенные выражения по условию задачи для его совершенствования в средних классах желательно предлагать упражнения на выражение неизвестных величин через выбранную переменную.
К 9 классу учащиеся при решении итоговой контрольной работы за год, должны этим умением уже в совершенстве пользоваться. Приведу пример итоговой контрольной работы 4 варианта.
ЗАДАЧА 4. Расстояние от пункта А до пункта В автобус должен был проехать со скоростью 60 км/ ч. Однако на середине пути он задержался на 30 мин, чтобы прибыть в пункт В без опоздания, увеличил скорость на 15 км/ч. Каково расстояние между пунктом А и В?
Скорость, км/ч Время, ч Расстояние, км По расписанию 60 Х/60 Х км Против расписания 75 Х /75 Х км
Учащиеся должны видеть, что обозначив весь путь от А до В через 2х км, получат “изящное” уравнение:
х/60 – х/75 = 1/2
Умение оформлять в виде равенств зависимости между величинами
Это, другими словами, умение составлять уравнение. Учащимся объясняется, что если одна величина выражена двумя способами, то их следует приравнять. Если же уравниваются различные величины, то при составлении уравнения, учитываются отношения между ними.
При переходе к алгебраическому методу решения задач учащимся нужно объяснить, что составляемое уравнение аналогично числовому равенству, где вместо числовых значений величин стоят их буквенные выражения.
Работая в школе, я больше убеждаюсь в том, чтобы научить учащихся решать задачи на “производительность труда”, надо кропотливо и целенаправленно вести их к этому. Поэтому, еще в 5 классе формирую это понятие. Саша решает 5 задач в час, а Таня - 2. Кто работает производительнее? Вова может съесть за час 3 булочки, а Катя - 2. Кто - производительнее трудится? Эти задачи, вызывая смех, формируют понятие производительности труда. А когда встречается задача, учащиеся быстро определяют ее вид. Так, к 9 классу, учащиеся, записав условие по схеме, быстро составляют уравнение. Приведу пример.
ЗАДАЧА 5. Бригада рабочих должна изготовить 210 деталей за определенный срок. Изготовляя в день на 10 деталей больше, чем предполагалось по плану, она за 1 день до окончания срока не только выполнила план, но и сделала 30 деталей сверх плана. Сколько деталей в день должна была изготовить бригада по плану?
| Производительность труда (дет/день) | Время работы, (дней) | Выполненная работа (деталей) | |
| По плану | х | 210/х | 210 |
| Фактически | (х + 10) | 240/(х + 10) | 210 +30 = 240 |
Так, как бригада за 1 день до окончания срока не только выполнила план, но и сделала сверх плана 30 деталей, составим уравнение:
1) (210/х) – 240/(х+10) = 1
2) 210/х - 1 = 240/(х+10)
3) 240/(х+10) +1 = (210/х)
Рассмотрев 3 случая составления уравнения, учащиеся уже знают, где можно сэкономить время на контрольной работе, а в дальнейшем - при решении тестов на экзаменах в ВУЗы.
Мой анализ решать текстовые задачи доведен до формирования умений решать составленные уравнения. Но сформировать такие умения гораздо легче, чем научить ребят составить уравнение к тексту задачи. Если учащиеся не приобретут описанные выше умения, то не смогут справиться даже с легкими заданиями. А тогда обучение математике в последующие годы потеряет свое развивающее значение.
На пробном тecmиpoвaнии даже хорошо успевающие ученики, сталкиваются с проблемными задачами:
1. На ферме коров кормили несколько дней двумя видами корма. В 1 центнере первого вида корма содержится 15 кг белка и 80 кг углеводов. В 1 центнере второго вида содержится 5 кг белка и 30 кг углеводов. Сколько центнеров составляет каждый вид корма, если весь корм составляет 10, 5 ц белка и 58 ц. углеводов?
Решение:
N п/п Белок Углеводы 1 15 кг 80 кг 2 5 кг 30 кг Итого: 10, 5 ц. 58 ц.
Пусть х центнеров корма 1 вида, у ц. - второго вида корма. Учитывая условие, составим систему уравнений:
Решив её, получим: х = 50, у = 60
Orвeт: 50 ц, 60 ц.
Разбирая с учащимися задачу, записав условие в виде таблицы, они быстро составляют систему.
2. Производительность самоходной косилки в 5 раз выше производительности бригады косцов. Сколько дней потребуется бригаде косцов, чтобы скосить луг, если известно, что самоходная косилка и бригада косцов, работая вместе, могут закончить сенокос за три дня?
А) 18 дней.
В) 12 дней.
С) 11 дней.
D) 13 дней.
Е) 16 дней.
Решение: (1/х + 5/х) • 3 = 1
Ответ: 18 дней.
3. В штате гаража числится 54 шофера. Сколько свободных дней может иметь каждый шофер в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта?
А) 2 дн.
В) 3 дн.
С) 5 дн.
D) 4 дн.
Е) 6 дн.
Решение: 45 машин ежедневно выезжают, 9 шоферов без работы. 9-30 = 270 (человеко-дней) 270/54 = 5 (дней) Ответ: 5 свободных дней у каждого шофера.
4. Две шкурки ценного меха, стоимостью в 225 тыс. тенге были проданы на международном аукционе с прибылью в 40%. Какова стоимость каждой шкурки отдельно, если от первой было получено прибыли 25%, а от второй 50%?
А) 133 тыс. тенге; 92 тыс. тенге.
В) 131 тыс. тенге; 94 тыс. тенге.
С) 136 тыс. тенге; 89 тыс. тенге
D) 135 тыс. тенге; 90 тыс. тенге
Е) 138тыс. тенге; 87 тыс. тенге
Решение: х тыс. тенге стоимость одной шкурки, тогда
(225 - х) тг - стоимость 2й шкурки.
Общая прибыль 225. 0, 4 = 90 (тыс. тенге)
Ответ: 135 тыс. тенге; 90 тыс. тенге
5. Двое рабочих за смену вместе изготовили 72 детали. После того, как первый рабочий повысил производительность труда на 15%, а второй - на 25%, вместе за смену они стали изготавливать 86 деталей. Сколько деталей изготавливает каждый рабочий за смену после повышения производительности труда?
А) 44; 42.
В) 46; 40.
С) 43; 43.
D) 41; 45.
Е) 39; 47.
Решение:
где х деталей изготавливает первый рабочий за смену, а у деталей - второй.
Ответ: 46; 40 деталей
6. Катер проходит 96 км вниз по течению реки от А до В и обратно за 14 часов. Одновременно с катером из А отправился плот. На пути обратно, катер встретил плот на расстоянии 24 км от А. Определить скорость катера в стоячей воде и скорость течения.
А) 12 км/ч, 1 км/ч.
В) 14 км/ч, 2 км/ч.
С) 11 км/ч, 3 км/ч.
D) 9 км/ч, 4 км/ч.
Е) 13 км/ч, 3 км/ч.
Решение. Пусть х км/ч - собственная скорость катера, у км/ч - скорость течения реки, скорость плота.
Ответ: В) 14 км/ч, 2 км/ч.
Экология в задачах на уроках математики
Прививать и поддерживать интерес к решению текстовых задач по математике у учащихся, необходимо с 5 класса. Для этого предлагаю применить на уроке экологические задачи.
Экологизация математики будет способствовать получению учащимися знаний об окружающем мире и его экологических проблемах. Семипалатинский испытательный полигон (СИП) занимает около 18500 км2. На этой территории расположены 5 испытательных зон, где проводились разнохарактерные ядерные взрывы: воздушные, наземные и подземные испытания. Каждый вид этих испытаний может характеризоваться количеством, составом радионуклидов, образованных в процессе ядерного взрыва, площадью их распространения, локализацией радионуклидов на различных участках, формами нахождения радионуклидов в почве.
На СИП в период ядерных испытаний в атмосфере (1949-1962 гг.) было произведено 118 ядерных взрывов, включая 2 подземных. Из 116 взрывов в атмосфере: 86 взрывов воздушные и 30 – наземные. Из 30 наземных ядерных взрывов: 7 взрывов были осуществлены на башнях высотой от 8 до 30 м, один взрыв произведен на высоте 50-55м после сброса бомбы с самолета-носителя, остальные (22) – на различных подставках (платформах) небольшой высоты. После 1962 года на Семипалатинском полигоне проводились только подземные ядерные испытания. Их было 340, последнее, из которых осуществлено, в 1989 году. Таким образом, на СИПе в период с 1949-1989 гг. было проведено 456 ядерных испытаний.
Уже в период испытаний было известно, что наиболее сильное радиоактивное загрязнение окружающей среды с облучением населения в дозах, превышающих в отдельных случаях существовавшие санитарно-гигиенические нормативы, происходит при наземных ядерных взрывах. Осуществление на Семипалатинском полигоне 30 наземных ядерных взрывов стало причиной радиоактивного загрязнения территорий, находящихся за пределами полигона.
В связи с этим учащимся предлагаются задачи.
1. Естественный радиоактивный фон воздействует на каждого человека. В результате внутреннего и внешнего облучения человек в течение года в среднем получает дозу в 0, 1 бэр. Какое количество облучения за всю жизнь получает человек. Без большого риска за всю жизнь человек может набрать 35 бэр.
2. Наибольшая опасность - загрязнение биосферы в результате деятельности человека. Так как радиоактивные излучения могут вызвать серьезные изменения в организме человека, каждый должен знать допустимые его дозы. В каких местностях ежегодная доза облучения может быть выше нормы?
3. Часовая доза радиации, смертельная для 50 процентов организмов, составляет 400 бэр для человека, 1000-150 тыс. бэр – для растений, 1000-2000 бэр – для рыб и птиц, 100 тыс. бэр – для насекомых. Постройте столбчатую диаграмму.
Литература
- НЦГСОТ. Тесты по математике для абитуриентов, Алматы, 1999–2006 г.
- Б. Баймуханов, Е. Медеуов, К. Базаров Алгебра 8 кл, Алматы, Мектеп, 2004 г.
- А. Шыныбеков Алгебра 8 кл, Алматы, Атамура, 2004 г.
- Б. Баймуханов, Е. Медеуов, К. Базаров Алгебра 7 кл, Алматы, Мектеп, 2003 г.
- Дидактические материалы по алгебре. 9 класс, Москва, 1992 г.
- Испытания ядерного оружия и ядерные взрывы в мирных целях. 1949-1990гг. // Кол. авторов под рук. В.Н. Михайлова., РФЯЦ-ВНИИЭФ, Саров, 1996г., 66 с.
- Ядерные испытания СССР. Том 2, Технология ядерных испытаний СССР., Воздействие на окружающую среду. Меры по обеспечению безопасности. Ядерные полигоны и площадки. // Кол. авторов под рук. В.Н. Михайлова., Издание Begell-Atom, 1998г., 302 с., + иллюстр.
- Ядерные испытания СССР. Семипалатинский полигон: обеспечение общей и радиационной безопасности ядерных испытаний. // Кол. авторов под рук. В.А. Логачева., М.: 2-я типогр., ФУ "Медбиоэкстрем" при Минздраве России, 1997 г., 316 с. + иллюстр.
- Ядерные испытания СССР: современное радиоэкологическое состояние полигонов / В.А. Логачев [и др.]. – М. : ИздАТ, 2002. – 662 с.
- Логачев, В.А. Ядерные испытания на Семипалатинском полигоне и их влияние на окружающую среду / В.А. Логачев // Вестник НЯЦ РК “Радиоэкология. Охрана окружающей среды”. – 2003 г. – выпуск 3. – С.7-17.