Мой педагогический стаж в роли учителя математики 43 года, что даёт мне право и, пожалуй, возлагает обязанность поделиться с вами, молодой коллега, методическими находками, рассказать об удачах и неудачах на пути обучения школьников решению текстовых задач.
Мой первый совет: внимательно изучите и постоянно держите под рукой на рабочем столе лекции Шевкина Александра Владимировича, кандидата педагогических наук, учителя московской школы, автора учебников и учебно-методических пособий. Опубликованы эти лекции в газете «Математика», начиная с №17 за 2005 год.
А в данной статье позволю себе поделиться некоторыми крупицами своего опыта.
И вот второй вам совет: отрабатывая технику вычислений на отвлечённых примерах, не забывайте периодически насыщать их житейским содержанием.
Поясню. Например, на уроке мы нарабатываем
навык умножения десятичных дробей и решили
пример 34,5
2,2. Получили ответ 75,9. Обращаемся к ребятам:
«Придумайте задачку, для решения которой нам бы
потребовалось выполнить действие умножения этих
чисел». Если с таким заданием мы к ним никогда не
обращались, на первых порах придётся помочь с
ответом. Когда же это обращение к творчеству
детей будет уже для них привычно, много времени
от урока это не займёт, и вы услышите:
- длина прямоугольника 34,5 м, ширина 2,2 м; найти его площадь;
- мотоциклист двигался со скоростью 34,5 км/ч; найти расстояние, которое он преодолеет за 2,2 часа;
- цена конфет 34,5 рубля за килограмм; Тёма купил ко дню рождения 2,2 кг этих конфет; найти стоимость покупки.
Частенько мы слышим от наших детей: «Вот примеры у меня получаются, а задачки никак не решаются…»
А знаете, почему?
Дело в том, что в повседневной жизни и дети, и их
родители никогда не выполняют бессодержательные
вычисления. Никогда! Если маме приходится
умножать 34,52,2, то только потому, что ей надо
рассчитать, сколько придётся заплатить за 34,5
квтч электроэнергии, если цена 1 квтч 2,2 рубля.
Или, например, когда Тёме необходимо узнать,
сколько денег надо попросить у родителей на
конфеты к праздничному столу, и т.п.
Нам так хочется научить школьников считать, что порой по 2-3 урока подряд, а то и более, вычисляем, вычисляем, вычисляем… Нам кажется, что вот научим мы детей считать, тогда и к задачам приступать можно. Заблуждение.
Выполнили какое-либо вычисление - предложите решить соответствующую устную одношаговую текстовую задачу, а затем уделите пару минут коллективному сочинительству задач разнообразного содержания. Конечно, расшевелить фантазию ребят в среднестатистическом классе сразу не удастся, но не отступайте; вам не привыкать проявлять терпение и настойчивость.
И вы постепенно станете замечать, насколько лучше дети воспринимают текстовые задачи, воспроизводят решение типовых задач. Даже не самые сильные ученики потом смелее возьмутся за решение более сложных заданий.
Следующий совет: если на определённом этапе урока вы наметили решить задачу, то, прочитав её, не спешите анализировать условие, обсуждать алгоритм её решения до тех пор, пока
- не дадите детям пару минут тишины на чтение текста «про себя»;
- не поднимете нескольких учеников, попросив их пересказать текст задачи.
Не пожалейте хорошей оценки для ученика, чётко передавшего своими словами ситуацию задачи. И только после этого приступайте к коллективному поиску ответа на поставленный в задаче вопрос.
В качестве следующего совета предлагаю провести урок, на котором вы успеете решить обстоятельно и качественно не менее шести(!) задач.
Тема урока: «Решение задач методом составления уравнений».
На сегодня им было задано на дом решить два уравнения:
К началу урока на столах у детей список задач:
№1. Турист на мопеде проехал 30 км по ровному участку шоссе, затем 17 км по склону, причём по склону со скоростью на 2км/ч большей, чем по ровному участку. На весь путь было потрачено 3 часа. Найти скорость движения туриста по ровному участку шоссе.
№2. Катер прошёл 30 км по озеру, затем 17 км по реке, вытекающей из этого озера. Скорость течения реки 2 км/ч. На весь путь катер затратил 3 часа. Найти собственную скорость катера.
№3. Велосипедист выехал из деревни в 8.00, чтобы к 11.00 прибыть на место. Проехав 30 км, он рассчитал, что опоздает. Тогда он решил на последних 17 км увеличить скорость на 2 км/ч. В пункт назначения он прибыл вовремя.
Найти первоначальную скорость велосипедиста.
№4. Ко дню рождения Наташа купила на 30 рублей конфет «Рябинка» и на 17 рублей конфет «Космос». Один килограмм «Космоса» дороже одного килограмма «Рябинки» на 2 рубля. Масса всех купленных Наташей конфет составила 3 кг. Найти цену одного килограмма конфет «Рябинка».
№5. Требовалось обработать на станке 47 деталей за 3 часа. Сначала 30 деталей обработал ученик мастера, а затем остальные детали - сам мастер. Мастеру удаётся обработать в час на 2 детали больше, чем его ученику. Сколько деталей в час обрабатывал ученик?
№6. Сначала 30 страниц текста набрал на компьютере первый оператор, а затем его сменил второй и набрал оставшиеся 17 страниц текста. Второй оператор печатает на 2 страницы в час больше, чем первый оператор, а вся работа была выполнена за 3 часа. Какова производительность труда первого оператора?
На столах у детей ещё и таблицы, которые будут заполняться по мере коллективного обсуждения условий каждой задачи и составления соответствующего уравнения.
№1 |
Скорость |
Время |
Путь |
№2 |
Скорость |
Время |
Путь |
№3 |
Скорость |
Время |
Путь |
№4 |
Цена 1 кг |
Количество купленного товара |
Общая стоимость товара |
||
№5 |
Производительность труда |
Время работы |
Общий объём выполненной работы |
||
№6 |
Производительность труда |
Время работы |
Общий объём выполненной работы |
К концу урока эти таблицы уже будут полностью заполнены:
№1 |
Скорость |
Время |
Путь |
По ровному участку пути |
х км/ч |
30/х ч |
30 км |
По склону |
(х+2) км/ч |
17/(х+2) ч |
17 км |
№2 |
Скорость |
Время |
Путь |
По озеру |
х км/ч |
30/х ч |
30 км |
По реке |
(х+2) км/ч |
17/(х+2) ч |
17 км |
№3 |
Скорость |
Время |
Путь |
Первая часть пути |
х км/ч |
30/х ч |
30 км |
Вторая часть пути |
(х+2) км/ч |
17/(х+2) ч |
17 км |
№4 |
Цена 1 кг |
Количество купленного товара |
Общая стоимость товара |
«Рябинка» |
х руб./кг |
30/х кг |
30 руб. |
«Космос» |
(х+2) руб./кг |
17/(х+2) кг |
17 руб. |
№5 |
Производительность труда |
Время работы |
Общий объём выполненной работы |
Ученик мастера |
х дтл/ч |
30/х ч |
30 дтл |
Мастер |
(х+2) дтл/ч |
17/(х+2) ч |
17 дтл |
№6 |
Производительность труда |
Время работы |
Общий объём выполненной работы |
I оператор |
х стр./ч |
30/х ч |
30 стр. |
II оператор |
(х+2) стр./ч |
17/(х+2) ч |
17 стр. |
Эти задачи приводят к одному и тому же уравнению, решённому детьми дома. Второе уравнение, решённое дома, нам тоже пригодится. Раздаём карточки со следующим домашним заданием.
Слабому ученику на карточке предложены и таблички.
№1. Расстояние между городами 600 км поезд проходит за определённое время. Если же он увеличит скорость на 10 км/ч, то потратит на дорогу на 2 часа меньше.
Какова первоначальная скорость поезда?
Задача №1 на дом |
Скорость |
Время |
Путь |
При движении с первоначальной скоростью |
|||
При движении с повышенной скоростью |
№2. На 600 рублей для новогодних подарков решили купить либо только плюшевых мишек, либо только плюшевых котов. Мишка дороже кота на 10 рублей, а поэтому на эти же деньги можно купить котов на 2 штуки больше, чем мишек.
Какова цена одного игрушечного кота?
Задача №2 на дом |
Цена |
Количество |
Стоимость |
Игрушка-кот |
|||
Игрушка-мишка |
Надеюсь, я вас убедила, как эффективно можно решить на уроке несколько задач с помощью одного уравнения.
Хочу дать ещё один совет молодому учителю по поводу обучения решению текстовых задач. Не менее эффективно для развития математического мышления хотя бы иногда ставить перед детьми проблему поиска различных способов решения одной и той же задачи.
Приведу пример.
Задача из учебника «Алгебра-7».
От лагеря до привала отряд шёл со скоростью 4,5 км/ч, а возвращался в лагерь со скоростью 4 км/ч, затратив на обратный путь на 15 минут больше. На каком расстоянии от лагеря был сделан привал?
Решения
1-й способ. Пусть x км и есть искомое расстояние, тогда на путь от лагеря до привала дети потратили x/4,5 ч, а на обратный путь x/4 ч.
По условию задачи значение второго выражения больше значения первого выражения на 0,25 часа. Составим уравнение x/4- x/4,5=0,25. Решение этого уравнения - число 9.
Ответ: 9 км.
2-й способ. Пусть x часов - время движения от лагеря до привала, тогда (x + 0,25) ч - время движения от привала до лагеря. 4,5 x км - путь туда, а 4(x + 0,25) км - путь обратно.
Но поскольку оба эти расстояния одинаковы, то должны быть равными и значения этих выражений. Можно составить уравнение 4,5x = 4(х + 0,25), решением которого является
число 2, а значит, от лагеря до привала они шли 2 ч со скоростью 4,5км/ч и прошли путь в 4,5*2=9 (км).
Ответ: 9 км.
3-й способ. Пусть x часов - время движения от привала до лагеря, тогда (x - 0,25) ч - время движения от лагеря до привала. 4x км - путь от привала до лагеря, а 4,5(x - 0,25) км - путь от лагеря до привала, но поскольку оба этих расстояния одинаковы, то можно составить уравнение 4x = 4,5(x - 0,25). Решением этого уравнения является число 2,25. Значит, 2,25 часа они шли от привала до лагеря. 4*2,25=9(км).
Ответ: 9 км
4-й способ. Поскольку пути туда и обратно были одинаковы, то два значения времени обратно пропорциональны значениям скоростей движения на каждом из указанных участков пути (чем быстрее двигались, тем меньше тратили времени на одну и ту же дорогу).
Сначала найдём отношение скоростей 4,5:4= 45:40=9:8, а тогда на обратный путь затрачено 9 равных частей времени, а на путь до привала 8 таких же равных частей времени. Согласно условию задачи на 9-8=1(часть) и приходятся лишние 15 минут (или четверть часа, 0,25 ч). 0,25* 9=2,25 (ч) шли они после привала. 4*2,25=9 (км). Это и есть путь от привала до лагеря.
Ответ: 9 км.
5-й способ. Мы узнали, что на одну из равных частей времени приходится 0,25 ч. На путь от лагеря до привала приходится 8 равных частей времени. 0,25*8=2 (ч) шли они до привала со скоростью 4,5 км/ч. 4,5*2=9 (км). Это и есть искомый путь.
Ответ: 9 км.
6-й способ. Поскольку пути туда и обратно были одинаковы, то два значения времени обратно пропорциональны значениям скоростей движения на каждом из указанных участков пути (чем быстрее двигались, тем меньше тратили времени на одну и ту же дорогу).
Составим пропорцию с переменными: 4,5:4=(t + 0,25):t, где t ч - время движения от лагеря до привала. Решив эту пропорцию, получим t=2, а за эти два часа они пройдут 4,5(км/ч)*2(ч)=9(км).
Ответ: 9 км
7-й способ. Пусть x ч они шли от лагеря до привала, а y ч они шли обратно. Этот способ решения приведёт нас к системе уравнений
Решением её является пара чисел (2; 2,25). Искомое расстояние вычислим: 4,5*2=9(км).
Ответ: 9 км
9-й способ. Построив графики уравнений S=4,5t и S=4(t + 0,25), мы получим S=9
Ответ: 9 км
10-й способ. На обратном пути за последние 15 минут туристам оставалось пройти 4(км/ч)*0,25(ч)=1(км). По сравнению с движением от лагеря до привала, на обратном пути они каждый час теряли 4,5-4=0,5(км). Значит, 1км проигрыша в расстоянии на обратном пути образовался за 2 ч движения. (1:0,5=2). 4(км/ч)* 2(ч)=8(км); 8км+1км=9км.
Ответ: 9 км
Придумываю призы и другие формы поощрения тех, кто предложил новые способы, чей способ решения оказался неожиданным и оригинальным. Но, право же, эмоциональный подъём процесса детского творчества и радость открытий дороже любых призов!
Нередко на последующих этапах освоения курса математики неоднократно возвращаемся к одной и той же задаче, поскольку открываются всё новые возможности её решения. Так, например, к концу 10 класса мы уже знали 32 (!) способа решения одного квадратного уравнения X2 - 3X +2 = 0, но об этом мы побеседуем с вами в другой раз.
И ещё один совет, который многим покажется крамольным. При решении текстовой задачи разрешайте пользоваться калькулятором! Мы не можем себе позволить отвлекаться на оформление вычислений, ибо нам важно проследить за логикой поиска ответа на вопрос, поставленный в задаче.
Дорогой коллега, очень надеюсь, что мои советы вам пригодятся!