Ход урока
I этап урока
Повторение в форме устных упражнений с проверкой домашнего задания.
1. Повторить определения тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике, основные формулы к теме “Геометрическая прогрессия”.
2. Задачи (учебник Г.В.Дорофеева “Математика 9”), которые были даны накануне в качестве домашнего задания, можно рассмотреть в форме кратких сообщений по готовым рисункам.
– № 603. Дан треугольник, периметр которого 64 см. Середины сторон этого треугольника являются вершинами второго треугольника, середины сторон второго треугольника являются вершинами третьего треугольника и т.д.
а) Найти периметр восьмого треугольника.
б) Периметр какого по счету треугольника равен
4см?
Ответ: а) Р8=0,5 см; б) n = 5.
– № 604, 605.
3. Чему равны внутренний и центральный углы 
и 
правильного n-угольника, если n = 6; 8; 12?
Ответ:
| =60° |
=45° |
=30° |
| =120° |
=135° |
=150° |
II этап урока
Вступительное слово учителя, в котором он говорит о том, что бесконечно убывающие геометрические прогрессии нередко встречаются при решении геометрических задач не только в качестве характеристик элементов вложенных фигур, а и в иных проявлениях.
Учащимся предлагается для решения следующая задача:
Задача № 4085. (Сборник задач под редакцией М.И. Сканави)
В угол, содержащий 60°, вписаны пять окружностей так, что каждая последующая окружность, начиная со второй, касается предыдущей. Во сколько раз сумма площадей всех пяти соответствующих кругов больше площади внешнего круга
Решение (Рис. 1).
(В процессе решения обсуждается вопрос: верно ли, что центры всех окружностей лежат на биссектрисе угла?)
1) Убедимся, что последовательность радиусов данных окружностей
r1; r2; r3; r4; r5
составляет геометрическую прогрессию. Для этого покажем, что
Пусть АО=х.
В 
АВВ1(
В1=90°) АВ = r1/sin30°=
2r1 = x+r1, x=r1
В АСС1(С1=90°) АС = r2/sin30°=
2r2 = x+2r1+r2 , r2 = 3r1
В АDD1( D1=90°) AD = r2/sin30°=
2r3 = x+2r1+2r2+r3 , r3=9r1
Таким образом r2/r1=r3/r2=3, т.е. последовательность радиусов таких окружностей есть геометрическая прогрессия со знаменателем q=3 и первым членом r1.
2) Найдем сумму площадей соответствующих кругов
S = 
r12+(3r1)2 + (9r1)2+ (27r1)2 + (81r1)2 =
(1+9+81+729+6591) r12=
=7381 r12
3) Найдем отношение S к S1, где S1= r12:
=7381 r12/ r12=7381.
Ответ: сумма площадей пяти данных кругов в 7381 раз больше площади наименьшего круга.
Далее вниманию учащихся предлагается показ при помощи компьютера решения родственной задачи в обобщенном варианте, выполненный в качестве домашнего задания одним из учеников класса, интересующимся, кроме математики, компьютерными технологиями.
Задача № 12137. (Галицкий М.Л., “Сборник задач по алгебре, 8-9”.)
В острый угол вписаны n кругов, касающихся один другого. Докажите, что радиусы этих кругов образуют геометрическую прогрессию. Укажите зависимость между знаменателем прогрессии и величиной угла.
Решение (Рис. 2)
Пусть r1, r2, r3, … – последовательность радиусов данных кругов.
АО=х. Тогда
АА1= 
=x+r1
АА2=
=x+2r1+
r2
АА3= 
=x+2r1+2r2+
r3
………………………………. И т.д.
(*) АА n= 
=x+2r1+2r2+2r3+…+2rn-1+ rn
(**) АА3= 
= x+2r1+2r2+2r3+…+2rn-1+
rn+ rn+1
Выполнив вычитание (**) – (*), получим
rn+1+ rn=
–
rn+1 (
- 1)
= rn(- 1)
=
Таким образом отношение радиусов двух
последовательных окружностей – величина
постоянная для конкретного угла равная tg2(/4+/4),
т.е. последовательность таких радиусов –
геометрическая прогрессия со знаменателем,
равным tg2(/4+/4).
Ответ: q = tg2(/4+/4).
III этап урока
Учащимся предлагается следующая задача:
Задача №1405. (Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям.)
Вершины правильного n-угольника соединены с его центром О отрезками АО, АО1, АО2, … Из вершины А на А1О опущен перпендикуляр, длина которого а; из основания перпендикуляра на А2О опущен другой перпендикуляр; из основания этого на А3О опущен третий перпендикуляр и так до бесконечности. Найти длину бесконечной ломаной спирали, если n=6; 8; 12
Для решения задачи класс делится на три группы и 1 группа решает задачу для n=6, 2 группа для n=8, 3 группа для n=12
Каждый учащийся получает карточку с готовым чертежом правильного n-угольника. По истечении отведенного времени каждая группа знакомит всех с результатом своей работы. При этом имеет смысл заранее предложить всем группам ввести единые обозначения, а именно длину перпендикуляра у1; у2; …, длину второго катета в прямоугольном треугольнике х1; х2; х3; … Учащимся при таких обозначениях будет легче воспринять объяснения соседних групп.
Каждой группе можно выдать большой лист с изображением многоугольника, на котором учащиеся выполнят свой чертеж и фломастером запишут выкладки к объяснению. Далее при объяснении они могут прикрепить лист к доске, что сэкономит время.
Работа групп оценивается.
Возможные варианты объяснения
1 группа: случай n=6 (Рис. 3).
x1 = a tg30°=
;
y1 = x1 cos30°= 
·
= 
;
x2 = x1 sin30°=
; y2 = x2 cos30°=
;
…………………………………………………
и т.д.
xn = xn-1 sin30°=
; yn = xn cos30°= 
.
= 
;
xn+1 = xn sin30°= xn/2; yn+1 = xn cos30°=
.
Таким образом, yn+1/yn = 1/2, значит последовательность перпендикуляров есть геометрическая прогрессия с первым членом, равным а и знаменателем 1/2<1
2) = 2a S = a/(1-1/
Ответ: S = 2a.
2 группа: случай n = 8 (Рис. 4).
x1 = a; y1 = a/
x2 = y1 = a/
; y2
= x2/
= a/2
…………………………………………………….
и т.д.
xn = yn-1; yn = xn/
= yn-1/
xn+1 = yn; yn+1 = yn/
= yn-1/2
Таким образом yn+1/yn = yn-1/2 : yn-1/
= 1/
, значит последовательность
перпендикуляров есть геометрическая прогрессия
с первым членом, равным а и знаменателем 1/v2<1
S = a / (1-1/
) = a
/ (
-1) = a·(2+
)
Ответ: S = a·(2+
)
3 группа: случай n=12 (Рис. 5).
x1 = actg30°= a
;y1 =
x1sin30°= а
/2
x2 = y1ctg30°= 3a/2; y2 = x2sin30°= 3a/4
…………………………………………
и т.д.
xn = yn-1ctg30° = xn-1
/2; yn = xnsin30°= xn-1
/4
xn+1 = ynctg30° = xn-13/4; yn+1 = xn+1sin30°= 3xn-1/8
Таким образом yn+1/yn = 3xn-1/8 : xn-1
/4 = 
/2, значит последовательность
перпендикуляров есть геометрическая прогрессия
с первым членом а и знаменателем 
/2<1.
S = a/ (1-
/2) = 2a/ (2-
) = 2a·(2+
)
Ответ: S = 2a·(2+
)
IV этап урока
Подведение итогов.
Домашнее задание. В качестве домашнего
задания предлагается выполнить решение
обобщенной задачи о длине спирали для
правильного n-угольника с произвольным
центральным углом . В процессе поиска решения
учащиеся могут прийти к выводу о том, что
множество всех перпендикуляров можно
рассматривать на одном из треугольников (Рис. 6).
Решение может быть следующим:
m1 = b sin(90°-/2) = b cos/2
m2 = m1 sin(90°-/2)
= m1 cos = b cos/2·cos
m3 = m2 sin(90°- /2)
= m2 cos = b cos/2·cos2 и т.д.
mn = b cos/2·cosn-1
Таким образом (mn) – геометрическая прогрессия, у которой
m1 = b cos /2, q = cos . Результат обсуждается
на следующем уроке, где и подводятся
окончательные итоги.