Дробно-квадратичные функции (ДКФ) – это элементарные функции, которые в школьных учебниках и популярной литературе для абитуриентов встречаются достаточно часто. Описание свойств ДКФ можно найти в статье С.В.Дворянинова и Н.Х.Розова “ Дробно-квадратичная функция в школьном курсе математики” ( “ Математика в школе” №4,1997г.). Однако целью авторов статьи не были ни обобщения, ни доказательство свойств в общем виде. В других же печатных источниках информация о ДКФ не выходит за рамки процедуры исследования конкретных функций и построения их графиков. Вместе с тем классификация графиков ДКФ во многом облегчила бы работу учителей и учащихся, занимающихся исследованием функций. Нам представляется интересным и полезным создать такую классификацию, объединив функции в группы по принципу общности свойств.
Будем считать дробно-квадратичной (в соответствии с определением из выше названной статьи) функцию вида
,
где a, b, c, p, q, r таковы, что в числителе дроби многочлен 2, 1 или 0 степени, отличный от нуля, а в знаменателе многочлен 2 или 1 степени. При этом a и p одновременно не равны нулю. Предполагаем так же, что многочлены не пропорциональны и не имеют общих корней, т.е. дробь не сократима на линейный множитель.
Тогда условно можно разделить все такие функции на две группы.
Первая группа:
(1)
Вторая группа:
(2)
Общность свойств ДКФ в первой группе диктуется, в первую очередь, наличием или отсутствием корней в знаменателе дроби, px2+qx+r т.е.знаком числа D= p2-4qr. С этим числом связана структура области определения ДКФ. Поэтому имеет смысл разделить все ДКФ первой группы на три подгруппы, ставя в основу деления условия:
а) D>0; б) D=0; в) D<0.
Делением числителя на знаменатель дроби приведем ДКФ к несколько иному виду.
Первая группа:
Вторая группа:
Если ввести для числовых коэффициентов более простые обозначения, то уравнения будут выглядеть следующим образом:
Первая группа:
Вторая группа:
При этом в первой группе возможны две разновидности функций: при
и при 
.
Классификацию ДКФ можно представить в форме таблиц (Таблица 1 для функций первой группы и Таблица 2 для функций второй группы).
К сожалению, школьная программа не отводит времени на изучение свойств ДКФ. Однако такую работу можно предложить учащимся в виде коллективного исследовательского проекта.
Работу над проектом можно начать с постановки следующих задач: обобщить свойства ДКФ и провести классификацию их графиков.
Класс делится на 4 группы, каждой из которых предлагается задание по исследованию свойств и выявлению разновидностей графиков ДКФ определенного вида ( Д > 0, Д = 0, Д < 0 и р=0, где D= p2-4qr ).
Выполнение проекта происходит по следующему плану.
- Экспериментальная часть, где учащиеся каждой группы самостоятельно выбирают 15-20 функций своего вида, исследуют их и выполняют построение графиков.
- Обобщение полученной информации и выдвижение гипотез. На этом этапе предпринимается попытка выявить виды графиков, которые может иметь данная разновидность функций, высказываются предположения о свойствах функций этого вида. Наличие этих свойств проверяется у нескольких новых функций и, если они подтверждаются, то переходят к следующему этапу.
- Попытка доказательства выявленных свойств в общем виде (например, наличия симметрии у графиков некоторых разновидностей, наличия точки пересечения графика с асимптотой, определенной структуры области значений ДКФ и.т.п.).
- Заполнение сводной классификационной таблицы, в которой представлена информация о ДКФ каждого вида (Приложения 1,2). Каждая группа по заданной схеме заполняет таблицу, приводя в ней результаты своих исследований.
В итоге получается таблица разновидностей графиков ДКФ, которую учащиеся могут представить в форме компьютерной презентации, дающей возможность единовременно продемонстрировать аудитории большой объем информации.
Оценка такой работы проводится с участием самих учащихся по следующим показателям: участие в эксперименте, в обобщении результатов и доказательстве свойств, работа по составлению таблицы, участие в работе над компьютерной презентацией, выступление с презентацией.
Работа над таким проектом проводилась нами неоднократно и имеет, на наш взгляд, много преимуществ в сравнении с традиционными формами обучения т.к. в результате ученики приобретают опыт не только в решении задач, но и в их постановке, выходя при этом на качественно иной уровень знания и приобретая бесценный исследовательский опыт.