Дробно-рациональная функция – это такая алгебраическая дробь, у которой числитель и знаменатель представляют собой многочлены некоторой степени.
Дробно-линейная функция представляет собой частный случай дробно-рациональной функции.
Дробно-линейная функция – это такая
алгебраическая дробь 
, у которой числитель и
знаменатель представляют собой линейные
функции.
Во всякой дробно-линейной функции можно выделить целую часть.
Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность.
уравнение вертикальной асимптоты
уравнение горизонтальной асимптоты
уравнение наклонной асимптоты
Пример 1. Построим график функции 
.
Преобразуем функцию с выделением целой части: 
Дробно-линейная функция имеет две асимптоты: горизонтальную и вертикальную.
горизонтальная асимптота
вертикальная асимптота, т.к. 
Точки пересечения графика с осями координат:
при 
, точка 
при 
, точка 
Получаем график <Рисунок1>
Элементарная математика не располагает средствами исследования всякой дробно-рациональной функции общего вида. Однако некоторые частные виды этих функций могут быть исследованы средствами элементарной математики.
Если степень старшего члена числителя меньше степени старшего члена знаменателя, то рациональная алгебраическая дробь называется правильной.
Если рациональная дробь неправильная, то делением числителя на знаменатель можно ее представить в виде суммы целого многочлена (частное) и рациональной правильной дроби.
Методами элементарной математики могут быть исследованы функции вида:
а) 
б) 
в) 
г) 
и некоторые другие.
Целая часть, полученная при делении числителя на знаменатель, и будет либо горизонтальной асимптотой (как в примере, разобранном выше), либо наклонной асимптотой.
Пример 2 (стр. 141 учебника “Алгебра и начала анализа 10-11 класс” Колмогоров А.Н.)
Построить график функции 
.
Преобразуем функцию с выделением целой части 
1) 
наклонная асимптота
| x | 0 | 2 |
| y | 0 | 4 |
2) 
вертикальная асимптота
3) 
функция ни четная, ни нечетная.
4) точки пересечения графика с осями координат:
при 
, точка 
с осью ординат график функции не пересекается, т.к. эта ось есть асимптота.
5) 
; 
; 
6) 
7) Построим график <Рисунок2>.
Пример 3 (№295(г) учебника “Алгебра и начала анализа 10-11 класс” Колмогоров А.Н.).
Построить график функции 
.
Преобразуем функцию с выделением целой части:
| x | 0 | 1 |
| y | -1 | 0 |
1) 
наклонная асимптота
2) 
вертикальная асимптота
3) функция ни четная, ни нечетная.
4) точки пересечения графика с осями координат:
при 
, точка 
с осью абсцисс график функции не пересекается, т.к. эта ось есть асимптота.
5) 
;
; 
6) 
7) Построим график <Рисунок3>.
Пример 4. Построить график функции 
.
Преобразуем функцию с выделением целой части:
1) 
горизонтальная асимптота
2) 
вертикальные асимптоты
3) четная, график функции симметричен относительно оси ординат.
4) точки пересечения графика с осями координат:
при 
, точка 
при 
, точки 
и 
.
5) 
;
; 
6) 
7) Построим график <Рисунок4>.
Пример 5. Построить график функции 
.
Преобразуем функцию с выделением целой части:
| x | 0 | 2 |
| y | 0 | 2 |
1) 
наклонная асимптота
2) 
вертикальная асимптота
3) функция нечетная, график функции симметричен относительно начала координат.
4) точки пересечения графика с осями координат:
при 
, точки 
и 
с осью ординат график функции не пересекается.
5) 
; ; 
нет.
6)
7) Построим график <Рисунок5>.
Пример 6. Построить график функции 
.
Преобразуем функцию с выделением целой части:
| x | 0 | 1 |
| y | -1 | 0 |
1) 
наклонная асимптота
2) 
вертикальная асимптота
3) функция ни четная, ни нечетная.
4) точки пересечения графика с осями координат:
при 
, точка 
при 
, точки 
и 
5) 
;
; 
6) 
7) Построим график <Рисунок 6>.
Пример 7. Найти множество значений функции 
.
Преобразуем функцию с выделением целой части:
1) 
горизонтальная асимптота
2) 
3) функция ни четная, ни нечетная.
4) точки пересечения графика с осями координат:
при 
, точка 
при 
, точки 
и 
5) 
; ; 
6) 
7) Построим график <Рисунок 7>.
Ответ: 