Урок-практикум по теме: "Числовые характеристики дискретной случайной величины"

1. Цели работы:

1.1. Развивать аналитическое мышление через постоянное обращение к имеющимся знаниям учащихся, настойчивость, умение доводить начатое дело до конца.

1.2. Проверить уровень сформированности вычислительных навыков учащихся, их умение применять свои знания при выполнении заданий различного уровня сложности.

1.3. Научиться находить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины.

2. Теоретические обоснования:

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число, равное сумме произведений всех значений случайной величины на вероятности этих значений.

Если случайная величина Х принимает значения x₁, x₂, ... , x_n с вероятностями соответственно p₁, p₂,... p_n , то математическое ожидание находится по формуле:

М(x) = x_ip_i = x₁p₁+ x₂p₂ + ... + x_np_n (1)

Математическое ожидание иначе называют средним значением случайной величины, так как оно указывает некоторое среднее число, около которого группируются все значения случайной величины.

Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(x) = M(x – M(x))² (2)

Пусть случайная величина Х принимает значения x₁, x₂, ... , x_n с вероятностями соответственно p₁, p₂,... p_n , тогда квадрат отклонения случайной величины Х от её математического ожидания есть случайная величина, принимающая значения (Х₁ – М(Х)), (Х₂ – М(Х)), …, (Хn – М(Х) с вероятностями Р₁ , Р₂ , …, Рn. Поэтому математическое ожидание так распределенной случайной величины, то есть дисперсию Х, можно вычислять по формуле: D(X) = (x_i – M(x))²p_i (3)

Преобразуем эту формулу:

D(x) = (x_i – M(x))²p_i = (x_i² – 2(M(x))²)p_i = x_i²p_i – 2(M(x))x_ip_i + (M(x))²p_i

Учитывая, что p_i = 1, a x_ip_i = M(x), получим равенство

D(x) = M(x²) – (M(x))² (4)

Дисперсия случайной величины характеризует степень разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Средним квадратичным отклонением дискретной случайной величины называется квадратный корень из дисперсии:

(x) = D(x) (5)

Пример 1.

Найти числовые характеристики случайной величины Х, имеющей закон распределения, представленный в таблице 1.

Таблица 1. Закон распределения случайной величины Х.

Решение:

1. Найдём математическое ожидание.

По формуле (1): M(x) = –2 ^. 0.3 + (–1) ^. 0.1 + 1 ^. 0.2 + 2 ^. 0.1 + 3 ^. 0.3 = – 0.6 – 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.9 = 0.6

2. Найдём дисперсию.

• Воспользуемся формулой (2):

случайная величина (Х – М(Х)) имеет распределение, представленное в таблице 2

Таблица 2. Закон распределения случайной величины (Х – М(Х))

Тогда:

D(X) = M(x – M(x))² = (–2.6)^{2 .} 0.3 + (–1.6)^{2 .} 0.1 + 0.4^{2 .} 0.2 + 1.4^{2 .} 0.1 + 2.4^{2 .} 0.3 = 2.028 + 0.256 + 0.032 + 0.196 + 1.728 = 4.24

• Воспользуемся формулой (4):

случайная величина x² имеет распределение, представленное в таблице 3

Таблица 3. Закон распределения случайной величины х²

Тогда M(x²) = 1 ^. 0.3 + 4 ^. 0.4 + 9 ^. 0.3 = 0.3 + 1.6 + 2.7 = 4.6

• По формуле (4):

D(x) = M(x²) – (M(x))² = 4.6 – 0.6² = 4.6 – 0.36 = 4.24

3. Найдём среднее квадратичное отклонение по формуле (5)

(x) = D(x) = 4.24 ~2.059

Пример 2.

Найти значение параметра а для закона распределения.

Таблица 4. Закон распределения дискретной случайной величины

Решение:

Так как ,то

100а² – 20а – 3 = 0

а₁ = – 0,1
а₂ = 0,3

а₁= – 0,1 – посторонний корень , так как 0 Р(x_i)1. Подставив значение 0,3 вместо а, получим закон распределения (таблица 5).

Таблица 5. Закон распределения ДСВ

3. Порядок выполнения работы:

3.1. Проработать теоретический материал по теме.

3.2. Ответить на контрольные вопросы.

3.3. Получить вариант задания.

3.4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины для задания 1 (воспользоваться формулами (1), (3), (5)).

3.5. В заданиях 2 и 3 составить законы распределения случайной величины.

3.6. Вычислить М(x), Д(x), (x) в заданиях 1, 2, 3.

3.7. Сделать вывод по работе.

4. Контрольные вопросы:

4.1. Дать определение дискретной случайной величины.

4.2. Что такое математическое ожидание?

4.3. Что такое дисперсия?

4.4. Что такое среднее квадратичное отклонение?

4.5. Дать определение закона распределения дискретной случайной величины.

5. Рекомендации по оформлению отчёта

Отчёт по работе должен содержать:

5.1. Вид работы.

5.2. Точное наименование.

5.3. Цель.

5.4. Ход работы.

5.5. Условие задания (свой вариант задания смотри в приложениях А, Б, В).

5.6. Вывод.

5.7. Законы распределений для заданий 2 и 3.

5.8. В выводе отразить полученные значения числовых характеристик.

6. Методические рекомендации

6.1. При составлении законов распределений помните, что:

• значения случайной величины, записанные в первой строке таблицы, должны быть в порядке возрастания;
• сумма соответствующих им вероятностей должна равняться 1;
• значение вероятности должно находиться в пределах 0 Р(x_i) 1.

6.2. При решении уравнения старайтесь не допускать вычислительной ошибки, иначе весь дальнейший ваш труд будет насмарку.

6.3. Лучше меньше, да лучше!

Учащимся предлагаются следующие задания.

Задание 1. Составить закон распределения случайной величины Х .

Для заданного закона распределения найти М(x), Д(x), (x).

п – порядковый номер учащегося по списку в журнале.

Задание 2. Составить закон распределения случайной величины Х. Найти числовые характеристики случайной величины x (x – выигрыш владельца одного лотерейного билета).

• В лотерее разыгрываются N билетов;
• m из них выигрывают по А рублей;
• k из них выигрывают по В рублей;
• p из них выигрывают по С рублей.

Задания по вариантам смотрите на рисунке:

Задание 3. Найти числовые характеристики случайной величины “х”. Варианты: