Тема урока: "Решение уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций". 11-й класс

Обращение к данной теме является актуальным по следующим причинам.

Во-первых, в аттестационных работах за курс средней школы довольно часто встречаются уравнения, которые надо решать нетрадиционными способами, но ни в одном школьном учебнике нет акцентов на методы их решения.

Во-вторых, при решении этих уравнений не подходит ни один стандартный (известный) алгоритм и учащимся приходится применять более широкий спектр теоретических знаний, проявлять сообразительность и умение рассуждать. Можно добавить, что они просто интересны, а решения некоторых из них необыкновенно красивы.

Ради справедливости надо заметить, что такие задачи не выходят за рамки школьной программы, поскольку могут быть решены школьными методами.

Остановимся на основных свойствах функций, которые можно использовать при решении уравнений и неравенств: использование ОДЗ (область допустимых значений), ограниченность функций, монотонность. В ряде случаев можно использовать четность, периодичность функции, а также производную.

Вспомним, что решить уравнение — это значит найти все его корни или показать, что их нет. Это полезно помнить, потому что решение целого ряда уравнений сводится к доказательству того, что корней нет.

Уроки по этой теме (3–5 ч) целесообразно проводить в разделе “Повторение” как граничные между темами “Уравнения и неравенства” и “Функции и их графики”.

Форма проведения — комбинированный урок с элементами исследования.

Цель урока:

• обобщение и закрепление знаний по теме “Уравнения и неравенства”;
• воспитание познавательного интереса к учебному предмету;
• формирование умений анализировать, проводить обобщение, переносить знания в новую ситуацию.

Оборудование – кодоскоп и слайды.

Урок 1

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний.

Найти рациональные методы решения уравнений: таблица-подсказка

	(возведение в квадрат);
log4(2х–1)log4x–2log4(2х–1)=0	(разложение на множители);
cos 2x + 3sin 2x = 3	(введение вспомогательного угла);
25х – + 5 = 0	(сведение к квадратному уравнению);
х3 – 3х + 2 = 0	(группировка);
3 sin2 x + sin x cos x – 2 cos2 x = 0	(однородное уравнение: деление на старшую степень и сведение к квадратному);
х4 – 5 х3 + 8 х2 – 5х + 1=0	(симметричные уравнения: деление на, группировка, подстановка х + 1/x = t, сведение к квадратному)
+=	ОДЗ:

Комментарий учителя.

1 этап — учащиеся работают без подсказки учителя и наводящих вопросов;

2 этап — учитель открывает таблицу-подсказку с перечнем возможных методов решения и предлагает установить соответствие между уравнениями и методами решений.

Заметим, что уравнение № 8 учащиеся не могут решить известными методами. Учитель наводящими вопросами помогает его решить и переходит к новой теме.

3. Теоретическая часть (изучение нового материала):

Использование ОДЗ

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнений непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Решение задач.

Доказать, что корней нет. Решение:

1. a)
2. b)
3. - = 1c)

Проверка: x = 1 — не подходит. Корней нет.

4) Задание на дом:

Составить уравнение по теме урока, у которого нет корней.

Решить уравнение: + + = (Ответ: x = 0)

Решить неравенство:+ < 10. (Ответ )

Урок 2

1. Организационный момент

2. Устная работа

+ ⁴ > 0

ОДЗ: не подходит, .

+ < 1

ОДЗ:

+ = 6

ОДЗ:

3. Теоретическая часть

Базовые неравенства, которые часто используются для оценки.

Нередко при решении задач полезно провести оценку левой и правой частей уравнения или неравенства. Для этого можно воспользоваться следующими базовыми неравенствами:

1. Неравенство Коши для n переменных.

   (a₁ + a₂ +…+ a_n) / n  , где a₁ 0, … ,a_n 0.

   Для двух переменных (a+b) / 2 , где a, b 0

   (неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим).

2. Оценка суммы двух взаимно обратных чисел.

   a + 1/ a 2, если a > 0 ; a + 1/ a -2, если a < 0 ; если a = 1, то a + 1/ a =2 ; если=2 ,то а=1.

3. a  ^|f(x)| 1, если a > 14.

   a  ^|f(x)| 1, если 0 < a < 1

4. |sin f(x)| 1

   |cos f(x)| 1

5. Неравенство Бернулли:

   если p < 0 или p > 0, то (1 + x )^p 1 + ,

   если 0< p < 1, то 1+ , где x > -1.

Использование ограниченности функций

При решении уравнений и неравенств свойство ограниченности (снизу или сверху) функции на некотором множестве часто играет определяющую роль. Если для всех х из некоторого множества M справедливы f(x) > A и g(x) <A, где A – некоторое число, то на множестве М уравнение f(x) = g(x) и неравенство f(x)<g(x) решений не имеют.

Примеры:

1) 2 sin x = 5x² + 2x +3

Пусть f(x) = 2 sin x, |f(x)| 2

Пусть g(x) = 5 x² + 2x +3, min g(x) =g(- b/2a) = g(- 2/()) = g(-1/5)

g (-1/5) = + + 3 = 1/5 – 2/5 +3 = 14/5 > 2, следовательно, левая часть уравнения при любом х строго меньше правой, т.е. решений нет.

2) sin (x³ + 2x² + 1) = x² + 2x +3

аналогично sin (x³ + 2x² + 1) 1, x² + 2x +3 = (x+1)² + 2 2, следовательно, корней нет.

3) + = x² – x + 2

По неравенству Коши: (a + b) / 2 имеем: = ((x² + x – 1) + 1) / 2 = (x² + x) / 2 и ((x - x² + 1) + 1) / 2 = (x - x² + 2) / 2.

Оценим левую часть + = x² – x + 2 (x² + x) / 2 + (x - x² + 2) / 2 = (2x + 2) / 2 = x + 1 =>

x² - x + 2 x + 1 => x² - 2x + 1 0 => (x – 1)² = 0 => x = 1 => проверка: х = 1 — корень.

4) Решение задач

1. Решить уравнение:

   + = 2.

   Используя неравенство Бернулли получим: , причём равенство возможно лишь при т.е. x = 1 и х = -1. Следовательно, х = 1 – корни уравнения.

2. + + + = 4

   Используя неравенство Бернулли

   (1 – x)^1/2 + (1 + x)^1/2 + (1 – x ²)^1/4 1 – 1/2 x + 1 + 1/2 x + 1 – 1/4 x ² + 1 + 1/4 x ² = 4. Равенство возможно лишь при х = 0, х = 0 – корень уравнения.

3. = x² – 6x + 11

   Левая часть имеет место при 2 х 4. Используем неравенство Коши ((a + b) / 2) , a 0, b 0.

   = (1 + x – 2) / 2 = (x – 1) / 2

   (1 + 4 – x)/2 = (5 – x)/2

   (x – 1)/2 + (5 – x)/2 = 2

   Опишем правую часть уравнения:

   x² – 6x + 11 = (x – 3)² + 2 2.

   Левая часть уравнения меньше или равна 2, а правая часть больше или равна 2. Следовательно, уравнение имеет место, если обе части уравнения равны 2.

   x² – 6x + 11 = 2, x² – 6x + 9 = 0. х = 3. Проверкой убеждаемся, что х =3 – корень уравнения.

4. cos x = 1 + x⁸

   -1 cos x 1, 1 + x⁸ 1, следовательно, cos x = 1 + x⁸ = 1. х = 0. Проверкой убеждаемся, что х = 0 — корень уравнения.

5) Задание на дом (из [3])

1. sin x = x² + 2x + 2 (решений нет)
2. cos x = x² – 2x + 2 (решений нет)
3. 8 sin x = x² – 10 x + 33 (решений нет)
4. sin (p x/2) = x² – 2x +2 (x=1)

Урок 3

1) Организационный момент

2) Устная работа

1. < 2 (т.к. при a > 0 , a + 1/a 2, то )
2. cos x = 1 + |x| ( |cos x| 1, 1 + |x| 1, cos x = 1 + |x| = 1, x = 0)
3. sin x = 1 + 1/ (x² + 1) ( , т.к. |sin x| 1, 1 + 1/ (x² + 1) 1)
4. cos x = x² + 1 (x = 0, т.к. |cos x| 1, x² + 1 1, cos x = x² + 1 = 1)
5. sin x = 1 + 2^x (|sin x | 1, 1 + 2^x 1, решений нет)
6. 2^x = 6 – х (подбором х = 2)

Комментарий учителя. В последнем уравнении учащиеся подбором могут найти корень уравнения. Необходимо обратить их внимание на то, что этого не достаточно и надо доказать, что других корней нет. Для этого рассмотрим свойство монотонности функции.

3) Теоретическая часть.

Использование монотонности функции

При решении уравнений и неравенств с использованием свойства монотонности полезно использовать следующие утверждения:

1. Пусть f(x) — непрерывная и строго монотонная функция на промежутке J, тогда и уравнение f(x) = C, где С — данная константа, может иметь не более одного решения на промежутке J.
2. Пусть f(x) и g(x) — непрерывные на промежутке J функции, f(x) строго возрастает, а g(x) строго убывает на этом промежутке, тогда уравнение f(x) = g(x) может иметь не более одного решения на промежутке J.

Примеры:

2^x + 3^х = 5^x

(2/5)^x + (3/5)^x = 1.

Уравнение имеет единственное решение х = 1, поскольку его левая часть — убывающая функция.

6^x - 2^x = 32

3^х – 1 = 32/ 2^x

Левая часть полученного уравнения является возрастающей функцией, а правая часть — убывающей. Следовательно, х = 2 — единственный корень уравнения (по утв.2).

7^x + 9^x + 22^x < 3

Пусть f(x) = 7^x + 9^x + 22^x. f(x) является возрастающей функцией как сумма трёх возрастающих функций на всей оси.

при х = 0 f(x) = 3

при х > 0 f(x) > 3

при х < 0 f(x) < 3. Следовательно, решениями неравенства являются все х < 0.

3. Решение задач (из [3])

Решить уравнения:

1. 8^х + 18^х = x = 0
2. x³ - 33 = -2x x = 3
3. x⁵ + 2 x³ = 48 x = 2
4. d) x⁵ + 4x = 40 x = 2
4. Задание на дом.

Решить уравнения:

2^x + х = 3 x = 1

2^x = 6 – х x = 2

2^x+1 + х = - 3/2 x = -2

2^x = - Ѕ - x x = -1

4) Итоги

Если после изучения этой темы, вы, получив задание, не начнете действовать механически, а хотя бы на минутку задумаетесь, искать ли ОДЗ, использовать ли свойства функции, то можно считать, что эти уроки были не напрасны.

Литература

1. Ткачук В.В. Математика – абитуриенту. Москва, МЦНМО, 2002 г.
2. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Пособие для учащихся 10 – 11 классов. Москва “Экзамен” 1998 г.
3. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике и алгебре и началам анализа за курс средней школы.
4. Супрун В.П. Избранные задачи повышенной сложности по математике. Минск “Полымя” 1998г.