 |
«Можно предположить, что в культуре, в которой
имеется математика, должна быть и поэзия, и
наоборот». Выдающийся филолог и философ Ю. М. Лотман. Культуре в равной мере необходимы наука и искусство, а человеку в равной степени нужны истина и красота. Наука и искусство выступают как дополняющие друг друга противоположности Инь и Янъ (рис. 1). |
Проблема гуманитаризации, межпредметных связей ставит конкретные задачи перед учителями. Необходимо показывать учащимся гармонию мира. Это соответствует технологии развивающего обучения. Мы приводим нашу версию работы с учащимися на уроках различных предметов по одним вопросам. Целесообразно провести интегрированное внеклассное мероприятие. После рассмотрения каждого понятия предлагаем задать учащимся вопросы в стихотворной форме, кроссворд.
Понятие 1. Снежинки.
Темы рассмотрения понятия в различных предметах:
1. Преобразования на плоскости и в пространстве. Виды симметрии. Правильные и звёздчатые многоугольники и многогранники (геометрия).
2. Вода, снег и лёд. Физическое состояние воды (физика).
3. Сравнение бесконечно больших величин (алгебра и математический анализ, философия).
4. Опасность снежной лавины, метель, пурга. (ОБЖ).
5. Открытия и достижения учёных (история).
6. Звёзды, их падение (астрономия).
7. Живые организмы, имеющие форму правильных многоугольников и многогранников (биология).
 |
Снежинки это звёздчатые многоугольники. Они
обладают поворотной симметрией, имеют центр
симметрии и обычно шесть осей симметрии. По
аналогии в пространстве звёздчатые
многогранники имеют те же виды симметрий, но
подчиняются ещё и зеркальной симметрии, то есть
симметрии относительно плоскости. Снежинки – очаровательный пример красоты порядка в природе и замечательное воплощение принципа единства в многообразии. Тысячи разнообразных форм снежинок объединены законом поворотной симметрии 6-го порядка. Их изучал Рене Декарт. А американский учёный Уильям Бентлей собрал коллекцию более 6000 микрофотографий снежинок (рис. 2). Известный немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571-1630) написал трактат «О шестиугольных снежинках». |
В природе шестиугольная форма чаще всего встречается у снежинок. Иоганн Кеплер объяснял это тем, что вода, воздействием холода, скапливается вокруг центра и вокруг радиусов, расставленных в шестиугольном порядке.
«Я считаю, что теплоту, охранявшую до сих пор вещество, одолел холод, и она как действовала (исполненная формообразующего начала), соблюдая порядок, и как сражалась, не нарушая его, так и в бегство обратилась, сохраняя известный порядок, и отступила». (Кеплер).
«И только настоящий учёный может задать себе вопрос, мимо которого пройдут тысячи людей; «Почему снежинки имеют определённую форму?» И только поэт может представить, как в капле воды идёт борьба между теплом и холодом, как сопротивляется холоду вещество, сплачивая свои ряды подобно гвардии, которая погибает, но не сдаётся». (А.И.Азевич)
Снежинки то медленно, задумчиво падают, то в метель кружатся и шумят. Снежная лавина, пурга, метель – опасны. На рисунке - модель снежинки, изготовленной учащимися из бумаги.
Задача: Сколько осей симметрии имеет снежинка? Чему равен её угол поворота симметрии?
 рис. 3 |
 рис. 4 |
 рис. 5 |
Вопрос для викторины «Что? Где? Когда?» (Автор – Завалишина Т.И).
Они центрально симметричны,
И угол поворота есть,
При этом очень симпатичны,
Осей симметрии обычно шесть.Они сложны, разнообразны, но воздушны.
К ним Кеплер был не равнодушен.
Хоть по отдельности они прекрасны,
Но вместе могут быть опасны.Они сродни лишь звёздам вдалеке,
А как они загадочно красивы
Бывают то задумчивы и налегке,
То шумны, быстры, шаловливы.Чего же больше, звёзд иль их?
Что чаще падает из них?
На это не прошу ответа.
Назовите сам предмет! Скажите, что же это?
Ответ: снежинки.
Различные виды симметрий можно наблюдать и у живой природы – созидательницы организмов, геометрическому изяществу которых позавидует любой математик.
Например, простейшие морские организмы – радиолярии (в пер. с лат. – «золотой диск»).
Они живут как на поверхности моря, так и на разных его глубинах. Радиолярии незаметны невооружённым глазом. Но под микроскопом видна природная геометрия симметрий разного порядка (рис. 4). А на рисунке 5 мы видим гнездо радиолярий.
рис. 6 |
В живой природе встречаются и правильные
многогранники. Скелет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra) по форме напоминает икосаэдр (рис. 6). Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник. На концах игл имеются зубцы, обеспечивающие более надёжную защиту. Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление толщи воды. |
Понятие 2. Спираль.
Темы рассмотрения понятия в различных предметах:
1. Функции и их графики. Удивительные кривые. Винтовая симметрия (математика).
2. Открытия и достижения учёных (история).
3. Спираль в растительном и животном мире (биология).
4. Строение уха (анатомия человека).
5. Покрой воротника «спираль», устройство швейных машин, (трудовое обучение)
 рис. 7 |
Архимед - величайший учёный эпохи
эллинизма и всего древнего мира, живущий в
Сиракузах на о. Сицилии в 287-212гг. до н.э. В трактате
«О спиралях» он определяет спираль, носящую его
имя: если по равномерно вращающемуся вокруг
своего начала лучу равномерно движется от начала
луча точка, то её траекторией движения на
плоскости будет спираль (рис.7). Архимеду было
известно, что расстояние между двумя
последовательными витками спирали постоянно
равно 2п. Считают, что Архимед изобрёл винт («улитку»), которыйприменялся для поливки полей (теперь мы видим его в мясорубке). В это легко верится, так как Архимед давал практическое применение науке. По словам И. Н. Веселовского «Архимед и начал свою научную деятельность как механик, и закончил её как механик... механика для него является могучим средством для получения математических результатов, а эти результаты применяются для механических теорий». Примерами применения спирали Архимеда в технике являются самоцентрирующийся патрон (рис. 8), механизм для равномерного наматывания ниток в швейных машинках |
 рис. 8 |
Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил – тяготения и инерции. Золотая пропорция – символ этого взаимодействия, поскольку диктуемое ею отношение большей части целого к самому целому выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт лёгкого юного побега до зрелости и замедленный рост «по инерции» до момента цветения, когда достигшее полной силы растение готовится дать жизнь новому побегу. Одним из первых проявлений золотого сечения в природе подметил разносторонний наблюдатель, автор многих смелых гипотез И. Кеплер.
рис. 9 |
Прямоугольник, у которого для сторон a и b выполняется соотношение a : b = b : (1-b), называется золотым. Если от золотого прямоугольника со сторонами a и b (где a>b) отрезать квадрат со стороной b, то получим прямоугольник со сторонами b и a - b, который тоже золотой. Продолжение этого процесса приводит к последовательности так называемых вращающихся квадратов. Если соединить противоположные вершины этих квадратов плавной линией, то получим кривую, которая называется золотой спиралью (рис. 9). |
Если соединить противоположные вершины этих квадратов плавной линией, то получим кривую, которая называется золотой спиралью (рис. 9). Точка S, с которой она начинает раскручиваться, называется полюсом. Отрезки, соединяющие точку S с точками спирали, называются полярными радиусами. Французский учёный Пьер Вариньон (1654 – 1722) назвал эту спираль логарифмической, поскольку логарифм расстояния движущейся точки M от полюса S изменяется пропорционально углу поворота а. Одно из важнейших свойств этой кривой состоит в том, что она пересекает под постоянным углом все прямые, выходящие из полюса S.
Логарифмическая спираль единственная из спиралей не меняет своей формы при увеличении размеров. Видимо, это свойство и послужило причиной того, что в живой природе логарифмическая спираль встречается чаще других. По логарифмической спирали свёрнуты раковины многих улиток и моллюсков (рис. 10).
 рис. 10 |
 рис. 11 |
 рис. 13 |
Та же спираль встречается в соцветиях растении. Даже пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по логарифмической спирали (рис. 11). Паучьи сети – это нежные, недолговечные создания. Каждая, как электрический кабель, состоит из многих сотен отдельных волокон. И всё же паучья нить намного тоньше человеческого волоса. Покрытые росой круглые, словно колёса, паучьи сети выглядят в лучах утреннего солнца как произведение искусства. Нить паутины прочнее шёлка в 6 раз. Бронежилет, изготовленный из многослойной искусственной паутины легче и прочнее, чем из кевлара.
Свойства логарифмической спирали первым начал изучать французский учёный Рене Декарт (1596–1650). Много занимался этой спиралью и швейцарский математик Якоб Бернулли (1654-1705). Он настолько был восхищён ею, что даже завещал вырезать её на надгробии вместе со словами: «Изменённая, я воскресаю той же» (рис. 12 внутри рис.9).
Человеческие представления о красивом формируются под влиянием того, какие воплощения порядка и гармонии человек видит в живой природе. А природа любит повторения. В различных своих творениях использовать одни и те же принципы. Золотое сечение – один из этих основополагающих принципов природы.
Раковина Nautilus – изумительно совершенный пример фрактальной структуры в природе (рис. 13). Логарифмическая спираль раковины самоподобна, её пропорции определяются числами Фибоначчи, а значит, и коэффициентом золотого сечения. Возможно, динамической симметрией и объясняется завораживающая красота раковины.
Розетка подсолнечника – ещё один пример спиралевидного фрактала в природе.
Но здесь имеется два противоположно закрученных семейства спиралей.
 Рис.14 |
 Рис.15 |
Число левых и правых спиралей равно двум соседним числам Фибоначчи, например89 и144, а их отношение с точностью 0,00001 равно коэффициенту золотого сечения. Гете видел в спирали математический символ жизни. Его мысль о том, что «природа стремится к спирали», подтверждается действительностью. Розетка подсолнечника (слева рис 14) и её геометрия (справа рис. 15).
Спиральные туманности, устройство еловой шишки, бараньего рога (рис. 16, 17, 18), внутреннего уха человека – улитки повторяют спираль (рис. 19). Родоначальниками всех пород домашних овец являются муфлоны – разновидности горного барана архара. На рисунках 16 – 18 изображены соответственно Советский меринос, снежный баран, винторогий козёл.
 Рис. 16 |
 Рис. 17 |
 Рис. 18 |
 Рис. 19 |
Если покрой воротника идёт по спирали, то это воротник – спираль (рис. 20).
В изделии он принимает вид воланов.
Вопрос для викторины «Что? Где? Когда?» (Автор – Завалишина Т.И).
Рис. 20 |
Воротники такие есть,
Что родственников их не счесть:
Бараний рог, и ухо пастуха,
Раковина моллюска и шляпка подсолнуха.Что их всех объединяет?
Как воротники называть заставляет?
Ведь ей часть жизни посвятил сам Архимед,
Того, кто её знает, ждёт множество побед.
Ответ: спираль.
Понятие 3. Псевдосфера Лобачевского.
Темы рассмотрения вопроса в различных предметах:
1. Тела вращения (геометрия).
2. Музыкальные инструменты (музыка).
3. Климатические и природные явления (природ география).
4. Распространение звука (физика).
5. Открытия и изобретения (история).
Псевдосфера Лобачевского – пример поверхности постоянной отрицательной кривизны (рис. 21). Псевдосфера получается при вращении трактрисы (рис. 22) вокруг оси ординат.
 Рис. 21 |
 Рис. 22 |
 Рис. 23 |
Геометрически трактриса характеризуется тем, что отрезок касательной к ней, заключённый между точкой касания и осью ординат, сохраняет постоянную длину.
Теория магнетизма, атомной физики, электродинамика, оптика, геодезия, топология, прикладная математика – основные направления развития науки, предшествующие и сопутствующие открытию Н. И. Лобачевского его Геометрии, его Псевдосферы.
Длина трубы, её диаметр, а также форма раструба определяет диапазон и тональность звука.
Форма раструба напоминает псевдосферу Лобачевского (рис. 23).
Схема из философско-художественного произведения «Закат Европы» (1920г.) немецкого учителя математики Освальда Шпенглера (1880-1936). (Рис. 24)
Фундаментальный закон мироздания – закон отрицательной обратной связи. На схеме показана смена космогенных и хаосогенных (гармонических и дисгармонических) стилей в европейской истории искусств. Схема напоминает форму псевдосферы.
Черные дыры – область космического пространства, где сила тяготения столь велика, что никакое излучение, даже свет, не может покинуть её. Когда чёрная дыра (рис. 26) находится по соседству со звездой, её огромная сила тяготения притягивает с этой звезды её вещество. Вещество, состоящее из субатомных частиц и газа, вытягивается в спираль, которая называется аккреционным диском. Чёрная дыра имеет форму воронки (рис. 25). Тела втягиваются в воронку и, попав в неё, уже никогда не смогут выйти из поля её тяготения.
 Рис. 24 |
 Рис. 25 |
 Рис. 26 |
 Рис. 27 |
Циклонами называют тропические ураганы, формирующиеся над тёплыми морями. Воронка (рис. 27), с кружащимся воздухом, с грозовыми облаками, возносящимися на высоту до 16 км, может достигать в поперечнике 1000 км. Скорость ветра в эпицентре циклона превышает 300 км/ч, а весь циклон обычно перемещается над океаном со скоростью около 25 км/ч. На суше циклоны причиняют чудовищные разрушения.
Вопрос для викторины «Что? Где? Когда?» (Автор – Завалишина Т.И).
Имеют эту форму музыкальный инструмент,
И иногда - природные явления лишь момент.
И постоянство в ней, и новизна,
И отрицательная кривизна.
Русский гений эту форму описал,
Её он очень важною считал.
Со сферой связано её название,
И исключительно её создание.
Вопрос: как называется эта геометрическая форма.
Ответ: Псевдосфера Лобачевского. Эту форму имеют раструбы тромбона, трубы, горна, т. е. духовых инструментов. Её принимает смерч, воронка из воды в реке.
Понятие 4. Пчелиные соты и сотовый телефон.
Темы рассмотрения вопроса в различных предметах:
1. Многогранники (Геометрия).
2. Насекомые (Биология).
3. Устройство сотовой связи (Физика).
Соты в улье свешиваются сверху вниз. Ячейки уложены в пласты и соприкасаются общими донышками. Когда рассказывают о пчёлах, то демонстрируют соты в разрезе в виде правильных шестиугольников (рис. 28). Но можно построить сечение другим (рис. 29). Почему пчёлы строят донышки своих ячеек не плоскими, а в форме части трёхгранного угла, в качестве граней которого берутся ромбы (рис. 30)? Оказывается, из двух многогранников с равными объёмами пчелиная ячейка имеет меньше площадь поверхности, чем правильная шестиугольная призма на величину 3/2аІvЇ3 ? vЇ2). Благодаря этому, расчётливые пчёлы экономят около 2%воска. Пчелиные соты представляют собой пространственный паркет, поскольку они заполняют пространство так, что не остаётся просветов (рис. 31). Это природная мудрость пчёл.
 Рис. 28 |
 Рис. 29 |
 Рис. 30 |
 Рис. 31 |
Мобильные, или сотовые, телефоны работают, благодаря созданию особой сотовой сети.
Сеть создана по принципу устройства пчелиных сот.
Архитекторы используют эти закономерности при постройке ультрасовременных зданий. В Москве недалеко от проспекта Вернадского стоит красивое здание, так напоминающее часть пчелиных сот, покрытое крышей из ромбов.
Вопрос для викторины «Что? Где? Когда?» (Автор – Завалишина Т.И).
Фото 1 |
О каких шедеврах, и каком устройстве идет речь?
Чарует простота и сложность мирозданья.
Известен нам пространственный паркет.
Природы мудрые созданья
Шедевры строят много лет.Созданья эти к геометрии способны,
Нам опыт их перенимать удобно.
Мир гармоничен, и шедевров свойства
Используем в известнейшем устройстве.
Ответ: Пчелиные соты и устройство сотовой связи.
Пчелиные соты – это математический шедевр из воска.
Модель пчелиных сот изготовлена учащимися из картона (фото 1) по описанию и чертежам, приведённым в Гуманитарно-математическом курсе А.И.Азевича «Двадцать уроков гармонии.
Кроссворд «Гармоническое устройство мира» (рис. 32).
Рис. 32 |
По вертикали
1. Спираль, которая иначе называется золотой.
2. Форма чёрной дыры.
3. Внутренняя часть уха, повторяющая
логарифмическую спираль.
| 4. Имеют эту форму музыкальный инструмент, |
Рис. 21а |
5. Сеть, похожая на логарифмическую спираль.
6. Спираль, о которой вспоминают перед праздником
По горизонтали
1. Создатель неевклидовой геометрии.
2. Изобретатель прямоугольной системы координат
(рис. 29).
3. Музыкальный духовой инструмент.
4. Домик моллюска.
5.
Они центрально симметричны,
И угол поворота есть,
При этом очень симпатичны,
Осей симметрии обычно шесть.
Они сложны, разнообразны, но воздушны.
К ним Кеплер был не равнодушен. Рис. 33
Хоть по отдельности они прекрасны,
Но вместе могут быть опасны.
Они сродни лишь звёздам вдалеке,
А как они загадочно красивы
Бывают то задумчивы и налегке,
То шумны, быстры, шаловливы.
Чего же больше, звёзд иль их?
Что чаще падает из них?
На это не прошу ответа.
Назовите сам предмет! Скажите, что же это? Рис. 34
6. Автор трактата "О снежинках" (рис. 30).
7. Закон красоты и гармонии мира.
8.
Чарует простота и сложность мирозданья.
Известен нам пространственный паркет.
Природы мудрые созданья
Шедевры строят много лет.
Созданья эти к геометрии способны,
Нам опыт их перенимать удобно.
Мир гармоничен, и шедевров свойства
Используем в известнейшем устройстве.
Назовите эти природные шедевры!
9. Пример в природе противоположно закрученных семейств спиралей. Рис. 6
10. Организмы, имеющие форму икосаэдра (рис. 6).
11.
Воротники такие есть,
Что родственников их не счесть:
Бараний рог, и ухо пастуха,
Раковина моллюска и шляпка подсолнуха.
Что их всех объединяет?
Как воротники называть заставляет?
Ведь ей часть жизни посвятил сам Архимед,
Того, кто её знает, ждёт множество побед.
12. Величайший математик эпохи эллинизма, автор трактата "О спиралях".
 рис. 33 |
 рис. 34 |
 рис. 6 |
Ответы удобно проверять в клетках (рис. 35).
Рис. 35
Используемая литература
1. « Математика и искусство» А. В. Волошинов «Просвещение», 2000.
2. «Двадцать уроков гармонии Гуманитарно-математический курс. А.И.Азевич Москва «Школа-Пресс», 1998.
3. «Эстетика урока математики». Пособие для учителей. И. Г. Зенкевич. Москва «Просвещение», 1981.
4. Д.Я.Стройк. Краткий очерк истории математики. М., 1984
5. Математический энциклопедический словарь. - М., 1988
6. Журнал Математика в школе №6, 2003 года стр. 58, 59.
7. Кеплер И. О шестиугольных снежинках. М., 1985.
8. Большая иллюстрированная энциклопедия школьника. Издательство «Махаон», 2000.
9. Тайны живой природы. Перевод с англ. А. М Голова М. «РОСМЭН» 2002