Использование информационных технологий на уроке геометрии на тему: "Решение задач по теме "Метод координат"

Цели урока:

• Повторить пройденный материал и закрепить изученное путем решения задач
• Продолжить формирование координатного метода
• Воспитать познавательный интерес учащихся к изучению материала
• Развивать логическое мышление учащихся

Оборудование: компьютерный класс, демонстрационный телевизор.

Ход урока

Организационный момент

Учитель сообщает ребятам о том, что они изучили все основные понятия и формулы координатного метода, необходимые для решения различных планиметрических задач.

Актуализация знаний

А для того, чтобы узнать, как учащиеся их усвоили, а также для актуализации знаний, необходимых для решения последующих задач, можно провести контролирующий тест. Тестовая система написана с помощью Delphi 7.0.

Вид окна при запуске программы:

Для продолжения тестирования необходимо нажать кнопку “Далее>>”, для выхода из тестовой системы – кнопку “Выход”.

При нажатии на кнопку “Далее>>” появляется окно авторизации:

Здесь ученик должен указать свое имя, фамилию и класс для того, чтобы данные о тестируемом позже заносились в таблицу. Для продолжения тестирования надо нажать кнопку “Далее>>”, для выхода из программы — кнопку “Выход”.

При нажатии на кнопку “Далее>>” появляется диалоговое окно “Вопрос — ответ”:

Всего программа содержит базу из 50 вопросов, из которых выбирается случайным образом нужное количество вопросов. По желанию учителя количество предлагаемых вопросов может быть изменено. Вопросы содержат как теоретический материал, так и практические задачи. Варианты ответов также выбираются случайным образом и их количество может быть изменено. При нажатии на кнопку “Далее>>” появляется следующий вопрос, на кнопку “Выход” — тестовая система закрывается.

После того, как ученик ответил на все предложенные ему вопросы, появляется окно “Результаты тестирования”:

При нажатии на кнопку “Выход” тестовая система закроется.

После прохождения теста в файл return.txt будет добавлена строка с информацией о том, как ученик прошел тест.

Решение задач

Учитель сообщает ученикам, что координатный метод является одним из эффективных инструментов решения задач, и довольно часто он является единственным способом решения задачи. Его преимущества очевидны особенно в тех случаях, когда решение задачи чисто геометрическими способами сложно или требует применения мало известных теорем. Координатный метод позволяет получать решение задачи в общем виде, в то время как геометрическое решение требует рассмотрения частных случаев отдельно. Важно и то, что для него не является характерным выполнение вспомогательных построений. В доказательство этого учитель предлагает рассмотреть решение следующей задачи.

Задача 1. Дана прямоугольная трапеция с основаниями a и b. Найти расстояние между серединами ее диагоналей. На предыдущем уроке в качестве домашнего задания ребятам было предложено решить эту задачу геометрическим способом.

Несколько вариантов своих решений ребята оформляют на доске. После рассмотрения всех предложенных вариантов учитель предлагает рассмотреть решение этой задачи методом координат.

Учитель запускает программу Microsoft PowerPoint на компьютере, который подключен к демонстрационному телевизору. Чтобы запустить решение задачи № 1, нажмите СTRL и щелкните ссылку.

Приложение1.ppt

Ученики оформляют решение задачи в рабочих тетрадях. Очевидно, что решение задачи координатным методом оказалось более рациональным.

Задача 2 (теорема Стюарта). Если даны треугольник АВС и на его основании точка D, лежащая между точками В и С, то справедливо равенство: (*)

Решение этой задачи оформляется на доске.

Доказательство:

Выберем систему координат как показано на рисунке.

В выбранной системе координат вершины треугольника АВС будут иметь следующие координаты:

A(x₁;y₁), B(x₂;0), C(0;0) и точка D(x₃;0).

Вычислим все величины, входящие в равенство (*):

Подставим все эти значения в левую часть равенства (*):

что и требовалось доказать.

Следующие две задачи можно предложить учащимся решить самостоятельно по вариантам.

Задача 3. (1 вариант) Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство:

Пусть ABCD – трапеция, AB||CD, MK –___________________________.

За начало координат примем точку А. Луч АВ примем за положительную полуось абсцисс. В данной системе координат вершины трапеции будут иметь следующие координаты:

A(____;____), B(x₁;____), C(x₂;y₂),D(____;y₂).

Тогда координаты точек М и К будут равны:

M (______;______), K (______;_______).

Ординаты концов средней линии __________, значит, она параллельна оси ____________ , а так как основание трапеции АВ лежит на оси ________, то средняя линия ____________ основаниям.

Вычислим длины оснований и средней линии трапеции.

АВ=__________________

СD=__________________

Итак, средняя линия трапеции ____________ основаниям и ее длина равна их _____________________.

Задача 4. (2 вариант) Докажите, что средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

Доказательство:

Пусть треугольник АВС – произвольный треугольник, а EF – его средняя линия. Выберем систему координат так, чтобы основание АВ совпадало с осью абсцисс, причем точка А была бы началом координат, а точка В находилась на положительной полуоси.

Тогда вершины треугольника будут иметь координаты:

A(_____;_____), B(x₁;_____), C(x₂;y₂).

Так как точки E и F – это середины отрезков АС и СВ соответственно, то их координаты равны:

E(_____; _______), F(_______; _______).

Из того, что ординаты этих точек _______, следует, что EF параллельна оси ____________, а так как АВ лежит на оси абсцисс, то EF и AB параллельны.

Вычислим длину средней линии треугольника:

EF =______________________________________________________________.

Итак, мы доказали, что средняя линия треугольника __________ основанию, и ее длина равна __________________ длины этого основания,

что и требовалось доказать.

Для выполнения этого задания ребятам выдаются текстовые заготовки с допущенными пропусками в решении задачи. Такие заготовки облегчают ученику выполнение действий в развернутой письменной форме, а учителю позволяет осуществить во время урока оперативный контроль. По одному человеку от каждого варианта выполняют свои задачи у доски, остальные работают самостоятельно на своем рабочем месте.

Задача 5: Дан квадрат ABCD со стороной а. Определите расстояние между серединой отрезка АМ, где М – середина ВС, и точкой N на стороне CD, делящей ее так, что CN:ND=3:1.

Готовое решение следующей задачи можно предложить ребятам для самостоятельного разбора. Спустя некоторое время можно вызвать по желанию ученика к доске для защиты этого решения на доске, остальные пусть оформляют задачу в тетрадях.

Решение:

Выберем систему координат как показано на рисунке.

Тогда точки M и N, согласно условию, будут иметь координаты:

соответственно.

Так как Е – середина АМ, то ее координаты будут следующими:

Значит, Е.

Найдем расстояние между точками E и N:

.

Постановка домашнего задания

Оформить решение следующих задач:

1. Доказать, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.
2. Если ABCD – прямоугольник, то для любой точки M справедливо равенство AM² +CM²=BM²+DM².
3. Дано: треугольник АВС, АВ=с, AC=b, ВС=а, BD – медиана треугольника АВС. Доказать:

Подробное решение задач Вы найдете в Приложении 2.

Итог урока

Ребятам предлагается ответить на следующие вопросы учителя:

1. В чем заключается координатный метод решения задач?

2. Какими умениями необходимо овладеть для решения задач координатным методом?

(Строить точку по заданным координатам, находить координаты заданных точек, вычислять расстояние между точками, заданными координатами, уметь находить координаты середины отрезка по координатам его концов, оптимально выбрать систему координат, преобразовывать алгебраические выражения, умение составлять уравнение данной фигуры по ее характеристическому свойству, умение “видеть” за уравнением конкретный геометрический образ.)

3. Выставить учащимся оценки за урок.