Урок геометрии в 8-м классе на тему: "Теорема Пифагора"

Разделы: Математика

Цели урока:

Образовательная: сформулировать и доказать теорему Пифагора и теорему, обратную теореме Пифагора. Показать их историческое и практическое значение.

Развивающая: развивать внимание, память, логическое мышление учащихся, умение рассуждать, сравнивать, делать выводы.

Воспитывающая: воспитывать интерес и любовь к предмету, аккуратность, умение слушать товарищей и учителя.

Оборудование: Портрет Пифагора, плакаты с задачами для закрепления, учебник “Геометрия” 7-9 классы (И.Ф. Шарыгин).

План урока:

I. Организационный момент – 1 мин.

II. Проверка домашнего задания – 7 мин.

III. Вступительное слово учителя, историческая справка – 4-5 мин.

IV. Формулировка и доказательство теоремы Пифагора – 7 мин.

V. Формулировка и доказательство теоремы, обратной теореме Пифагора – 5 мин.

Закрепление нового материала:

а) устное – 5-6 мин.
б) письменное – 7-10 мин.

VII. Домашнее задание – 1 мин.

VIII. Подведение итогов урока – 3 мин.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания.

п.7.1, № 3 (у доски по готовому чертежу).

image3.jpg (2872 bytes)Условие: Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 1 и 2. Найдите катеты этого треугольника.

BC = a; CA = b; BA = c; BD = a1; DA = b1; CD = h C

b2 = 2*3 = 6

b =

a2 = 1*3 = 3

а =

Дополнительный вопрос: записать соотношения в прямоугольном треугольнике.

h2 = а1* b1 а2 = а1*с b2 = b1*с

п.7.1, № 5. Разрежьте прямоугольный треугольник на три подобных между собой треугольника.

Объясните.

image4.jpg (747 bytes) АСН ~ image4.jpg (747 bytes) АВС ~ image4.jpg (747 bytes) СВН

(обратить внимание учащихся на правильность записи соответственных вершин подобных треугольников)

III. Вступительное слово учителя, историческая справка.

Пребудет вечной истина, как скоро её познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора верна, как и в его далекий век.

Не случайно я начала свой урок со слов немецкого писателя-романиста Шамиссо. Наш урок сегодня посвящен теореме Пифагора. Запишем тему урока.

Перед вами портрет великого Пифагора. Родился в 576 году до нашей эры. Прожив 80 лет, умер в 496 году до нашей эры. Известен как древнегреческий философ и педагог. Был сыном торговца Мнесарха, который брал его часто в свои поездки, благодаря которым у мальчика развились любознательность и желание познать новое. Пифагор – это прозвище, данное ему за красноречие (“Пифагор” - значит “убеждающий речью”). Сам он ничего не писал. Все его мысли записывали его ученики. В результате первой же прочитанной лекции, Пифагор приобрел 2000 учеников, которые вместе со своими женами и детьми образовали громадную школу и создали государство, названное “Великая Греция”, в основу которого положены законы и правила Пифагора, почитаемые как божественные заповеди. Он был первым, кто назвал свои рассуждения о смысле жизни философией (любомудрием). Был склонен к мистификации и демонстративности в поведении. Однажды Пифагор спрятался под землей, а обо всем происходящем узнавал от матери. Потом, иссохший как скелет, он заявил в народном собрании, что был в Аиде, и показал удивительную осведомленность о земных событиях. За это растроганные жители признали его Богом. Пифагор никогда не плакал и вообще был недоступен страстям и волнению. Считал, что он происходит из семени, лучшего сравнительно с человеческим. Вся жизнь Пифагора – легенда, дошедшая до нашего времени и рассказавшая нам о талантливейшем человеке древнего мира.

IV. Формулировка и доказательство теоремы Пифагора.

Формулировка теоремы Пифагора известна вам с курса алгебры. Давайте вспомним её.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Однако эту теорему знали за много лет до Пифагора. За 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным и пользовались этим свойством для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружении зданий. В самом древнем дошедшем до нас китайском математико-астрономическом сочинении “Чжиу-би”, написанным за 600 лет до Пифагора, среди других предложений, относящихся к прямоугольному треугольнику, содержится и теорема Пифагора. Ещё раньше эта теорема была известна индусам. Таким образом, Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, вероятно, первым сумел его обобщить и доказать, перевести его из области практики в область науки.

С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора. Их известно более полутора сотен. Давайте вспомним алгебраическое доказательство теоремы Пифагора, известное нам из курса алгебры. (“Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных” Г.В. Дорофеев, М., “Дрофа”, 2000 г).

Предложить учащимся вспомнить доказательство к чертежу и записать его на доске.

(а + b)2 = 4· 1/2 а * b + с2 b а

а2 + 2а*b + b2 = 2а*b + с2

а2 + b2 = с2 а а b

Древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: “Смотри”.

Рассмотрим в современном изложении одно из доказательств, принадлежащих Пифагору. Вначале урока мы вспомнили теорему о соотношениях в прямоугольном треугольнике:

h2 = а1* b1 а2 = а1*с b2 = b1*с

Сложим почленно последних два равенства:

b2 + а2 = b1*с + а1*с = (b1 + а1)*с1 = с*с = с2; а2 + b2 = с2

Несмотря на кажущуюся простоту этого доказательства, оно далеко не самое простое. Ведь для этого нужно было провести высоту в прямоугольном треугольнике и рассмотреть подобные треугольники. Запишите, пожалуйста, это доказательство в тетради.

V. Формулировка и доказательство теоремы, обратной теореме Пифагора.

А какая теорема называется обратной к данной? (…если условие и заключение меняются местами.)

Давайте теперь попробуем сформулировать теорему, обратную теореме Пифагора.

Если в треугольнике со сторонами а, b и с выполняется равенство с2 = а2 + b2, то этот треугольник прямоугольный, причем прямой угол противолежит стороне с.

(Доказательство обратной теоремы на плакате)

Дано:

АВС, ВС = а,

АС = b, ВА = с.

а2 + b2 = с2

Доказать:

АВС – прямоугольный,

С = 90° .

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник А1В1С1,

где С1 = 90° , А1С1 = а, А1С1 = b.

Тогда по теореме Пифагора В1А12 = а2 + b2 = с2.

То есть В1А1 = с А1В1С1 = АВС по трем сторонам АВС - прямоугольный

С = 90° , что и требовалось доказать.

VI. Закрепление изученного материала (устно).

1. По плакату с готовыми чертежами.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис.1: найдите АD, если ВD = 8, ВDА = 30°.

Рис.2: найдите CD, если ВЕ = 5, ВАЕ = 45°.

Рис.3: найдите ВD, если ВС = 17, АD = 16.

2. Является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами:

5, 6, 7.

9, 12, 15.

15, 20, 25.

52 + 62 ? 72 (нет)

92 + 122 = 152 (да)

152 + 202 = 252 (да)

Как называются тройки чисел в двух последних случаях? (Пифагоровы).

VI. Решение задач (письменно).

№ 9. Сторона равностороннего треугольника равна а. Найдите высоту этого треугольника, радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности.

№ 14. Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен медиане, проведенной к гипотенузе, и равен половине гипотенузы.

VII. Домашнее задание.

Пункт 7.1, стр. 175-177, разобрать теорему 7.4 (обобщенная теорема Пифагора), № 1(устно), № 2, № 4.

VIII. Итоги урока.

Что нового вы узнали сегодня на уроке? …………

Пифагор прежде всего был философом. Вот сейчас хочу вам прочитать несколько его изречений, актуальных и в наше время для нас с вами.

  • Не поднимай пыли на жизненном пути.
  • Делай лишь то, что в последствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться.
  • Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что следует знать, и тогда ты будешь вести спокойную жизнь.
  • Не закрывай глаза, когда хочется спать, не разобравши всех своих поступков в прошлый день.
  • Приучайся жить просто и без роскоши.