Применение теоремы косинусов при решении нестандартных заданий по алгебре. 9-й класс.
Цель:
решение нестандартных заданий
развивать пространственное мышление
прививать любовь к математике
Ход урока
1. Организационная часть.
Сообщаются цели урока и план его проведения.
2. Проверка домашнего задания.
Учащимся заранее были предложены неравенства для решения в качестве домашней работы. Каждый выбирал задания того уровня сложности, который соответствовал степени усвоения данной темы. Учитель проверяет домашнее задание с помощью тест-контроля или с помощью тест-программы, которая составляется учителем заранее. Учащимся можно пользоваться своими решениями для выбора правильного ответа. На опрос отводится 7 – 10 минут. Количество неравенств, предлагаемых для контроля, выбирает учитель.
Примеры неравенств
Рисунок1
Рисунок2
Рисунок3
3. Практическая часть.
“Если поручить двум людям, один из которых – математик, выполнение любой незнакомой работы, то результат незнакомой работы всегда будет следующим: математик сделает ее лучше”.
Г.Штенгауз
На данном уроке мы будем рассматривать применение теоремы косинусов при решении некоторых неравенств. Данные виды неравенств легко решаются с точки зрения геометрии, но не всегда можно найти быстрый способ решения с точки зрения алгебры. Это один из методов решения неравенств.
Если a > o, b > 0, то можно a и b выбрать как единичные отрезки и построить соответствующие треугольники.
Возьмем произвольно два отрезка
Рисунок4
Необходимо построить треугольник по двум заданным сторонам a и b и углу между ними. Величина угла задается следующая: 300; 450; 600; 1200; 1350; 1500. Выполнение построения этих треугольников не вызывает затруднения, но в данной ситуации нас интересует, как можно задать формулой третью сторону треугольника, используя теорему косинусов. Так как величина a и b произвольная, то выражение третьей стороны будет в общем виде.
Предлагается заполнить таблицу, где в первом столбце – построение треугольника, а во втором – выражение третьей стороны через две стороны и угол между ними.
Рисунок5
Задание 1.
Доказать, что для любых a, b и c справедливо:
Если учащиеся будут затрудняться в выполнении задания, учитель предлагает чертеж, с помощью которого решается данное задание.
Задание 2.
Найти наименьшее значение выражения
Рисунок8
Для решения данного задания необходимо рассмотреть случаи:
1) если x<0 (значение больше чем при x>0)
2) если x=0 (тогда А примет значение, равное арифметическому корню из 2)
3) если x>0, то изобразим соответствующие отрезки.
Вывод: наименьшее значение выражения при А равном арифметическому корню из 2.
Для более наглядного представления учитель может изобразить рисунок на доске.
Рисунок9
Задание 3.
Решить систему в положительных числах
Рисунок10
Указание: данная система имеет решение, если можно построить треугольник с заданными условиями. В данном случае эта система решений не имеет, так как треугольник не существует с заданными условиями. Обоснование решения данной системы можно предложить учащимся для самостоятельной работы.
Косинус угла B в данном случае равен – 9/14, то есть величина угла В больше 1200, а этого быть не может , так как угол 1 или угол 2 больше 600 (тогда сумма углов треугольника больше 1800)
Рисунок11
4. Подведение итогов. Рефлексия.
Постройте график настроения на уроке.
Для этого ответьте на поставленные вопросы по десятибалльной шкале
1) уровень моего интереса на уроке
2) все ли понятно в ходе урока
3) нравится решение нестандартных задач
4) хочу продолжить изучение темы
5) моя активность на уроке
6) мое общее настроение