Обработка статистических данных с помощью электронных таблиц

Урок 1. Элементы математической статистики

1. Задачи математической статистики

“Статистика знает все” – такими словами начинается вторая часть романа И.Ильфа и Е.Петрова “Двенадцать стульев”. “Известно, сколько какой пищи съедает в год средний гражданин республики… Известно, сколько в стране охотников, балерин… станков, собак всех пород, велосипедов, памятников, девушек, маяков и швейных машинок.

Как много жизни, полной пыла, страстей и мысли, глядит на нас со статистических таблиц!” Зачем нужны эти таблицы, как их составлять и обрабатывать, какие выводы на их основании можно делать – на эти вопросы отвечает статистика (от итальянского stato – государство, латинского status – состояние).

Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности. Можно выделить две основные задачи математической статистики:

1. Указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате поставленных экспериментов.
2. Разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. В связи с этим проводится:

1. оценка: неизвестной вероятности события, неизвестной функции распределения, параметров распределения, зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин.
2. проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения.

Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

2. Генеральная и выборочная совокупности

Выборочной совокупностью (выборкой) называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью (ГС) называют совокупность объектов, из которых произведена выборка.

Объем совокупности – число объектов этой совокупности.

Например: из 1000 деталей отбирается 100, тогда Vг.с. = 1000, Vв.с. = 100.

3. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка

При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. В первом случае выборку называют повторной, во втором – бесповторной. Выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности – быть репрезентативной (представительной).

4. Способы отбора

5. Статистическое распределение выборки

1. Пусть в результате проведения некоторого эксперимента была получена выборка  х₁, х₂, х₃... х_n.

Если все x_i различны, то, расположив их в порядке возрастания, получим вариационный ряд.

Пример. Дана выборка: 13, 1, 15, 12, 11, 14, 2, 5, 6, 17, 25, 3, 4, 8, 10. Построить вариационный ряд.

Алгоритм решения:

1. Ввести исходные данные в таблицу.

1. Произвести сортировку элементов первого столбца по возрастанию.

2. Пусть из ГС извлечена выборка, причем x₁ наблюдалось n₁ раз,

x₂ наблюдалось n₂ раз,
……………………….
x_k наблюдалось n_k раз.
x_i называются вариантами, а последовательность вариант, записанная в возрастающем порядке – вариационным рядом;

n_i называются частотами, причем

n_i = n – объем выборки; (1)

w_i = – относительные частоты, причем (2)

w_i = 1. (3)

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

3. Как из выборки х₁, х₂, х₃... х_n получить ее статистическое распределение (т.е. вычислить частоты)?

Пример 1. Дана выборка 1, 1, 1, 4, 3, 1, 5, 2, 2, 4, 4, 5.

Записать статистическое распределение выборки.

Алгоритм решения:

1. Ввести исходные данные в таблицу.

2. Определить минимальное и максимальное значения признака с помощью функций МИН и МАКС.

3. Составить массив интервалов, в который группируется массив данных, для которых вычисляются частоты (1, 2, 3, 4).

4. Определить частоты, пользуясь статистической функцией ЧАСТОТА (для того, чтобы массив частот был записан в таблицу, нужно выделить определенное количество ячеек, а после вызова функции ЧАСТОТА нажать клавишу F2, а затем Ctrl + Shift + Enter).

5. Таким образом, получим статистическое распределение выборки.

Пример 2. Пусть задано статистическое распределение

Найти объем выборки (20). Написать статистическое распределение относительных частот.

Алгоритм решения:

1. Ввести исходные данные в таблицу.

2. Найти объем выборки (автосуммирование элементов второй строки).

3. Найти относительные частоты по формуле (2) (в ячейку В4 записать формулу и скопировать ее в ячейки C4 : D4).

4. Произвести контроль по формуле (3).

6. Полигон и гистограмма

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки с координатами (x₁, n₁), (x₂, n₂), … (x_k, n_k).

Рис. 1. Полигон частот

Аналогично строится полигон относительных частот.

Рис. 2. Полигон относительных частот

Пример 1. Построить полигон частот и относительных частот для следующего статистического распределения:

Алгоритм решения:

1. Прежде чем вносить исходные данные в таблицу, заметим, что элементы выборки x_i представляют собой арифметическую прогрессию с разностью 1. Поэтому заполнять соответствующую строку таблицы будем по следующему алгоритму: в строке меню выберем закладку Правка? Заполнить? Прогрессия.

2. Вторую строку заполним вручную.

3. Далее заполняем таблицу, пользуясь алгоритмом решения Примера 2.

4. Строим полигон частот с помощью мастера диаграмм:

5. Аналогично строится полигон относительных частот.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму. Для этого интервал, в который заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала n_i – сумму частот вариант, попавших в i-й интервал. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, одна из сторон которых – частичные интервалы длиною h, другая – отношение (плотность частоты). Для построения гистограммы частот по оси абсцисс откладывают частичные интервалы, по оси ординат – плотности частот. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки. Площадь гистограммы относительных частот равна 1.

Пример. Построить гистограмму частот для статистического распределения:

Алгоритм решения:

1. Составим структуру таблицы. Для этого определим исходные данные и результаты.

2. Введем соответствующие формулы в ячейки таблицы и скопируем их.

Гистограмма строится с помощью мастера диаграмм.

Рис. 3. Гистограмма частот

Домашнее задание:

1. Построить статистическое распределение выборки оценок, полученных Вами по математике в течение этого учебного года.

2. Построить полигоны частот и относительных частот данной выборки.

3. Построить гистограмму частот и относительных частот роста учащихся вашего класса (по социологическому опросу; границы признака и частотный интервал определить самостоятельно).

Это один из трех уроков, проводимых по данной теме. В результате изучения темы знания, полученные на уроках информатики, учащиеся применяют при написании выпускной учебно-исследовательской работы. Примером может служить работа Туманова Дмитрия (выпускника 2002 года) “Оценка состояния экосистемы акватории Невской Губы Финского залива у северной оконечности дамбы на основе анализа качественного и количественного состава планктона”, фрагмент которой в виде электронных таблиц представлен в Приложениях (Приложение 1 и Приложение 2). Педагогический коллектив нашего Лицея использует практические навыки учащихся, приобретенные на уроках информатики, при изучении других предметов (биологии, экологии, географии, физики).