В школьном курсе “ Тригонометрии” мы рассматриваем различные способы решения тригонометрических уравнений. В результате решения получается ответ, записанный по формуле корней тригонометрического уравнения. Число решений бесконечно. Большинство школьников записывают ответ автоматически, не задумываясь над целочисленным параметром, входящим в эти формулы. Смысл его позволяют осознать уравнения, имеющие конечное число корней, но таких уравнений в школьном курсе содержится недостаточно. Чтобы успешно справиться с ними, необходимо научиться рассуждать, приобрести некоторый опыт решения. Решение этих уравнений вызывают затруднения у школьников, а между тем они всё чаще встречаются на ЕГЭ и на вступительных экзаменах в ВУЗы, поэтому эта проблема актуальна для учащихся. Для её решения мы воспользовались методом учебного проекта.
Цель проекта: устранить некоторое противоречие между уровнем подготовки выпускника средней школы в соответствии с программой по математике и требованиями, предъявляемыми к абитуриенту при поступлении в ВУЗы по теме “ Решение тригонометрических уравнений”.
Задачи:
- Расширение кругозора учащихся.
- Уметь находить и анализировать информацию.
- Уметь выбирать необходимое, делать вывод и использовать полученные сведения и умения.
Подготовительный этап:
Учащимся было предложено решить уравнение 
* (2cos x – 1) = 0
Решение:
7х – х2 = 0, х1 = 0, х2 = 7
7х – х2 
0, х 
[
0; 7]
2cos x – 1=0, х = ± 
+ 2
n, n Z
n = 0, х1 = , х2
= - 
[ 0; 7]
n= 1, х1 =
[ 0; 7] , х2 = 
n=2, х = - + 4= 
[ 0; 7]
Ответ: 0; 7; ; .
При решении уравнения возник вопрос: “Всегда ли количество корней тригонометрического уравнения бесконечно?” Выяснили, что количество корней ограничено областью допустимых значений второго множителя. Поскольку решение данного уравнения заинтересовало учащихся, а в учебнике их нет, мы предложили им обратиться к другим источникам и найти уравнения такого типа. Обсудили время работы – в течение недели во внеурочное время.
Все учащиеся распределились на группы, каждая из которых изучала определённые источники:
- Экзаменационные материалы за курс средней школы, материалы ЕГЭ.
- По материалам вступительных экзаменов в ВУЗы.
- Другие источники.
Практический этап:
Некоторые уравнения, найденные учащимися, были решены на уроке, остальные предложены для самостоятельного решения, которые составили дидактический материал.
Решите уравнения:
1. sin 
* cos * 
= 0
Решение: Произведение из трёх множителей заменим двумя. Используем условие равенства произведения нулю. При этом важно не забыть проверить, определён ли второй множитель при том значении аргумента, когда первый множитель обращается в нуль.
2. sin * cos * = 0 
sin
х * = 0
Ответ: - 4; 4; -;.
2. cos2 
=1
Решение: Преобразуем уравнение к виду
1 – sin2 =1, sin
=0.
Следовательно, =n, откуда х2 =
. Это уравнение имеет
решение только при условии 
0, т.е.
при 0< n 
? 1,27. С учётом
целочисленности единственным возможным
значением n является n =1. Тогда х2= 
, х= ± 
. Итак, уравнение
имеет только два решения.
Ответ: х = ±
.
3. sin (cos x)=0
Решение: cos x = n, n Z; cos x = n, n = 0;1;-1
cos x = 0
cos x = 1 х =
, k Z
cos x = -1
Ответ:, k Z
4. cos
=0
Решение:
= 
+ n, n Z при условии -2 х 
2
n = 0, = , х = ± 
n =1, = 
, х2 = 
< 0
Ответ: ±
Дидактический материал
Сколько корней имеет уравнение.
1. (cos2 х –sin2 х) * 
=0 Ответ: 4 корня
2. (
- 1) * 
= 0 Ответ: 5 корней
3. (
- 1)*
= 0 Ответ: 4 корня
4. ( 1 – 2sin2
) * 
= 0 Ответ: 2 корня
Решите уравнение.
5. cos (
) = 
Ответ: 
(3 ± 2
)
6. cos 
= 0 Ответ: ± 
7. sin (
+ 1) = 0 Ответ: ± 
8. sin (
+ 2) = 0 Ответ: ± 
9. sin (
+ 
) = 0 Ответ: 
Определите число корней уравнения при указанных ограничениях.
10. sin х4 * 
= 0
на интервале (-
; 33)
Ответ: 9 корней
Защита проекта прошла в форме смотра знаний.
Используемая литература:
1. Мордкович А.Г., Денищева Л.О., Корешкова Т.А. –
Алгебра и начала анализа 10-11 классы, Москва,
“Мнемозина” 2003
2. Мордкович А.Г., Литвиненко В.Н.- Практикум по
элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия.
Москва, “Просвещение” 1991
3. Денищева Л.О. и др. – Учебно –тренировочные
материалы для подготовки к ЕГЭ., Математика.
Москва, “Интеллект – Центр” 2004
4. Шеломовский В. – ЕГЭ 2003 Математика. Учебно –
методическое пособие для школьников, учителей и
студентов педагогических ВУЗов. Мурманск. МГПУ
2003
5. Шеломовский В. – ЕГЭ 2004 Математика. Учебно –
методическое пособие для школьников, учителей и
студентов педагогических ВУЗов. Мурманск. МГПУ
2004
6 Дорофеев Г.В. – Математика. Сборник заданий для
проведения письменного экзамена по математике (
курс А) и алгебре и началам анализа ( курс В) за
курс средней школы. 11 класс. Москва, “Дрофа” 2002
7. Абитуриенту: экзаменационные задачи по
математике (Под редакцией С.А.Назарова.
Государственная морская академия им.
С.О.Макарова)С. – Петербург, “ Элмор” 199
8. Газета “Математика”.