Формулы сокращенного умножения

“Уважение к минувшему – вот черта, отличающая образованность от дикости”.

А.С. Пушкин

Цели урока:

1. Образовательная – закрепить знания учащихся о формулах сокращенного умножения, сформировать умения применять их в простых случаях и в заданиях повышенной сложности.
2. Развивающая – развить умения сравнивать, выявлять закономерности, обобщать, на историческом материале показать учащимся зависимость между математикой и общекультурными устремлениями человечества.
3. Воспитательная – воспитать ответственное, творческое отношение у учебному труду.

Тип урока: комбинированный

Оборудование.

Видеомагнитофон, тетради по алгебре с печатной основой, кодоскоп.

Используемая литература.

1. Алгебра. Учебник для 7 класса под редакцией Теляковского. М., “Просвещение”, 1991.
2. Н.П. Кострикина. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 класс. М., “Просвещение”, 1991.
3. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики. М., “Просвещение”, 1989.

План урока.

Постановка цели урока – 1 мин.
Повторение формул сокращенного умножения – 3 мин.
Закрепление материала – 6 мин.
Письменная проверочная работа – 5 мин.
Проверка результатов письменной работы – 3 мин.
Работа с видеоматериалами – 12 мин.
Решение заданий повышенной сложности - 14 мин.
Подведение итогов урока – 1 мин.

ХОД УРОКА

(а ± b)² = a² ±2ab +b²

a² – b² = (a - b)(a + b)

(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³

a³ ± b³ =(a ± b)( a² ± ab + b²)

(a +b +c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac

3. Работа с тетрадями с печатной основой (один из учащихся комментирует решение, другие записывают решение примера в тетради):

Заполните пропущенные места:

1) a⁴ -8 a² +16 = ( ____)^__

2) - 12ab -3 a² - 12 b² =__•(_____)=___•(____)^___

3) 25a⁶ + ____+ 9 b² = (5 a³ +3b)²

4) 16 - 8 a² b² + _____= (4 - a² b²)²

5) (2a - ___)³ = 8 a³ - 12 a²b + 6a b² - b³

6) (3b + 2a)³ = 27 b³ + _____+_____+ 8 a³

7) 125 + ____+ 15a² +_____= (5 +a)³

8) (3m - ___)· (____+3m) = 9m²– 4n²

9) (a² +____)· (____- b³) = a⁴ – b⁶

10) _____- 0,09b⁴ = (1,2 a² – 0,3 b²)( 1,2 a² + 0,3 b²)

5. Проверка результатов письменной работы (включить кодоскоп, записи с решением примеров спроецировать на экран, прокомментировать, при необходимости обсудить решение примеров).

Ответ.

6. Работа с видеоматериалами.

1 видеосюжет. Некоторые правила сокращенного умножения были известны еще около 4 тысяч лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Но в то время они формулировались словесно или геометрически. У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не “а²”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник, заключенный между отрезками a и b”. Правило, сформулированное во второй книге “Начал” Евклида в III веке до нашей эры, звучало так: “Если прямая линия как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками”.

Запишите это правило формулой и докажите ее, исходя из геометрических соображений (рис.1).

Ответ. Если прямая линия (имеется в виду отрезок) рассечена на 2 отрезка а и b, то квадрат на всей прямой, т.е. (а + b)² равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками а и b, т.е. равен а² + b² + 2ab.

Значит, (а + b)² = a² +2ab +b²

Действительно, площадь квадрата со стороной (а + b) равна сумме площадей квадрата со стороной а, квадрата со стороной b и 2^х прямоугольников с длиной а и шириной b.

2 видеосюжет. Много полезного узнали греческие ученые у вавилонян. Но история математики сложилась так, что эти открытия стали потом приписывать грекам. Например, одно из самых замечательных утверждений во всей геометрии до сих пор называют именем греческого математика – теоремой Пифагора. Оно формулировалось так: “Для любого прямоугольного треугольника площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах” (рис.2). Многое из Вавилона ушло потом в другие восточные страны, в том числе в Индию. И в одной из древних индийских рукописей сохранился чертеж, взглянув на который можно убедиться в справедливости теоремы Пифагора. Докажите, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т.е. с² = а² + b², используя данный рисунок и формулу сокращенного умножения.

Ответ. Действительно, по рисунку видно, что (а + b)² = с² + 4S

a² +2ab +b² = с² + 4

a² +2ab +b² = с² + 2ab

с² = а² + b² (рис.3)

Почему это утверждение очень важно? Потому что с его помощью можно вычислить длины наклонных. Чтобы найти расстояние от вершины шеста до конца его тени, не надо натягивать веревку. Достаточно измерить длину шеста и длину тени. Если взять веревку длиной в 12 локтей и завязать на ней узлы, разбивающие ее на 12 равных частей, то с помощью такой веревки можно построить прямой угол, натянув ее на 3 колышка. Считают, что так строили прямые углы египтяне, а треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетский (рис.4).

Ну, а что Пифагор? Неужели его слава незаслуженна? Наверно, это не так. Скорее всего, ему первому удалось доказать эту теорему, опираясь не на рисунок, а на рассуждения.

7. Решение заданий повышенной сложности.

1) Представьте выражение 24xy в виде разности квадратов двух многочленов.

Решение. 24xy = 12xy + 12 xy = 2x·6y + 2x·6y = (x +6y)² – (x – 6y)²

или 24xy = 2•6x•y + 2•6x•y = (6x + y)² – (6x – y)²

или 24xy = 2•xy•6 + 2•xy•6 = (xy + 6)² – (xy – 6)²

2) Представьте выражение 2а(а² + 3b²) в виде суммы кубов двух многочленов.

Решение. 2а(а² + 3b²) = 2a³ + 6ab² = a³ + 3ab² + a³ + 3ab² = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a + b)³ + (a - b)³;

3) Представьте выражение 2b(3a² + b²) в виде разности кубов двух многочленов.

Решение. 2b(3a² + b²)= 6a²b + 2b³ = b³ + 3a²b + b³ + 3a²b = b³ + 3a²b + 3ab² + a³ – (a³ + 3ab² - 3a²b - b³) = (a + b)³ – (a - b)³.

8. Подведение итогов урока.