Программа по факультативному курсу "Элементы математической логики"

Вся наша жизнь - это непрерывное решение больших и маленьких логических проблем.

Есть такая наука - логика, которая учит, как нужно рассуждать, чтобы наше мышление было определенным, связным, последовательным, доказательным и непротиворечивым. Как человек, не знающий правил арифметики и грамматики, не может правильно считать и грамотно писать, так и человек, не знающий правил логики, не может без ошибок рассуждать и действовать.

Чтобы правильно рассуждать, надо изучить правильные способы и методы рассуждений. Научиться правильно составлять высказывания, или, как говорится в математической логике, выполнять операции над высказываниями. При этом необходимо знать, вытекает ли истинность сложных высказываний из истинности составляющих их более простых предложений. Анализом методов рассуждений занимается наука логика, а исследованием и изучением математических рассуждений - математическая логика.

Решение всякой задачи - это, прежде всего, цепь рассуждений. Вычисления, преобразования, построения, которыми так часто приходится пользоваться для решения задач, невозможны без логических рассуждений: они направляются ими.

Умение рассуждать, анализировать, доказывать необходимо человеку любой профессии. Без приобретения навыков умственного труда, культуры мышления невозможно успешное овладение основами наук.

Занятия предусматривают получение теоретических знаний. В том числе и материала, с помощью которого можно было бы закрепить полученные в ходе изучения логики ее теоретические положения, выработать навыки логического анализа различных понятий, высказываний и рассуждений, решения логическими средствами различного рода задач, которые возникают в практической деятельности человека, умение отличать правильные рассуждения от рассуждений, имеющих те или иные логические ошибки. Упражнения помогут корректно и логически безупречно сформулировать вопросы, обнаружить имеющиеся в тех или иных рассуждениях несоответствия или противоречия, опровергнуть необоснованные выводы своих оппонентов, грамотно построить гипотезу (версию), отобрать и систематизировать факты, ее подтверждающие и т. п.

Существенное место на занятиях занимает решение логических задач. Назначение задач – тренировка умения мыслить логически. Они отличаются от большинства математических задач тем, что для их решения нужна в основном сообразительность, а не запас каких-то специальных знаний. Интересно отметить, что решение задач чисто логического типа в известной мере моделируют решение научной проблемы. Разумеется, задача задаче – рознь, и ход рассуждений нельзя свести к одной-двум стандартным схемам. Тем не менее, полезно дать несколько общих рекомендаций по методике решения логических задач.

Еще один тип логических задач – арифметические ребусы. Их расшифровка требует только одного – внимательности к очевидным арифметическим действиям. Также включены занимательные задачи, подобраны различного рода высказывания, истории, анекдоты, иллюстрирующие важность знания элементарной логики, задачи-шутки и серьезные логические задачи, обличенные в занимательную форму. Подобраны примеры, иллюстрирующие необходимость знания элементарной логики, служащие одновременно психологической разгрузкой для учащихся, занимательные логические задачи, стимулирующие развитие интереса учащихся к изучению теории.

Цель курса – дать учащимся знание законов и логических форм мышления, а также сформировать навыки и умения, необходимые для реализации полученных знаний на практике.

Программа курса логики для учащихся 8-9 классов рассчитана на 68 час в год, это 2 часа в неделю.

Первый раздел посвящен описанию роли математической логики. Задачей логики является изучение правильных способов рассуждений – таких способов рассуждений, которые приводят к верным результатам в тех случаях, когда верны исходные посылки. Коротко говоря, предметом логики является изучение законов человеческого мышления. Математическая логика – это наука о средствах и методах математических доказательств.

Основная цель – описание роли математической логики в любой области человеческой деятельности.

Знание логики – рациональная основа процесса обучения.

В этой теме особое внимание уделено мотивации введения курса.

Высказывания. Простые и сложные высказывания. Операции над высказываниями: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Формулы и функции логики высказываний. Равносильные формулы алгебры логики. Равносильные преобразования формул. Решение логических задач методами алгебры высказываний.

Основная цель – познакомить учащихся с понятием высказывания, выработать умения формулировать высказывания, соответствующие формулам. Из полученных высказываний, применяя логические операции, получать новые, еще более сложные высказывания. Используя равносильности, уметь приводить формулы логики высказываний к наиболее простому виду. Составлять таблицу истинности высказываний.

Формируемые навыки находят применение при решении логических задач с помощью алгебры логики. Решение которых, как правило, сводятся к записи условий задачи в виде формулы алгебры логики. Такая запись позволяет непосредственно найти решение задачи. В более сложных случаях приходится подвергать полученную формулу равносильным преобразованиям.

Множество. Элемент множества. Пустое множество. Способы задания множеств. Пересечение и объединение множеств. Подмножество. Диаграмма Эйлера-Венна. Конечные и бесконечные множества. Число элементов объединения и пересечения двух конечных множеств. Взаимно однозначное соответствие между множествами.

Основная цель – дать систематические сведения теории множеств. Особое внимание уделяется определению отношений между множествами, умению разбивать множества на подмножества.

При изучении данной темы отрабатываются навыки, используя символы, записи множества. Формируется умение учащихся изображать множества и отношения между ними. Графическая иллюстрация свойств множеств на диаграммах Эйлера-Венна позволяет делать наглядными различные утверждения, касающихся множеств.

Предикаты. Одноместные предикаты. Многоместные предикаты. Логические операции над предикатами. Квантор всеобщности. Квантор существования. Формулы логики предикатов. Равносильные формулы логики предикатов. Общезначимость и выполнимость формул. Применение языка логики предикатов для записи математических предложений. Использование формул логики предикатов в теории математических доказательств.

Основная цель - ознакомление учащихся с использованием формул логики предикатов в математике, включая и элементы теории доказательств.

Учитывая, что ученики владеют лишь понятием функции одной переменной, логика предикатов излагается, в основном, для одноместных предикатов. Наряду с образованием из предикатов единичных высказываний, в логике предикатов рассматриваются еще две операции, которые превращают одноместные предикаты в высказывания, это квантор всеобщности и существования.

Язык логики предикатов удобен для описания математических предложений. Одним из важнейших результатов изучения данной темы является умение выражать логические связи между понятиями, записывать в виде формул логики предикатов определения, теоремы, доказательства.

Правильные и неправильные рассуждения. Простейшие правила вывода. Примеры неправильных рассуждений.

Основная цель – выработать умение проводить анализ рассуждений, выделять посылки и заключения, проверять правильность рассуждений, приводить графические иллюстрации на диаграммах Эйлера.

Изучение темы начинается с непосредственных умозаключений, делаемых из одной посылки: превращение, обращение, противопоставление предикату (последний вид – наиболее сложный). Все рассуждения значительно оживают, если они сопровождаются наглядными пособиями (происходит соединение чувственного уровня познания и абстрактного мышления). Ученики приводят свои примеры умозаключений, построенных по правилам:

а) заключения;
б) отрицания;
в) силлогизма.

Объем и содержание понятий. Отношения между понятиями. Способы определения понятий. Корректные и некорректные определения.

Основная цель – показать возможности применения логических операций определения и деления понятий в процессе обучения.

Первоначальные знания о понятии у детей уже имеются, далее идет процесс углубления, расширения сведений. Чтобы понять и усвоить определение понятия, надо уяснить, что такое признак предмета. Для понимания и оперирования термином «признак» предлагаются различные типы задач на «нахождение лишнего».

Одним из важнейших разделов темы является раздел «Отношения между понятиями». Каждое отношение между понятиями разъясняется на примерах. Так как объемы понятий изображаются кругами Эйлера, учащиеся рисуют эти круги различными цветными карандашами или вырезают кружком из цветной бумаги.

Не менее важным, чем умение определять отношения между понятиями, является умение давать правильное определение самому понятию. В школьных учебниках по всем предметам основным понятиям даются определения.

Важно уяснить правила определения понятий и в первую очередь правило соразмерности: объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать (находиться в отношении тождества, изображаться одним кругом).

Решение задач на определение понятий помогает ученикам критически относиться к определениям понятий, с которыми они могут встретиться в будущем.

1. Формы мышления: понятия, высказывания, умозаключения.
2. Способы доказательства и опровержения (прямые и косвенные).
3. Виды логических ошибок, встречающихся в ходе доказательства и опровержения.
4. Владеть основными знаниями из раздела математической логики.

1. Иллюстрировать различные виды понятий, высказываний и умозаключений новыми примерами.
2. Записывать структуру сложных и ряда дедуктивных умозаключений в виде формул математической логики.
3. Находить отношения между понятиями, используя круги Эйлера.
4. Выявлять логические ошибки, встречающиеся в различных видах умозаключений (дедуктивных, индуктивных, по аналогии), в доказательстве и опровержении.
5. Уметь решать логические задачи по теоретическому материалу науки логики и занимательные задачи.