Задачи с параметром в школьном курсе математики 8-го гласса

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся. Они имеют принципиально исследовательский характер, и с этим связаны как методическое значение таких задач, так и трудности выработки навыков их решения.

Важность понятия параметра связана с тем, что, как правило, именно в терминах параметров происходит описание свойств математических объектов: функций, уравнений, неравенств. Под параметрами мы понимаем входящие в алгебраические выражения величины, численные значения которых явно не заданы, однако считаются принадлежащими определенным числовым множествам. Учащимся 8 класса известны линейная функция и ее частный случай – прямая пропорциональность:

(параметры и определяют расположение графика функции на плоскости и точки пересечения с осями), а также линейное и квадратное уравнение и соответствующие неравенства:

(параметры , и определяют, вообще говоря, не только существование и количество корней, но и степень уравнения).

Решение задач с параметрами требует исследования, даже если это слово не упомянуто в формулировке задачи. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, навыки анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении, умение объединить рассматриваемые частные случаи в единый результат. Этим обусловлены трудности, возникающие у учащихся при решении таких задач, и этим же объясняется справедливое включение задач с параметрами в экзаменационные работы в школе и на вступительных экзаменах в вузы.

Таким образом, очевидна необходимость отработки приемов решения различных задач с параметрами. Ниже приводится система упражнений по решению и исследованию квадратных уравнений и неравенств с одним параметром в курсе 8 класса.

 Квадратные уравнения с параметром

1. При каких значениях уравнение имеет единственное решение?

Решение.

Ошибочно считать данное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Исходя из этого соображения, рассмотрим следующие случаи:

а) . При этом уравнение принимает вид , откуда , т.е. решение единственно.

б) , тогда – квадратное уравнение, дискриминант . Для того, чтобы уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы , откуда .

Ответ: или .

2. При каких значениях уравнение имеет единственное решение?

Решение.

1) При исходное уравнение не имеет решения.

2) , тогда данное уравнение является квадратным и принимает вид . Искомые значения параметра – это корни дискриминанта, который обращается в нуль при .

Ответ: .

3. При каких значениях уравнение имеет более одного корня?

Решение.

1) При уравнение имеет единственный корень .

2) При исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант положителен, т.е. . Решая неравенство, получаем . Из этого промежутка следует исключить число нуль.

Ответ: или .

4. При каких значениях уравнения и равносильны?

Решение.

1) При : имеет два различных корня, имеет один корень. Равносильности нет.

2) При решения уравнений совпадают.

3) При ни первое, ни второе уравнения решений не имеют. Как известно, такие уравнения считаются равносильными.

Ответ: .

5. При каких значениях уравнения и равносильны?

6. При каких значениях параметра уравнение имеет одно решение?

7. При каких значениях ровно один из корней уравнения равен нулю?

а)	в)
б)	г) .

8. При каких значениях корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку:

а)	в)
б)	г) .

9. При каких значениях оба корня уравнения равны нулю?

а) ; б)

10. Решите уравнения:

I.

II.

III.

IV.

V.

11. При каких значениях произведение корней квадратного уравнения равно нулю?

12. При каких значениях сумма корней квадратного уравнения равна нулю?

13. В уравнении сумма квадратов корней равна 16. Найти .

14. В уравнении квадрат разности корней равен 16. Найти .

15. При каких значениях сумма корней уравнения равна сумме квадратов корней?

16. При каком значении параметра сумма квадратов корней уравнения наименьшая?

17. При каком значении параметра сумма квадратов корней уравнения наибольшая?

18. При каких значениях параметра один из корней квадратного уравнения в два раза больше другого?

19. Известно, что корни уравнения на 1 меньше корней уравнения . Найдите и корни каждого из уравнений.

20. Найдите наименьшее целое значение , при котором уравнение имеет два различных действительных корня.

21. При каких значениях уравнение имеет более двух корней?

22. При каких значениях уравнение имеет хотя бы один общий корень с уравнением ?

23. При каком соотношении между , , уравнение имеет один корень? Может ли данное уравнение иметь два действительных различных корня?

24. При каком значении параметра уравнение имеет три корня?

 Неравенства с параметром

1. Решите неравенство, где – параметр:

а)	в)
б)	г) .

2. Найдите все значения , при которых квадратное уравнение имеет два действительных различных корня:

а)	в)
б)	г) .

3. Найдите все значения , при которых квадратное уравнение не имеет действительных корней:

а)	в)
б)	г) .

4. При каких значениях уравнение имеет положительное решение?

5. При каких значениях уравнение имеет отрицательное решение?

6. При каких значениях уравнение имеет одно положительное решение?

7. При каких значениях уравнение имеет решения, удовлетворяющее условию ?

8. При каких значениях система неравенств имеет хотя бы одно решение:

9. При каких значениях система неравенств не имеет решений:

10. При каких значениях система неравенств имеет хотя бы одно решение?

11. При каких значениях уравнение имеет корни разных знаков?

12. При каких значениях уравнение имеет корни и такие, что ?

13. Найдите все значения , при которых корни уравнения меньше, чем 1.

14. Найдите все значения , при которых один из корней уравнения меньше 1, а другой больше 1.

15. При каких значениях система уравнений

имеет решение ?

16. При каких значениях система уравнений

имеет решение ?

17. Для каждого решите неравенство:

I.

II.

III.

IV.