Обобщение. Графический способ – самый наглядный способ решения.
«Покажи мне – и я запомню. Вовлеки
меня – и я научусь.»
Китайская пословица.
Тип занятия. Индуктивное исследование.
Цели. Изучить использование графического метода при решении уравнений с параметрами; провести исследование решений наиболее распространенных задач, убедиться в неоднозначности их трактовок, результаты исследований и обобщений применять для дальнейшего изучения темы «Параметры в задачах».
Материалы к занятию.
Мотивация.
Для создания мотивации можно использовать прием «выполнимое – невыполнимое действие».
На экран высвечивается задание: При каких значениях параметра а, корни уравнения
| х – а2 | = - а2 +2а +3 имеют одинаковые знаки.
Ученики предлагают разные варианты. Возникает спор, как правильнее. Приходят к выводу, что выполнить это задание аналитически достаточно трудно, поэтому выбираем наиболее наглядную форму решения – графическую.
Возникшая проблема формулируется так: «Как построить графики заданных функций?».
Исследование.
Уравнение у = | х – а2| задает семейство «уголков», стороны которых образуют углы по 450 с осью абсцисс.
Вершины графиков вида у = | х – а2| находятся на оси абсцисс справа от начала координат, так как а2 - неотрицательное число.
Заметим, что а = 0 нас не устраивает, т. к. уравнение в этом случае имеет корни разных знаков | х | = 3, х = ± 3.
Выясним, что из себя представляют графики вида у = - а2 +2а + 3.
Это множество прямых параллельных оси абсцисс.
Вопрос.
Как должны пересекать прямые у = - а2 +2а + 3 уголки у = | х – а2| ?
Ответ.
В точках, имеющих абсциссы одного знака.
Вопрос.
Где на чертеже должны располагаться эти прямые?
Передвигая прямую в координатной плоскости, учащиеся останавливаются между 0 и а2.
Получаем следующее условие для параметра
0 < -а +2а +3 < а2.
Далее решение проводится классическим способом.
Решается система из двух неравенств - а2 +2а + 3 > 0 и - а2 +2а + 3 < 0.
Т.е. уравнение имеет корни одного знака, если -1< а < (1-v 7) / 2 , (1+v7) / 2 < а < 3.
Дальнейшее исследование уравнения, т. е. определить при каких значениях параметра а, уравнение имеет корни различных знаков, предлагается учащимся для самостоятельной разработки.
Продолжаем исследования, решая следующее задание. Надо выяснить при каких значениях параметра а, уравнение |х +2| = ах + 1 имеет решение и сколько или не имеет вообще.
На нашем занятии мы рассмотрим часть задания, т. е. сколько решений имеет уравнение
|х +2| = ах + 1 при а > 0. Исследование при а < 0 предлагается учащимся для самостоятельной разработки.
Итак, графиком уравнения у = | х + 2 | является «уголок», стороны которого образуют углы 450 с осью абсцисс, с вершиной в точке(0; -2).
Графики вида у = ах + 1 представляют собой семейство прямых, пересекающихся в точке (0;1).
Начнем исследование с самого простого случая, когда а = 0.
1) Если а = 0, тогда у = 1, | х + 2| = 1.
Уравнение имеет два решения х = -3, х = -1.
2) Если а > 0.
Возникает проблема, как расположена прямая у = ах + 1. Обмениваясь известной информацией о прямых этого семейства, классифицируя и обобщая ее, учащиеся приходят к следующему выводу: прямая у = ах + 1 имеет стационарную точку (0;1), вокруг которой идет вращение прямой. Вращая ее, получаем
а) При 1/2 < а < 1 нет решений.
б) При а =1/2 единственное решение. |x+2|=1/2 x +1, x = -2.
в) При 0 < а < 1/2 два решения.
г) При а > 1 единственное решение.
Развивая тему, предлагаю задание:
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
х – а = 2 | 2 |х| - а2| имеет три различных корня.
Рассматриваем построение графика функции у = 2 | 2 |х| - а2| для а ? 0, выполняя необходимые преобразования графика функции у = |х| с помощью компьютерной графики. у = |х|, у = 2|х|, у = 2 |х| - а2, у = | 2 |х| - а2 |.
Сразу заметим, что при а = 0 уравнение имеет единственный корень.
Графиком функции у = х – а является семейство прямых, скользящих по оси ОХ, составляющих с положительным направлением оси ОХ угол в 450. из семейства параллельных прямых нас интересуют только те, которые пересекают построенный график только в трех точках. Сколько может быть таких прямых? Только две.
Для первой прямой имеем а = -а2/2, 2а + а2 = 0, а( 2+а) = 0, а =0 (посторонний корень) или а = -2.
Для второй прямой –а = 2а2, 2а2 + а = 0, а( 2а + 1) = 0, а = 0 или а = - Ѕ.
Исследование, при каких значениях параметра а уравнение имеет 4 различных корня предлагается учащимся продолжить самостоятельно.
Подведение итогов занятия.
На основе полученных данных учащиеся и учитель вновь возвращаются к проблеме, возникшей в начале занятия, и выстраивают логическую цепочку решения уравнений с параметром графическим методом.