Работа со школьниками показывает, что задачи с параметрами являются наиболее сложным в логическом и техническом планах разделом математики.
Умение решать эти задачи является необходимым условием для поступления в вуз.
Предлагаемые задачи собраны из разных источников и, предназначены для школьников, будущих абитуриентов, учителей математики. Их можно использовать на уроках, факультативных занятиях, для самостоятельного решения.
Задача 1.
При каких значениях параметра а система уравнений
имеет
единственное решение?
Решение:
Заметим, что если пара чисел ( хо, уо ) решение системы, то пара (-хо,уо), так же является решением. Необходимым условием для существования единственного решения является равенство хо=0.
Положим х =0.
, получаем a=0
или a=2.
Итак, искомые значения параметра следует выбирать из множества { 0;2}.
Если a=0,то
Система имеет 3 решения ( 1; 0), (-1;0), (0; -1) .Следовательно, a не может быть равно нулю.
Если a=2.
При a=2 система имеет единственное решение.
Ответ: a=2.
Задача 2.
Решите систему уравнений
Решение:
Задача 3
Определить количество решений системы
Задача 4
При каких a уравнения х2 - a = 0 и 
равносильны?
Решение:
1).Если a >0, то первое уравнение х2 - a =0 имеет два корня, а второе уравнение – только один, и в этом случае о равносильности речь идти не может.
2).При a = 0 решения уравнений совпадают.
3).При a < 0 ни первое, ни второе уравнения решений не имеют. А ведь, как известно, такие уравнения такие уравнения считаются равносильными.
Ответ: a = 0 или a < 0.
Задача 5
При каких a уравнение aх = a2 равносильно неравенству 
?
Решение:
1). При a, не равном нулю, уравнение ах =а2
имеет единственное решение, т.е. х =а, а
неравенство-
бесконечно много.
2).Если а = 0, то решение как неравенства, так и уравнения является все множество действительных чисел.
3). Таким образом, требованию задачи удовлетворяет только а=0.
Ответ: а=0.
Задача 6
Решить неравенство 
(1)
Решение:
1).Понятно, что область определения 
;
2). Понятно также и следующее, что ответ зависит от знака (a -1).
3). При 
очевидно,
неравенству (1) удовлетворяет любое значение из
области определения, то есть .
4). При a -1>0 левая часть неравенства (1) неотрицательна, в одном случае х=0 - единственное решение.
Ответ: если ,
то ; если a>1, то
х=0.
Задача 7
При каких a неравенство (х-a) (х-2) 
(1) имеет
единственное решение?
Решение:
1) Если a=2, то требование задачи удовлетворяется.
И действительно, при a= 2 получаем неравенство (х-2)2
0 (2) имеющее
единственное решение.
2).А для случая, когда a
2, решение неравенства (1), очевидно, будет
отрезок.
Ответ: a= 2.
Задача 8
Задача 10
Задача 11
Задача 12.
Задача 13.
Задача 14.
Задача 15
Литература:
Андреев А.Н. варианты письменных экзаменационных заданий по математике в КемГУ с анализом их решений, Кемерово, 2001.
Гарнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1999.
Дорофеев Г.В. Квадратный трехчлен в задачах //Квантор, Львов, 1991.
Рурукин А.Н. Единый государственный экзамен. Математика. Пособие для подготовки. М.: ВАКО, 2004.