Квадратный трехчлен является основной функцией, изучаемой в школьном курсе математики. Однако, опыт подсказывает, что на вступительных экзаменах задачи с параметрами, решаемые как правило с помощью свойств квадратного трехчлена, вызывают определенные затруднения у учащихся. Довольно много учащихся не знакомы с условиями, необходимыми и достаточными для заданного расположения корней квадратного трехчлена на числовой оси, не владеют геометрической интерпретацией задач, связанных с квадратным трехчленом, не умеют эффективно применять свойства квадратного трехчлена для решения задач, сформулированных непривычным образом.
Рассмотрим некоторые полезные для практики решения задач свойства квадратного трехчлена.
В дальнейшем будем считать, что квадратный
трехчлен с нулевым дискриминантом имеет два
равных корня .
- Приемы устного решения квадратных уравнений
Многие учащиеся приведенное квадратное
уравнение
часто решают устно, используя
утверждение, обратное теореме Виета: “ Если
числа
и
удовлетворяют
системе
,то
,
есть корни уравнения
.
При этом правда часто для обоснования ссылаются на теорему Виета, которая тут ни при чем.
Рассмотрим прием, позволяющий устно находить корни многих произвольных квадратных уравнений с целыми коэффициентами.
Заметим, что корни уравнения получаются из корней уравнения
делением на
. Действительно:
Следовательно, для решения уравнения
, нужно по теореме,
обратной теореме Виета, найти корни уравнения
, и каждый из них
разделить на
.
Используя этот прем, решим уравнение
.
Вместо этого уравнения, решим методом подбора,
используя теорему, обратную теореме Виета,
уравнение
. Его корни
,
.
Тогда корнями уравнения
будут
и
.
Заметим, что уравнение
получается из уравнения
умножением коэффициента при
на свободный член. Все эти
операции при определенном навыке можно сделать
устно.
Для устного решения квадратных уравнений
полезно использовать равенства
и
,
где
. При этом очевидны
следующие утверждения:
- Если
, то один из корней уравнения
равен 1, а второй
.
- Если
, то один из корней уравнения
равен -1, а другой -
.
Используя эти утверждения, решим уравнения:
Следовательно Следовательно
,
.
,
.
2. Исследование знаков корней квадратного уравнения по его коэффициентам
Используя теорему Виета, можно, не решая
уравнения
, определить
знаки его корней. Будем предполагать, что
приведенное квадратное уравнение имеет
корни, то есть его дискриминант неотрицателен. Результаты несложных рассуждений можно представить в виде таблицы ( рис.1.)
![]() |
![]() ![]() |
![]() |
||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]()
|
![]()
|
![]() |
корни разных знаков
|
корни разных знаков
|
![]()
|
![]() |
3.Расположение на числовой оси
действительных корней квадратного трехчлена
относительно каких-либо фиксированных точек
Часто на вступительных экзаменах встречаются задачи, в которых требуется выяснить взаимное расположение какого-либо числа и корней квадратного трехчлена на числовой оси.
Следующие теоремы позволяют существенно
упростить решение подобного рода задач. Для
уменьшения числа разбираемых случаев рассмотрим
приведенное квадратное уравнение
. Причем, более подробно остановимся
на геометрической интерпретации этих теорем.
Доказательство теорем при необходимости можно
найти в [1] и [2].
Обозначим :
,
– дискриминант,
–
координаты вершины параболы
.
Теорема 1. Уравнение
имеет два корня, каждый из которых меньше
некоторого числа
тогда
и только тогда, когда
Геометрическая интерпретация теоремы.
Для того,чтобы парабола
пересекала ось ОХ в точках
и
, лежащие
левее точки
необходимо
и достаточно выполнение трех условий:
- вершина параболы –точка
– должна лежать либо в нижней полуплоскости , либо на оси ОХ ( условие
);
2) абсцисса вершины параболы
должна лежать левее точки
(условие
;
3) парабола
в точке
должна проходить выше оси
ОХ (условие
).
Заметим, что ветви параболы
направлены вверх.
Условию теоремы соответствуют два различных
расположения параболы относительно оси ОХ и
точки
. Первый случай
(рис.2) описывается системой
Второй случай (рис.3) описывается системой
Теорема 2. Уравнение
имеет два корня, каждый из которых больше
некоторого числа
тогда
и только тогда, когда
Геометрическая интерпретация теоремы.
Для того,чтобы парабола
пересекала ось ОХ в точках
и
, лежащих
правее точки
,
необходимо и достаточно выполнение трех условий:
- вершина параболы – точка
, должна лежать либо в нижней
- абсцисса вершины параболы
должна лежать правее точки
- парабола
в точке
должна проходить выше оси ОХ (условие
).
полуплоскости, либо на оси ОХ (условие
;
(условие
);
Условию теоремы соответствуют два различных
расположения параболы относительно оси ОХ и
точки
.
Первый случай (рис.4) описывается системой
Второй случай (рис.5) описывается системой
Теорема 3. Уравнение
имеет два корня, один из которых больше числа
, а другой меньше
, тогда и только тогда,
когда
.
Геометрическая интерпретация теоремы.
Для того, чтобы парабола
пересекала ось
ОХ в точках
и
, между которыми лежит
точка
, необходимо и
достаточно выполнения условия : парабола
в точке
должна проходить ниже оси ОХ.
Условию теоремы соответствует одно положение параболы (рис.6).
Условия расположения корней квадратного
трехчлена
относительно некоторых чисел
и
в общем случае
приведены в таблице (рис.7). Там дана и
геометрическая интерпретация.
В таблице и
– корни квадратного
трехчлена
,
.
,
-абсцисса вершины параболы
,
и
– некоторые числа,
.
Как и в предыдущих теоремах 1-3 :
- условие
означает, что парабола
имеет две точки
- знак коэффициента
определяет направление ветвей параболы;
- знак величин
,
определяет выше или ниже оси ОХ проходит пара бола
в точках
,
;
пересечения с осью абсцисс;
№ № |
Для того, чтобы |
Геометрическая иллюстрация |
Необходимо и достаточно |
|
D>0, a>0 D>0, a>0 D>0 |
D>0, a<0 |
|||
1.
|
![]()
|
|
|
|
2.
|
![]()
|
|
|
|
3.
|
![]()
|
|
|
![]() |
4.
|
![]()
|
![]()
|
|
|
5.
|
![]()
|
|
|
![]() |
6.
|
![]()
|
|
|
|
7.
|
![]()
|
|
![]() ![]() |
Рис.7
- условие
определяет положение вершины параболы относительно точки
.
- Моденов П.С., Новоселов С.И. Пособие по математике для поступающих
- Дорофеев Г.В. Квадратный трехчлен в задачах.– Львов,1991 г.(Квантор; №2).
- Марков В.К. Метод координат и задачи с параметрами. Изд-во МГУ,1970.
- Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами.-М.: Илекса, Харьков: Гимназия,1998.
Таким образом, каждую “картинку” в таблице (рис.7) можно рассматривать как теорему. Эти теоремы с успехом применяются при исследовании квадратных уравнений, коэффициенты которых являются функциями от одного параметра.
Список литературы:
в вузы. Изд-во МГУ,1966.