О некоторых свойствах квадратного трехчлена, часто используемых для решения задач

Разделы: Математика

Квадратный трехчлен является основной функцией, изучаемой в школьном курсе математики. Однако, опыт подсказывает, что на вступительных экзаменах задачи с параметрами, решаемые как правило с помощью свойств квадратного трехчлена, вызывают определенные затруднения у учащихся. Довольно много учащихся не знакомы с условиями, необходимыми и достаточными для заданного расположения корней квадратного трехчлена на числовой оси, не владеют геометрической интерпретацией задач, связанных с квадратным трехчленом, не умеют эффективно применять свойства квадратного трехчлена для решения задач, сформулированных непривычным образом.

Рассмотрим некоторые полезные для практики решения задач свойства квадратного трехчлена.

В дальнейшем будем считать, что квадратный трехчлен с нулевым дискриминантом имеет два равных корня .

  1. Приемы устного решения квадратных уравнений

Многие учащиеся приведенное квадратное уравнение часто решают устно, используя утверждение, обратное теореме Виета: “ Если числа и удовлетворяют системе ,то , есть корни уравнения .

При этом правда часто для обоснования ссылаются на теорему Виета, которая тут ни при чем.

Рассмотрим прием, позволяющий устно находить корни многих произвольных квадратных уравнений с целыми коэффициентами.

Заметим, что корни уравнения получаются из корней уравнения делением на . Действительно:

Следовательно, для решения уравнения , нужно по теореме, обратной теореме Виета, найти корни уравнения , и каждый из них разделить на .

Используя этот прем, решим уравнение .

Вместо этого уравнения, решим методом подбора, используя теорему, обратную теореме Виета, уравнение . Его корни , . Тогда корнями уравнения будут и .

Заметим, что уравнение получается из уравнения умножением коэффициента при на свободный член. Все эти операции при определенном навыке можно сделать устно.

Для устного решения квадратных уравнений полезно использовать равенства и , где . При этом очевидны следующие утверждения:

  1. Если , то один из корней уравнения равен 1, а второй .
  2. Если , то один из корней уравнения равен -1, а другой - .

Используя эти утверждения, решим уравнения:

Следовательно Следовательно

, . , .

2. Исследование знаков корней квадратного уравнения по его коэффициентам

Используя теорему Виета, можно, не решая уравнения , определить знаки его корней. Будем предполагать, что приведенное квадратное уравнение имеет

корни, то есть его дискриминант неотрицателен. Результаты несложных рассуждений можно представить в виде таблицы ( рис.1.)

 

нет корней корни разных знаков

 корни разных знаков

3.Расположение на числовой оси действительных корней квадратного трехчлена относительно каких-либо фиксированных точек

Часто на вступительных экзаменах встречаются задачи, в которых требуется выяснить взаимное расположение какого-либо числа и корней квадратного трехчлена на числовой оси.

Следующие теоремы позволяют существенно упростить решение подобного рода задач. Для уменьшения числа разбираемых случаев рассмотрим приведенное квадратное уравнение . Причем, более подробно остановимся на геометрической интерпретации этих теорем. Доказательство теорем при необходимости можно найти в [1] и [2].

Обозначим : , – дискриминант, – координаты вершины параболы .

Теорема 1. Уравнение имеет два корня, каждый из которых меньше некоторого числа тогда и только тогда, когда 

Геометрическая интерпретация теоремы.

Для того,чтобы парабола пересекала ось ОХ в точках и , лежащие левее точки необходимо и достаточно выполнение трех условий:

  1. вершина параболы –точка – должна лежать либо в нижней полуплоскости , либо на оси ОХ ( условие );

2) абсцисса вершины параболы должна лежать левее точки (условие ;

3) парабола в точке должна проходить выше оси ОХ (условие ).

Заметим, что ветви параболы направлены вверх.

Условию теоремы соответствуют два различных расположения параболы относительно оси ОХ и точки . Первый случай (рис.2) описывается системой

Рисунок 2

Второй случай (рис.3) описывается системой

Рисунок 3

Теорема 2. Уравнение имеет два корня, каждый из которых больше некоторого числа тогда и только тогда, когда

Геометрическая интерпретация теоремы.

Для того,чтобы парабола пересекала ось ОХ в точках и , лежащих правее точки , необходимо и достаточно выполнение трех условий:

  1. вершина параболы – точка , должна лежать либо в нижней

    2. полуплоскости, либо на оси ОХ (условие ;

  2. абсцисса вершины параболы должна лежать правее точки

    3. (условие );

  3. парабола в точке должна проходить выше оси ОХ (условие ).

Условию теоремы соответствуют два различных расположения параболы относительно оси ОХ и точки .

Первый случай (рис.4) описывается системой

Рисунок 4

Второй случай (рис.5) описывается системой

Рисунок 5

Теорема 3. Уравнение имеет два корня, один из которых больше числа , а другой меньше , тогда и только тогда, когда .

Геометрическая интерпретация теоремы.

Для того, чтобы парабола пересекала ось ОХ в точках и , между которыми лежит точка , необходимо и достаточно выполнения условия : парабола в точке должна проходить ниже оси ОХ.

Условию теоремы соответствует одно положение параболы (рис.6).

Рисунок 6

Условия расположения корней квадратного трехчлена относительно некоторых чисел и в общем случае приведены в таблице (рис.7). Там дана и геометрическая интерпретация.

В таблице и – корни квадратного трехчлена , .

, -абсцисса вершины параболы , и – некоторые числа, .

Как и в предыдущих теоремах 1-3 :

  1. условие означает, что парабола имеет две точки

    2. пересечения с осью абсцисс;

  2. знак коэффициента определяет направление ветвей параболы;

    3. №

    №

    Для того,

    чтобы

    Геометрическая иллюстрация

    		 Необходимо и

    достаточно

    D>0, a>0 D>0, a>0 D>0

    D>0, a<0
    1.

     

     

     

     

     

     

    2.

     

     

     

     

    		 
    3.

     

     

     

     

    4.

     

     

     

     

    5.

     

     

     

     

    6.

     

     

     

     

    		 
    7.

     

     

     

     

    Рис.7

  3. знак величин , определяет выше или ниже оси ОХ проходит пара бола в точках , ;
  • условие определяет положение вершины параболы относительно точки .

    • Таким образом, каждую “картинку” в таблице (рис.7) можно рассматривать как теорему. Эти теоремы с успехом применяются при исследовании квадратных уравнений, коэффициенты которых являются функциями от одного параметра.

    Список литературы:

    1. Моденов П.С., Новоселов С.И. Пособие по математике для поступающих

      2. в вузы. Изд-во МГУ,1966.

    2. Дорофеев Г.В. Квадратный трехчлен в задачах.– Львов,1991 г.(Квантор; №2).
    3. Марков В.К. Метод координат и задачи с параметрами. Изд-во МГУ,1970.
    4. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами.-М.: Илекса, Харьков: Гимназия,1998.