Применение производной к исследованию функций

Цели урока: обобщить и систематизировать знания о производной и ее применения для исследования функций.

Тип урока: обобщающий урок по теме.

I. Устный счет.

1. Дифференцируема ли функция в области ее определения:

2. Вычислить, если возможно:

Ответ: не имеет смысла.

3. Найти область значений функции:

Ответ [0,5;2].

4. Доказать, что уравнение решений не имеет.

Ответ: множества значений этих функций не имеют общих элементов, следовательно, уравнение решений не имеет.

5. Продолжить решение:

Ответ: функция на (0;1) не интегрируема.

6. Найти ошибку: т.к. х>0, то уравнение решений не имеет.

7. Найти производную функции:

8. Решить уравнение: Ответ: х=0.

II. Продолжим работу по исследованию функций. Как только речь заходит о функции, сразу же говорится об области ее определения и изменения. Вопросы к учащимся:”Что называется областью определения функции? Что называется областью значений функции?

Задание №1 Найти область значений функции: ”Это задание предлагается выполнить следующим образом: ученик у доски без использования производной, класс – с использованием производной. Можно попросить учащихся прокомментировать решение.

Решение без использования производной:

Уравнение будет иметь решение, если его дискриминант будет неотрицательным, т. е.

Ответ:[0,5;1,5]

III. Монотонные функции. Вспомнить определение монотонных функций, определение возрастающей функции, достаточное условие возрастания функции .

Задание №2 При каких значениях м функция возрастает на всей числовой прямой?

Решение: данная функция будет возрастать на множестве всех действительных чисел, если ее производная будет неотрицательна на этом множестве, т. е. .

Это условие будет выполняться, если

Ответ:[0;28]

IV. Наибольшее и наименьшее значение функции.

Вспомнить с учащимися алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Задание№3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

Критические точки: х=2; х=0; х=3.Найдем значения функции в этих точках и сравним полученные результаты. Ответ: max y(x)=y(0)=4; min y(x)=y(3)=-4.

V. Экстремумы функции. Повторить определение экстремума функции, а также необходимое и достаточное условие существования экстремума. Следующее задание предлагается учащимся для самостоятельного решения по вариантам. Первые пять работ можно оценить.

Задание №4. Исследовать на экстремум: (задание для первого варианта)

Решение. Все точки экстремума функции должны удовлетворять уравнению y’(x)=0, т.к. y(x) имеет производную в каждой точке числовой прямой. Найдем y’(x) и решим уравнение y’(x)=0.

Для нахождения точек экстремума воспользуемся вторым достаточным условием существования экстремума, для чего найдем вторую производную данной функции.

Если функция имеет в донной точке возможного экстремума положительную вторую производную, то функция в этой точке имеет минимум, если же -отрицательную производную, то в этой точке– максимум. Осталось решить уравнения:

Задание для второго варианта.

Исследовать функцию на экстремум:

Ответ: х=-П+4ПК-точка максимума; х=П/2+2ПК-точка минимума функции.

VI.Непрерывность функций.

Определение непрерывных функций. Определение точек разрыва, классификация точек разрыва.

Задание№5 При каких значениях в функция будет непрерывна в точке х=4.

Решение:

VII. Асимптоты

Вспомнить определение асимптоты

Алгоритм нахождения наклонной асимптоты.

Решение:

Ответ: х=П/4-2,5; х=-П/4-2,5.

VIII. Применение производной к доказательству тождеств и неравенств.

Введя какое-либо новое понятие, изучив свойства, мы пытаемся его использовать не только для решения новых задач, но и для решения известных уже заданий. Сегодня остановимся на доказательстве тождеств. Для доказательства тождеств с помощью производной следует пользоваться достаточным условием постоянства функции.

Доказательство: Т. к. f’(x)=0, то f(x)=const.Для этого достаточно вычислить f(x) в любой точке, например, при х=0, т.е. f(0)=0,25. Тождество доказано.

Доказательство:

Производная равна нулю при х=0,5

Подведение итогов урока.