Тема: “Нестандартные тригонометрические задачи.
Параметры в тригонометрии”.
Дидактическая цель:
закрепить имеющиеся знания, умения и навыки по решению тригонометрических задач в процессе выполнения заданий;
проверить степень усвоения знаний и сформированности умений;
углубить знания учащихся по решению заданий, содержащих параметры;
Воспитательная цель:
формировать осознанное отношение к учебному материалу;
систематически обращать внимание учащихся на приемы оформления, рациональную запись решения; добиваться четкости и грамотности в ответах и записях на доске и в тетрадях;
продолжить формировать умение
а) доводить учебные задания до конца;
б) планировать поиск решения задачи;
в) видеть закономерности;
г) ставить себе вопросы по условию задачи и делать выводы;
воспитывать у учащихся положительное отношение к процессу обучения;
продолжить развивать интерес к предмету посредством решения задач на уроке и во внеурочное время;
Вид занятия: урок усвоения нового материала.
Обеспечение занятия:
таблица: “Квадратное уравнение и его корни”
таблица: “ Корни приведенного квадратного уравнения”
раздаточный материал: карточки – заданияа) для работы в классе;
б) для домашней работы;
ПЛАН УРОКА:
I. Организационный момент.
II. Актуализация знаний.
III. Этап усвоения новых знаний
1) параметр и поиск решения;
2) параметр и количество решений;
IV. Запись домашнего задания.
V. Подведение итогов урока.
ХОД УРОКА:
- Организационный момент.
- Актуализация знаний. С задачами, содержащими параметр, вы сталкиваетесь не в первый раз. Начиная с 7-го класса, вы учитесь решать уравнения с параметрами. Первое из них было линейное уравнение.
Сообщить учащимся тему урока, план урока.
Записать тему урока в тетради.
| Какое уравнение называют линейным? | |
| Что вы скажите о корнях линейного уравнения? | |
| Далее изучались линейные
неравенства
От чего зависит решение этого неравенства |
Вспомнили, ну а теперь приступим к решению заданий.
- Решение заданий.
1. Параметр и поиск решения.
№ 1.
Решите уравнение относительно х : (b 2 – 9) sin x = b + 3
Решение:
1) если b = – 3, то
1) если b = 3, то 0 sin x = 6
решений нет
2) если 
3) Уравнение 
| Имеет решение, когда
|
не имеет решений, когда
|
При
Ответ:
? |
А что же такое параметр? Как вы понимаете значение этого слова? ( ……………..) |
| Вот как определяет параметр
“Энциклопедический словарь” Параметр в математике – величина, числовое значение которой позволяет выделить определенный элемент из множества элементов того же рода. Итак, если в математике “параметр” это величина, числовое значение, то в повседневной жизни мы встречаемся с ним? Приведите пример |
Пример лечения больного:
|
Неправильно установив
диагноз заболевания из-за отсутствия полных данных; из-за невнимательности к некоторым симптомам; ……………….. врач лечит своего пациента не от реально существующей у него болезни, а совсем от другой. Есть правда, еще и другой путь – лечить сразу от всех болезней, но вряд ли кто-то сочтет его разумным. Итак, наша первая задача – диагностика трудностей, точное и правильное установление “ места затруднения” в задаче. |
№ 2. Найдите все значения а, при которых уравнение
cos 4 х – ( а + 1) cos 2 х – ( а + 2) = 0
имеет решение. Найдите эти решения.
Решение:
| Что за уравнение нужно решить? | (биквадратное) |
| К чему сводится его решение? | (к решению квадратного уравнения) |
| От чего зависит наличие корней в квадратном уравнении? | если Д > 0, то 2 разных действ.
корня. если Д = 0, то 2 равных действ. корня. если Д < 0, то 2 действ. корня нет. |
| Какие способы решения квадратного уравнения вам знакомы? |
Давайте проиллюстрируем решение совокупности уравнений на единичной окружности
Ответ:
| Обратите внимание, какое
компактное и красивое решение вами было
предложено и вами же реализовано. Все-таки математика обладает образной эстетикой. А вот если к шагам познания добавить и психическую мощь, то каких результатов мы добьемся. Ведь и в литературе не раз указывается на сочетание рассудка с сердцем: “Познающий не может быть бессердечным. Если ученый жесток, значит, он не будет близок к истине. Если ученый упрям, он не достоин познания. Если ученый уныл, значит, он лишен глаза на сокровища природы. Если ученый не может переступить ограничения вчерашнего дня, лучше ему не заниматься наукой… ”. Серия книг живой этики “Наземное”. Я говорю об эмоциональном настрое. Ведь это фундамент для интеллектуального, творческого и иных видов развития. Ведь эмоциональный подъем порождает желание учиться. Верно? |
2. Параметр и количество корней
№3. Найдите действительные значения а, при которых уравнение
3х2–4a sin(cos x)+a2=0
имеет единственное решение.
Решение:
Необычное уравнение?
| Какие способы решения уравнений вы знаете? | ||
| Что значит решить уравнение с графической точки зрения? | Найти точки пересечения графика функции с осью Ох | |
| Сталь быть надо рассматривать функцию |
|
|
| Рассмотрим свойства данной функции | a) D(f): x
 R
|
|
| Какие четные функции вам знакомы? |  |
|
| Что скажете о четной функции с графической точки зрения? | ||
| Изобразите пример четной функции | ||
| Что скажете о точках пересечения графика функции с осью Ох | ||
| Стало быть, если х=b – корень
уравнения то и х=-b – тоже корень уравнения |
||
| Но согласно условию задачи уравнение должно иметь единственное решение | Если данное уравнение и имеет единственное решение, то только х=0 | |
| Ну а теперь, поскольку знаем единственный корень уравнения… | Найдем значение параметра а, при
котором х=0
|
|
| Ответ: если а=0 или а=4sin 1, то уравнение имеет единственное решение х=0 | ||
№4 Найдите все значения параметра b при которых уравнение
2cos23x+(4b2-7)cos 3x+2b2-4=0
имеет на отрезке
ровно пять корней
Решение:
| Что это за уравнение | Квадратное относительно cos 3x 2cos23x+(4b2-7) cos 3x+2b2-4=0 |
|
| Наличие корней зависит от … | D=(4b2-7)2 – 4*2(2b2-4)= 16b4-56b2+49-16b2+32=16b4-72 b2+81= (4b2-9)2 | |
| Какие значения принимает
дискриминант? Найдем корни уравнения |
 |
|
| Уравнение cos 3x=-1/2 не зависит от параметра b | ||
| Выясним, сколько корней имеет оно на данном отрезке |
При корня, тогда уравнение cos t=4-2b2 согласно условию задачи должно иметь три корня, это достигается когда |
|
Ответ:
 |
||
имеет два
- Запись домашнего задания.
Раздать карточки-задания:
| №1. Решить уравнения:
№2. Найдите целые значения а, при которых уравнение 5-4sin2x=a имеет решение и найдите эти решения. №3. Найдите все значения параметра q, при которых уравнение cos10x – 3sin 5x +p=0 имеет три решения на [0: №4. При каких значениях а уравнение имеет единственное решение: cos ax = 2-cosx |
]Домашнее задание состоит из уравнений, содержащих параметр. Если после двух-трех прочтений условия не возникает стройной последовательности предстоящих действий, то оставьте задачу. Займитесь чем-то другим, но спустя какое-то время снова прочтите, вникая во все детали условия.
Не получилось, не беда, опять отложите и попробуйте решить через 2-3 часа. Итак, повторите несколько раз. В промежутках между попытками решить, условие задачи будет неожиданно возникать в сознании в самых непредвиденных ситуациях – во время чтения художественной литературы, за завтраком или при выполнении письменной работы по другому предмету. И это естественно. Идет процесс осмысливания задачи. Он продолжается и во время сна. Тому есть исторические примеры. И вот вдруг возникает четкий план решения.
Это озарение – награда за целеустремленность, за прилежание, за верность идее. Ведь счастье достижения цели невозможно сравнить ни с чем. Дело, в конечном счете, не в самой задаче, а в самоутверждении, в растущей вере в себя, в трудовом настрое на достижение результата.
И ведь все это относиться не только к решению задач по алгебре, физике, геометрии, а к творчеству вообще.
Ведь стихи пишутся тоже мучительно, упорно выверяется каждая интонация, каждое ударение, каждый слог.
Вспомните ответ Евклида египетскому царю Птолемею, когда тот потребовал, чтобы ученый обучил его своей науке как-нибудь побыстрее:
“В геометрию нет царского пути”. Его нет не только в геометрию, а в любую другую науку.
Может быть, некоторые из вас и не станут поступать в технические учебные заведения, а некоторые и, окончив таковые, не будут иметь отношения к высоким технологиям. Но мне хочется, чтобы вы осознали, что в творческих поисках легких побед не бывает и пусть это станет направляющим фактором в ваших учебных буднях.
Ну а полем деятельности в этом направлении пока будет домашнее задание.
V. Подведение итогов.