В свое время, много лет назад, когда я читала известную книгу Р.Куранта и Г.Роббинса, я мало задумывалась над тем, почему авторы назвали ее именно так: “Что такое математика?” Само собой – не читала я ни предисловий, ни “философских”, “не относящихся к делу” (как мне казалось) отступлений в тексте.
И только в последнее время, думая о том, какой математике мы учим детей в школе – я обратила внимание на заголовок стоящей на полке книги. А когда прочитала и предисловия, и отступления – и поняла, с чем полемизировали, от чего предостерегали авторы, стало ясно, что еще 60 лет назад были предсказаны те проблемы в обучении математике, с которыми мы столкнулись сейчас. Столкнулись – по-видимому, потому, что в свое время предостережения Куранта и Роббинса, и не только их, мало кем были услышаны.
Итак, цитата – слова Р.Куранта: “Чрезмерное подчеркивание аксиоматико-дедуктивного характера математики представляется мне весьма опасным. Конечно, начало конструктивного творчества, интуитивное начало, являющееся источником наших идей и доводов в их пользу, с трудом укладываются в простые философские формулировки; и тем не менее именно это начало есть подлинная суть любого математического открытия, даже если оно относится к самым абстрактным областям. Если целью и является четкая дедуктивная форма, то движущая сила математики – это интуиция и конструкция” [1].
Здесь Р.Курант говорит о путях развития математики, о сути математического открытия, но одновременно и о принципах математического образования. Представить ученикам математическую теорию в готовом, завершенном виде, в идеальной “четкой дедуктивной форме” и утаить от них те интуитивные, конструктивные соображения, на основе которых эта теория возникала – это значит отлучить их от самой сути математики.
И вот – предостережение Р.Куранта, обращенное в первую очередь к учителям: “Сейчас больше, чем когда-либо, существует опасность выхолащивания и разочарований, если только учащиеся (и учителя) не сумеют увидеть и схватить то, что лежит за формулами и преобразованиями – истинное существо и содержание математики” [1].
Тем, кто “видит глубже”, адресуют авторы свою книгу. Учим ли мы своих учеников “видеть глубже”? Когда и как надо начинать такое обучение?
Я разговариваю с детьми, которые приходят в пятый класс, и пытаюсь выяснить, каким образом они делают те или иные умозаключения. И я вижу, что в их мышлении настолько “сбиты настройки”, что уже нужны какие-то серьезные реанимационные мероприятия.
А.В.Шевкин в своей книге [2] приводит выразительный пример. Учительница обсуждает с отстающей ученицей задачу: “На каждую телегу грузили по 8 мешков картофеля. На сколько телег погрузили 72 мешка картофеля?” “Здесь надо 72 делить на 8”, – говорит учительница. “Нет, – возражает ученица, – когда “на сколько”, надо вычитать”.
По моим наблюдениям, у большинства учеников существует целый тезаурус таких “ключевых” или “кодовых” слов и оборотов. Определенный оборот встретился в условии задачи – и ученик реагирует на него, как на некий сигнал: нужно выполнить такие-то и такие-то действия.
Чтобы убедиться в том, что сказанное – не только проблема отстающих учеников, достаточно предложить пятиклассникам (а можно – восьмиклассникам) задачку, кочующую из одного математического КВНа в другой: “Во сколько раз лестница на шестой этаж дома длиннее лестницы на второй этаж того же дома?” Живучесть этой задачи связана с тем, что большинство детей “попадаются” и отвечают: в три раза. (Во сколько раз длиннее? Нужно большее разделить на меньшее…). Впечатляет то, что так отвечают дети, ежедневно бегающие по тем самым лестницам. Почему они даже не пытаются вспомнить про эту реальную лестницу, представить ее себе? Просто – такие действия не вяжутся с их представлением о том, “что такое математика”.
Большинство наших пятиклассников убеждено – наглядные, конструктивные соображения – это нечто, вообще, к математике отношения не имеющее, и даже запрещенное! Одна (очень неглупая) девочка говорила мне – буквально, со слезами на глазах: “Да я прекрасно понимаю, что в пять раз. Но если делать все правильно – этот ответ никак не получится. Ведь там сказано – шестой и второй. Какое я имею право делить не шесть на два, а пять на один – только потому, что я нарисовала какую-то лестницу???”
Нужно запастись изрядной долей терпения, чтобы убедить детей в их праве рассуждать, опираясь на ту конструкцию или модель, которая заложена в содержании задачи. Я думаю, что это терпение оправдает себя – поскольку позволит приобщить к математическому творчеству не только лучших и способных, но и, надеюсь, большинство учеников.
Выбор задачи.
Итак, начинаем работать с детьми на основе здравого смысла, наглядности, конструкции. И первая проблема – подборка задач. Задачи “на части” – это, безусловно, классика и та основа, на которой может быть заложено конструктивное мышление детей. Но здесь сразу же возникает проблема, с которой не довелось столкнуться Вите Малееву и его сверстникам. Если в наши дни современный школьник попытается разобраться в задаче “про мальчика и девочку, которые рвали в лесу орехи”, подключив все свое воображение, как это сделал Витя, наверняка, все это “творчество” пресечет кто-нибудь из продвинутых родителей. “Деточка, зачем ты мучаешься, рисуешь эти кармашки… Смотри, вот это – х, это – 2х, дальше пишем уравнение… Все совсем просто”. И радостный ученик придет завтра в школу и объявит: “А мне папа рассказал, как можно решить гораздо проще. И никаких рисунков не надо!”
Про эту проблему писал А.В.Шевкин – очень остроумно – на примере некоей задачи, где нужно было определить “сколько верст от Москвы до Твери”. Алгебраически эту задачу заметно легче решить, чем арифметически. Однако: “В обучении легче – не всегда полезнее, – пишет Шевкин. – Ведь еще легче заглянуть в справочник и найти там ответ на вопрос задачи, и не в верстах, а в километрах. Думается, читатель и сам уверен, что в школе задачи решают совсем не для того, чтобы узнать расстояние от Москвы до Твери”.
К сожалению, эти доводы – убедительные для учителя – не слишком-то годятся для учеников. Не поймут они – зачем так, если можно легче…
И учитель понимает: нужно искать задачи, перед которыми спасуют искушенные в уравнениях родители – а ребенок нарисует им несколько отрезочков или прямоугольничков и скажет: “Вот, смотрите, как просто – все решение видно из рисунка”.
Самое удивительное, что поиски таких задач начались уже очень давно, задолго до глобальной алгебраизации обучения в начальной школе. Еще Лев Николаевич Толстой занимался этой проблемой. До глубокой старости он восхищался задачей “про артель косцов”. Толстого “особенно восхитило то, что задача делается гораздо яснее и прозрачнее, если при решении пользоваться самым примитивным чертежом” [3]. А автор этой задачи – студент Петров, о котором пишет профессор А.В.Цингер в письме к Я.И.Перельману – составил целую серию именно таких задач, где наглядные соображения являются ключом к наиболее простому и красивому решению.
Мне, правда, не удалось найти других задач студента Петрова. Однако, листая различные сборники, я часто с удивлением обнаруживаю в них задачи, задуманные под алгебраическое решение – и, однако, допускающие простое и прозрачное решение на основе “самого примитивного чертежа”.
Вот пример – задача для участников Математического праздника в МГУ (1994 год).
“Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причем Катя выпила четверть всего молока и шестую часть всего кофе. Сколько человек в семье?”
С алгебраическим решением этой задачи можно ознакомиться в сборнике [4]. А вот – альтернатива. Сразу оговорюсь, что приведенные ниже вопросы и ответы – это вовсе не диалог учителя с учениками. Это, скорее, логика, в которой может быть построен разбор этой задачи на уроке. Подробнее о работе с задачей на уроке я напишу ниже.
Итак, Катя выпила четверть всего молока. Как это можно себе представить?
Вот – кружочек – молоко. Кружочек разделен на четыре “дольки” – рис. 1. Одна такая “долька” – это то, что выпила Катя.
А кофе? Катя выпила шестую часть всего кофе...
Вот – прямоугольник – кофе. Он разделен на шесть “квадратиков”. Один такой “квадратик” – это то, что выпила Катя.
Значит, в итоге – что выпила Катя?
Одну "дольку" молока и один "квадратик" кофе. И это – полная чашка.
Объединим каждую "дольку" молока с "квадратиком" кофе. Что получим?
Четыре чашки, и еще два "квадратика" кофе.
Можем ли мы утверждать, что эти два "квадратика" составляют целое число чашек?
Да, потому что семья выпила целое число чашек.
Возможно ли, что эти два квадратика составляют две чашки?
Нет, потому что это означало бы, что Катя выпила больше чашки – ведь в ее чашке было еще и молоко.
Возможно ли, что эти два квадратика составляют больше двух чашек?
Тем более, нет.
Что же остается?
Что два "квадратика" составляют ровно одну чашку. В этом случае Катина чашка наполовину состояла из молока и наполовину – из кофе.
Сколько же всего чашек мы насчитали?
Пять.
Сколько всего членов семьи?
Тоже пять.
В чем я вижу преимущества этого решения? В том, что оно доступно любому ребенку, практически – ничего не знающему из математики. Все, что необходимо – понимание того, что такое целое и что такое дробь. И еще – нужна решимость: основываясь на этом понимании, делать практические шаги – то есть, работать с конструкцией, делать выводы, идти к результату.
Выработка такой решимости – работать “от смысла” – я думаю, одна из основных целей при обучении математике в пятом классе. Достаточное количество нестандартных задач – вроде той, что рассмотрена выше, даст, в этом смысле, хорошую мотивацию для детей.
В то же время, и “обычные” задачи – “на дроби”, “на проценты”, “на совместную работу”, и так далее – в пятом классе, по моему мнению, желательно решать исключительно на основе наглядности, без подключения стандартных процедур. Это позволит закрепить навык действий “от смысла”, а закрепление такого навыка, как уже сказано, требует длительных усилий.
Далее, в шестом-седьмом классе, все большее значение будут приобретать стандартные приемы, процедуры, методы. Их необходимо осваивать, при этом избегая того, чтобы стандартные приемы “стандартизировали” мышление детей. Впрочем, работа с учащимися шестого-седьмого класса выходит за рамки данной публикации. Отмечу основное. Цель здесь такая: научить детей четко разграничивать стандартную и нестандартную ситуацию. В стандартной ситуации – использовать стандартные процедуры, а в нестандартной – возвращаться к смыслу понятий, наглядным представлениям, конструкциям – и работать непосредственно с ними.
Вернемся, однако, к ситуации пятого класса. Здесь мне хотелось бы более конкретно описать то, что происходит на уроке – каким образом организован сам процесс, позволяющий направить мышление детей в конструктивное русло.
Работа с задачей на уроке.
Сразу оговорю некоторые принципы, которые я считаю важными в организационном плане.
Во-первых, это – сочетание индивидуальной и коллективной работы детей. То есть, весь процесс фрагментируется таким образом, что происходит чередование: сначала – коллективное обсуждение задачи, затем – индивидуальная работа в заданном направлении, затем – общее обсуждение полученных промежуточных результатов, выработка направления следующего шага, вновь – индивидуальная работа каждого... Ниже я опишу это более конкретно.
Во-вторых – рассмотрение достаточно серьезной задачи предваряется серией подготовительных упражнений. Этот момент также будет проиллюстрирован.
В-третьих – самоконтроль и самооценка учащимися своих действий – на этапах коллективного обсуждения отдельных фрагментов. Когда ученик, в ходе обсуждения, убеждается в том, что фрагмент работы, проделанный им самостоятельно, проделан верно, он проставляет значок “+” возле соответствующей записи в тетради. Из этих промежуточных оценок складывается общий балл за работу на уроке и, соответственно, проставляется оценка за урок.
Дроби.
Чтобы проиллюстрировать сказанное, далее я подробно опишу фрагмент урока, посвященного решению задач “на дроби”. Еще раз оговорюсь – дети еще не изучали ни действий с дробями, ни каких-либо стандартных процедур по нахождению “дроби от числа” или “числа по его дроби”.
Здесь мне придется пояснить, какое содержание вкладывается в понятие “дробь” на этом этапе обучения. На самом деле, понятие “дроби” у моих учеников возникло в ходе решения задач “на части”. Скажем, обсуждая уже упоминавшуюся задачу “про мальчика и девочку, которые рвали в лесу орехи”, мы приходим к тому, что общее количество орехов составляет 3 части. Девочке принадлежит одна часть из трех, другими словами – 1/3 всех орехов. Мальчику принадлежат две части из трех, другими словами – 2/3 всех орехов. Я подчеркиваю – другими словами – то есть, понятие “дроби” уже присутствует в задачах “на части”. Важно, чтобы дети это осознали – переходя к новой терминологии, связанной с дробями, мы остаемся в рамках того же математического содержания, которое присутствовало в задачах “на части”.
Как, скажем, дети понимают те задания, которые помещены ниже в разделе “Подготовительные упражнения”? Фраза “Младший сын прошел 2/5 пути” воспринимается так: “Весь путь условно разделен на пять равных частей. Младший сын прошел две части из пяти, ему осталось пройти три части из пяти”. В соответствии с этим, ученик выбирает подходящую графическую модель и начинает работать с ней.
Поясню слово “выбирает”. Поскольку дети, фактически, впервые сталкиваются с подобными формулировками – то я, на данном этапе, несколько облегчаю для них процесс – предлагаю выбрать подходящую базовую графическую модель из некоего набора.
Вот этот набор: отрезок, разделенный на две равные части (модель 1), на три равные части (модель 2), на четыре равные части (модель 3), на пять равных частей (модель 4), на шесть равных частей (модель 5).
Подготовительные упражнения.
Методика работы с подготовительными упражнениями примерно такая. Дети получают задание, выполняют его в тетрадке, а выполнив – поднимают руку. Через некоторое время я объявляю обсуждение. Тянуть с этим не стоит – первые начнут скучать. Даже если, допустим, при выполнении первого задания дружно подняли руку 20-30% класса, а остальные замешкались – лучше уже начать обсуждение. Если те, кто не справился с заданием, внимательно выслушают решение – у них значительно возрастают шансы выполнить последующие задания.
Итак – повторюсь – на доске изображены пять базовых моделей, и мы переходим к упражнениям. В данном случае упражнения объединены следующим сюжетом: три сына, каждый из своего дома, отправились в путь к дому отца (этот сюжет будет продолжен, далее, в задачах).
Задание 1. Старший сын прошел 1/3 своего пути, и ему еще осталось пройти 18 км. Выберите подходящую базовую модель, дополните ее данными задачи.
Решение. Модель 2, рис. 2.
Задание 2. С помощью выбранной модели найдите расстояние от дома старшего сына до дома отца.
Решение. 18 : 2 = 9 (км) – одна часть
9 • 3 = 27(км) – расстояние до дома отца
Задание 3. Средний сын живет в шестидесяти километрах от дома отца. Сейчас он уже прошел 1/3 того, что ему осталось пройти. Изобразите эту ситуацию графически.
Решение. Модель 3, рис. 3.
Задание 4. На основе модели определите, сколько километров осталось пройти среднему сыну.
Решение. 60 : 4 = 15(км) – одна часть
15 • 3 = 45(км) – осталось пройти
Задание 5. Младший сын прошел 2/5 пути. Ему осталось пройти на 10 км больше, чем он уже прошел. Изобразите эту ситуацию графически.
Решение. Модель 4, рис. 4.
Задание 6. На основе модели определите, сколько километров осталось пройти младшему сыну?
Решение. 10 км – одна часть
10 • 3 = 30 (км) – осталось пройти
Разбор задачи.
Задача, предлагаемая для коллективного разбора, решается, как уже было сказано, по шагам. Важно, чтобы каждый следующий шаг предлагали сами учащиеся, используя идеи, усвоенные при выполнении подготовительных упражнений. Вообще, процесс разбора задачи отличается от предыдущего этапа, главным образом, тем, что каждое следующее задание формулируют сами ученики.
Сюжет данной задачи является продолжением сюжета, использовавшегося в подготовительных упражнениях. В данный момент все сыновья уже собрались у отца, и отец хочет разделить между ними наследство.
Задача. “Я хочу, чтобы старший сын получил денег столько же, сколько средний и младший вместе. Я хочу, чтобы средний сын получил половину того, что достанется двум другим братьям. Я хочу, чтобы младший сын получил 80 золотых монет. Итак, я ухожу за монетами, и хочу, чтобы к моему возвращению старшие сыновья ответили мне – сколько монет должен получить каждый из них”.
Полезно подчеркнуть, в чем трудность задачи: чтобы определить свою долю, старший сын должен знать, какова доля среднего. В свою очередь, среднему, для определения своей доли, необходимо знать долю старшего.
Вспоминаем все, что мы поняли на этапе подготовительных заданий – и формулируем первый шаг.
Задание 1. Изобразим графически долю старшего сына в наследстве отца.
Решение. Модель 1, рис. 5.
Задание 2. Изобразим графически долю среднего сына в наследстве отца.
Решение. Модель 2, рис. 6.
Далее возникает очень важный момент – совмещение двух моделей. Эта ситуация в дальнейшем будет встречаться постоянно – и подведет детей к наглядному осознанию принципа сложения дробей с разными знаменателями.
Задание 3. Выберем модель, подходящую для того, чтобы изобразить одновременно и долю старшего, и долю среднего сына.
Решение. Модель 5, рис. 7.
Теперь ситуация стала абсолютно ясной, и задача может быть легко доведена до конца.
Выводы.
Хотелось бы отметить, что использование такой методики позволило мне в значительной степени справиться с проблемой дифференцированного обучения в разноуровневом классе. Задача решена коллективно – всем классом, и в то же время – индивидуально, каждым учеником. Степень самостоятельности каждого была, естественно, разной.
Несколько учеников действовали полностью самостоятельно – они лишь получали от меня подтверждения в правильности их хода мысли и совершаемых ими действий.
Несколько человек были лишь отчасти самостоятельны – на каких-то этапах направление движения формулировали другие, а они только выполняли действия, отвечая на поставленный вопрос. И все же – они постоянно находились в логике процесса, и их участие в решении задачи было абсолютно полноценным.
Ну, и в самом худшем случае, кто-то только выполнял действия, возможно не всегда правильно. И все же, даже такой ученик, как минимум, следил за ходом решения задачи, вникал в происходящее, постоянно имел шанс сделать правильный шаг и, хотя бы иногда, делал его. То есть, даже такой ученик получил пользу и опыт на будущее.
И, в заключение, еще несколько слов. Кроме темы “Дроби”, в пятом классе полезно рассмотреть на наглядно-конструктивном уровне и тему “Проценты”. Содержательно понятие “процент” не несет в себе ничего принципиально нового, однако известно, сколько путаницы возникает при рассмотрении проблем, связанных с процентами, не только у детей, но и у взрослых. Умение работать с процентами на основе графической модели в значительной степени устраняет эту путаницу. Соответствующие разработки у меня также имеются.
И еще, если выйти за рамки пятого класса, хочется отметить следующее перспективное направление. Это – нестандартные текстовые задачи, где конструктивные соображения являются необходимым предварительным этапом, позволяющим значительно упростить перевод задачи на алгебраический язык. А в ряде случаев – без такого этапа решение задачи вообще не представляется возможным.
Что же касается методики индивидуально-коллективного решения задачи изложенной выше, то она неплохо показывает себя на уроках геометрии. В таком ключе может быть рассмотрено и доказательство многих теорем, и организовано решение геометрических задач.
Литература.
1. Р.Курант, Г.Роббинс. Что такое математика? – М.: Просвещение, 1967.
2. А.В.Шевкин. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах: Книга для учителя. – М.: ООО "ТИД "Русское слово-РС"", 2002.
3. Я.И.Перельман. Занимательная алгебра. – М.: Наука, 1974.
4. И. В.Ященко. Приглашение на математический праздник. – М.: МЦНМО, ЧеРо, 1998.