Класс: 10-11.
Уровень: углубленный.
Стандарт: ФГОС СОО.
Время: 90 минут.
1. Целеполагание
Образовательные цели:
- Систематизировать знания о методах решения тригонометрических уравнений;
- Научить выбирать оптимальный метод решения в зависимости от вида уравнения;
- Отработать навыки решения задач повышенной сложности из ЕГЭ.
Развивающие цели:
- Формировать логическое и алгоритмическое мышление;
- Развивать умение анализировать и сравнивать различные подходы к решению.
Воспитательные цели:
- Воспитывать культуру математического мышления;
- Формировать навыки самоконтроля и взаимопроверки.
2. Структура урока
I. Организационный момент (2 мин)
- Мотивация: "Умение решать тригонометрические уравнения - ключ к успеху на ЕГЭ"
- Ознакомление с планом урока
II. Актуализация знаний (10 мин)
Блиц-опрос:
- Основные виды простейших тригонометрических уравнений
- Формулы корней для уравнений: sinx=a, cosx=a, tgx=a
- Основные тригонометрические тождества
- Методы решения уравнений:
- Разложение на множители
- Введение новой переменной
- Однородные уравнения
- Универсальная подстановка
Разминка: Решить устно:
- 2cos²x - 1 = 0
- sinx + √3cosx = 0
III. Основная часть (60 мин)
1. Метод замены переменной (15 мин)
Теория:
- Применяется, когда уравнение можно свести к алгебраическому
- Особое внимание - области допустимых значений
Примеры:
- 2sin²x + 5sinx - 3 = 0
- cos2x + 3cosx + 2 = 0
Практика: Решить в парах: tg²x - 3tgx + 2 = 0
2. Однородные уравнения (15 мин)
Теория:
- Уравнения вида: asinx + bcosx = 0 (I степени)
- asin²x + bsinxcosx + ccos²x = 0 (II степени)
Алгоритм решения:
- Проверить, является ли cosx = 0 решением
- Поделить на cosx (или cos²x)
- Решить полученное уравнение
Пример: 3sin²x - 4sinxcosx + cos²x = 0
Практика: 4sinx + 5cosx = 0
3. Метод разложения на множители (15 мин)
Основные приемы:
- Вынесение общего множителя
- Группировка
- Использование формул преобразования сумм в произведения
Пример: sin2x - sinx = 0
Практика: cos3x + cosx = 0
4. Специальные методы (15 мин)
- Универсальная тригонометрическая подстановка
- Оценка области значений
- Графический метод
Пример: sinx + cosx = 1
IV. Решение задач ЕГЭ (15 мин)
Задание 1: Найдите количество корней уравнения cos2x + sinx = 0 на промежутке [0; 2π]
Задание 2: Решите уравнение: √3sinx - cosx = √2
Задание 3 (повышенной сложности): Найдите все решения уравнения sin⁴x + cos⁴x = 5/8
V. Итоги урока. Рефлексия (3 мин)
- Какие методы оказались наиболее эффективными?
- Какие вызвали затруднения?
- Какой метод вам кажется самым универсальным?
Домашнее задание
Уровень 1:
- 2cos²x + 3sinx = 0
- sin2x = cosx
Уровень 2 (ЕГЭ):
- 4sinx + 5cosx = 0
- sin³x + cos³x = 1
Творческое задание: Составить 3 уравнения разными методами и предложить одноклассникам решить
4. Методическое обеспечение
- Интерактивная доска с графиками
- Карточки с заданиями разного уровня
- Таблица "Методы решения тригонометрических уравнений"
- Критерии оценивания ЕГЭ по данной теме
Дифференциация:
- Синие карточки - базовый уровень
- Красные карточки - повышенной сложности
- Зеленые карточки - олимпиадные задачи
Формы контроля:
- Самопроверка по образцу
- Взаимопроверка в парах
- Фронтальный опрос
Урок соответствует требованиям ФГОС СОО и обеспечивает подготовку к решению заданий 12 и 13 профильного ЕГЭ по математике.