Когда-то очень давно Герберт Спенсер сказал: «Великая цель образования – это не знания, а действия».
Это высказывание четко определяет важнейшую задачу современной системы образования: формирование совокупности «универсальных учебных действий», которые выступают в качестве основы образовательного и воспитательного процесса дают возможность ученику самостоятельно успешно усваивать новые знания, умения и компетенции, включая умение учиться.
Начальная школа — важнейший этап в процессе общего образования школьника. За четыре года ему надо не только освоить программный материал предметных дисциплин, но и научиться учиться – стать «профессиональным учеником».
Предметные знания и умения, приобретённые при изучении математики в начальной школе, первоначальное овладение математическим языком являются опорой для изучения смежных дисциплин, фундаментом обучения в старших классах общеобразовательных учреждений.
В то же время в начальной школе этот предмет является основой развития у учащихся познавательных действий, в первую очередь логических, включая и знаково-символические, а также таких, как планирование (цепочки действий по задачам), систематизация и структурирование знаний, преобразование информации, моделирование, дифференциация существенных и несущественных условий, аксиоматика, формирование элементов системного мышления, выработка вычислительных навыков. Особое значение имеет математика для формирования общего приема решения задач как универсального учебного действия. Таким образом, математика является эффективным средством развития личности школьника.
Исходя из общих положений концепции математического образования, начальный курс математики призван решать следующие задачи:
- создать условия для формирования логического и абстрактного мышления у младших школьников на входе в основную школу как основы их дальнейшего эффективного обучения;
- сформировать набор необходимых для дальнейшего обучения предметных и общеучебных умений на основе решения как предметных, так и интегрированных жизненных задач;
- обеспечить прочное и сознательное овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования; обеспечить интеллектуальное развитие, сформировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для полноценной жизни в обществе;
- сформировать представление об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания окружающего мира;
- сформировать представление о математике как части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для общественного прогресса;
- сформировать устойчивый интерес к математике на основе дифференцированного подхода к учащимся;
- выявить и развить математические и творческие способности на основе заданий, носящих нестандартный, занимательный характер.
В результате освоения предметного содержания предлагаемого курса математики у учащихся предполагается формирование универсальных учебных действий (познавательных, регулятивных, коммуникативных) позволяющих достигать предметных, метапредметных и личностных результатов.
В широком значении термин «универсальные учебные действия» означает умение учиться, то есть способность субъекта к саморазвитию и самосовершенствованию путем сознательного и активного присвоения нового социального опыта.
В более узком (собственно психологическом) значении этот термин можно определить как совокупность способов действия учащегося, обеспечивающих самостоятельное усвоение новых знаний, формирование умений, включая организацию этого процесса.
Среди основных видов универсальных учебных действий выделяют:
- личностные;
- регулятивные;
- познавательные;
- коммуникативные.
Умение учиться обеспечивается тем, что универсальные учебные действия как обобщенные действия, открывают учащимся возможность широкой ориентации как в различных предметных областях, так и в строении самой учебной деятельности.
Универсальный характер учебных действий проявляется в том, что они носят надпредметный, метапредметный характер; обеспечивают преемственность всех ступеней образовательного процесса; лежат в основе организации и регуляции любой деятельности учащегося независимо от её специально-предметного содержания.
Личностные универсальные учебные действия обеспечивают ценностно-смысловую ориентацию учащихся (знание моральных норм, умение соотносить поступки и события с принятыми этическими принципами, умение выделить нравственный аспект поведения) и ориентацию в социальных ролях и межличностных отношениях.
К ним относят три вида личностных действий:
- самоопределение (личностное, профессиональное, жизненное);
- смыслообразование;
- нравственно-этическая ориентация.
Регулятивные универсальные учебные действия обеспечивают организацию учебной деятельности учащихся.
К ним относятся:
- целеполагание;
- планирование;
- прогнозирование;
- контроль;
- коррекция;
- оценка;
- саморегуляция.
К познавательным универсальным учебным действиям относят общеучебные, логические, постановку и решение проблемы.
Общеучебные универсальные действия:
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Поиск и выделение необходимой информации; применение методов информационного поиска, в том числе с помощью компьютерных средств.
- Знаково-символическое моделирование; выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
- Рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности и др.
Например, уже на первых уроках перед ребенком ставятся учебные задачи, и сначала вместе с учителем, а затем самостоятельно он объясняет последовательность учебных операций (действий), которые осуществляет для их решения. Любая задача, предназначенная для развития или оценки уровня сформированности УУД предполагает осуществление субъектом (в свёрнутом или развёрнутом виде) следующих навыков: ознакомление-понимание — применение – анализ – синтез - оценка.
Универсальные логические действия:
- Анализ объектов с целью выделения признаков (существенных и несущественных).
- Синтез как составление целого из частей, в том числе с самостоятельным достраиванием, восполнением недостающих компонентов.
- Построение логической цепи рассуждений.
- Выдвижение гипотез и их обоснование и др.
Постановка и решение проблемы:
- Формулирование проблемы.
- Самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.
- Умение решать проблемы или задачи – одно из важнейших универсальных познавательных действий.
Коммуникативные универсальные учебные действия обеспечивают социальную компетентность и учет позиции других людей, партнеров по общению или деятельности; умение слушать и вступать в диалог; участвовать в коллективном обсуждении проблем; интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками и взрослыми.
К ним относятся:
- планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками;
- постановка вопросов;
- разрешение конфликтов;
- управление поведением партнеров и др.
Каждый учебный предмет имеет большие возможности в формировании УУД. Однако математика является основой развития у учащихся познавательных действий, в том числе, логических, алгоритмических, знаково-символических, планирования, дифференциации существенных и несущественных условий, перевода с одного языка на другой, аксиоматики, систематизации и структурирования знаний, приобретения основ информационной грамотности и др.
Особую роль математика играет в формировании прочных и осознанных вычислительных навыков и общего приёма решения задач как УУД.
В начальном курсе математики изучают большое количество вычислительных приемов, устных (табличных и внетабличных), письменных. В основе выполнения вычислительного приема лежит алгоритм. Умение применять алгоритмы к решению конкретных учебных задач – одно из основных умений, формируемых на уроках математики. Повысить эффективность работы по формированию умения действовать по алгоритму помогут следующие рекомендации.
- При первичном знакомстве с алгоритмом вычислительного приема учащимся предъявляют развернутую форму алгоритма, где все объяснения даются в виде четко сформулированной последовательности этапов, которые должны быть выполнены. При этом чётко выделяются основные этапы алгоритма, подробный план рассуждений, подлежащие усвоению каждым учеником. В этом процессе должен осуществляться своевременный переход от подробного объяснения каждого шага рассуждений к постепенному свертыванию объяснений, когда выделяют только основные элементы алгоритма. После того, как алгоритм усвоен, требование проговаривать каждый шаг может искусственно замедлить выполнение алгоритма, и оправдано только при исправлении допущенных учеником ошибок.
- При изучении того или иного алгоритма, сначала рассматривается новый способ действий путем разложения его на составляющие. Потом приводится ряд примеров, иллюстрирующих алгоритм. Задача ребенка – понять все объяснения, сопровождающие каждый шаг алгоритма, запомнить их, а затем использовать полученные знания при выполнении аналогичных действий.
Выполнять действия ребенку, особенно с преобладанием синтетического типа мышления, длительное время «в уме» очень трудно. Поэтому, в работе с алгоритмами необходимо использовать внешнюю опору. Ею может быть наглядность, моделирующая способы умственных действий.
Например. При изучении табличного сложения в пределах 20 используется следующая модель:
Внешней опорой может быть и развернутая форма записи алгоритма в строчку.
В последующем изучении курса математики можно использовать задания следующего вида.
Например. Алгоритм письменного умножения двузначных чисел.
Задание. Найдите значение произведения 29 ∙ 35.
Решение.
Ошибка. В записи второго неполного произведения неправильно определено место каждого разряда.
С целью предупреждения этой ошибки рассмотрим развернутую запись алгоритма в строчку.
29 ∙ 35 = 29 ∙(30 + 5) = 29 ∙ (5 + 30) = 29 ∙ 5 + 29 ∙ 30 = 145 + (29 ∙ 3) ∙ 10 = =145 + 87 ∙ 10 = 145 + 870 = 1015
На основе этой записи легче установить соответствие между одноименными разрядными единицами обоих неполных произведений и правильно записать их в столбик.
1. Обучая алгоритму в целом, целесообразно выделять наиболее важные или сложные этапы алгоритма и работать с ними отдельно.
Например, в алгоритме письменного деления многозначного числа на однозначное важным этапом является этап определения первого неполного делимого и количества цифр в частном. Акцентирование внимания учащихся на этом этапе способствует предупреждению таких ошибок, как потеря цифр частного или приобретение лишних цифр в частном, формированию навыков самоконтроля.
Необходимо показать учащимся, на основе чего определяется количество цифр в частном (высшего разряда частного), как определяется высший разряд частного. Учащимся предлагают следующие задания:
Задание №1. Определи первое неполное делимое в частном, объясни, что оно обозначает.
- 832 : 4
- 372 : 4
Задание №2. Определи первое неполное делимое и высший разряд частного.
- 624 : 3
- 165 : 3
Задание №3. Определи первое неполное делимое и количество цифр в частном.
- 624 : 3
- 165 : 3
2. С целью развития интереса к выполнению вычислений самостоятельно целесообразно знакомить учащихся с рациональными способами вычислений.
Например.
- 56 ∙ 99 = 56 ∙ (100 – 1) = 56 ∙ 100 – 56 ∙ 1 = 5600 – 56 = 5544
- 56 ∙ 101 = 56 ∙ (100 + 1) = 56 ∙ 100 + 56 ∙ 1 = 5656
Изучение математики связано с использованием математического языка. Он относится к искусственным языкам, которые создаются и развиваются вместе с той или иной наукой, как и алфавит. В начальном курсе математики он представлен частично. В этот алфавит входят:
- Цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, с их помощью по специальным правилам записываются числа.
- Знаки операций +, -, ∙, :.
- Знаки отношений >, <, =.
- Строчные и заглавные буквы латинского алфавита, их применяют для обозначений чисел и фигур.
- Скобки (круглые, фигурные и др.), их называют техническими знаками.
Используя этот алфавит, в математике образуют слова, называя их выражениями, а их слов получаются предложения – числовые равенства, числовые неравенства, уравнения, неравенства с переменными.
Кроме того, в математическом языке используются математические термины.
При изучении начального курса математики уже с первых уроков учащиеся свои действия (например, при счете) описывают на языке математики. Особо явно перевод на язык математики виден при решении текстовых задач. Результатом решения задачи является выражение.
Одним из необходимых компонентов математической деятельности является составление различных планов. Такие умения формируются при выполнении вычислений, решении уравнений, текстовых задач и др. Таким образом, умение планировать учебную деятельность можно при выполнении практически любого учебного задания.
В методике обучения математике существуют различные приемы формирования умения планировать учебную деятельность.
- Решение заданий с параллельным комментированием хода их решения.
- Специальные задания на составление плана (описание хода) решения различных видов задач и упражнений.
Например.
Задание №1. Догадайся, по какому признаку записаны выражения (в каждом столбике). Расставь порядок выполнения действий.
| 35 – 6 + 18 | 72 + (9 – 3) |
53 – (8 + 15) – 7 |
48 – (16 – 7 – 8) |
(34 + 7) – (11 + 19) |
27 + 3 - 2 + 6 - 9 |
В последующем изучении курса математики можно использовать задания следующего вида.
Задание №2. Расставь порядок действий в выражении. Выполни схему.
150 : (18 + 7) – 4
Задание №3. Расставь порядок действий в каждой схеме:
Задание №4. Какие арифметические действия могут выполнять в указанном порядке.
Задание №5. Составь план решения задачи (выражения, уравнения и др.).
3. Специальные задания на сравнение способов решения нескольких различных задач и упражнений, используемые при обобщающем повторении темы, раздела.
Пример. При обобщающем повторении простых задач (2 кл., авт. М.И.Моро) целесообразно предлагать следующее задание: «Измени текст задачи так, чтобы выражение 13–8 было решением каждой».
а) В классе 13 девочек и 8 мальчиков. Сколько всего учеников в классе?
б) В классе 13 девочек, а мальчиков на 8 меньше. Сколько в классе мальчиков?
в) Всего в классе 8 учеников, из них 13 девочек, остальные мальчики. Сколько в классе мальчиков?
4. Специальные задания на сравнение различных способов решения одного и того же упражнения, одной и той же задачи.
Пример.
- Решите задачу различными способами (различными арифметическими способами), выберите наиболее рациональный из них.
- Выберите правильный порядок действий в выражении 1325 ∙ 28 : 7
- Найдите ошибку в ходе решения выражения 48 : 4 + 3 ∙ (19 – 9)
5. Проверка решения какого-либо задания по фиксации этапов решения.
Познавательные универсальные действия формируются при решении проблемы или задачи. Усвоение общего приёма решения задач в начальной школе базируется на сформированности логических операций – умении анализировать объект, осуществлять сравнение, выделять общее и различное, осуществлять классификацию, логическую мультипликацию (логическое умножение), устанавливать аналогии. В силу сложного системного характера общего приема решения задач данное универсальное учебное действие может рассматриваться как модельное для системы познавательных действий. Решение задач выступает и как цель, и как средство обучения. Умение ставить и решать задачи является одним из основных показателей уровня развития учащихся, открывает им пути овладения новыми знаниями, с их помощью формируются предметные знания, умения, навыки. Как правило, в них используются математические способы решения.
Общий приём решения задач включает:
- знание этапов решения (процесса);
- знание методов (способов) решения;
- знание типов задач;
- оснований выбора способа решения;
- владение предметными знаниями: понятиями, определениями терминов, правилами, формулами;
- владение логическими приемами и операциями.
Базой для усвоения общего приема решения задач в начальной школе является сформированность логических операций.
При анализе процесса (хода) решения задачи можно выделить следующие подходы: логико-математический (выделяют логические операции, входящие в этот процесс), психологический (анализируют мыслительные операции, на основе которых он протекает) и педагогический (приемы обучения, формирующие у учащихся умение решать задачи). При всем многообразии подходов к обучению решению задач, к этапам решения можно выделить следующие компоненты общего приема.
I. Анализ текста задачи (семантический, логический, математический).
Анализ текста задачи является самым важным и сложным этапом, центральным компонентом общего приёма решения задач.
II. Перевод текста на язык математики с помощью вербальных и невербальных средств.
Часто текст задачи включает несущественную для решения задачи информацию. Чтобы можно было работать только с существенной информацией, текст задачи записывается кратко с использованием условной символики. После выполнения краткой записи ученику необходимо проанализировать отношения и связи между данными задачи. С этой целью текст задачи переводят на язык графических моделей различного вида: чертежей, схем, графиков, таблиц, условного рисунка и др.
Использование моделей помогает учащимся обнаружить в тексте свойства и отношения, которые часто с трудом выделяются при чтении текста.
III. Установление отношений между данными и вопросом.
На этапе анализа текста учащиеся проводят анализ условия и анализ вопроса. На основе этого анализа определяется способ её решения, выстраивается последовательность определенных действий. На этом этапе учащиеся также устанавливают, является ли данная задача определенной, недоопределенной или переопределенной.
При изучении задач в начальном курсе математики выделяют 4 вида отношений между объектами и их величинами:
- равенство;
- часть / целое;
- разность;
- кратность.
IV. Составление плана решения.
На основании выявленных отношений между объектами и их величинами учащиеся составляют план решения задачи.
Особое внимание следует уделять составлению плана решения сложных составных задач.
V. Осуществление плана решения (запись решения задачи).
VI. Проверка и оцкенка решения задачи.
Одним из приёмов проверки правильности решения в начальной школе является составление и решение задачи, обратной данной. Учителю необходимо помнить, что умение ставить и решать задачи является основным универсальным учебным действием.
Также в период начального образования основным показателем развития знаково-символических универсальных учебных действий становится овладение моделированием. Обучение по действующим программам любых учебных предметов, в том числе и по математике, предполагает применение разных знаково-символических средств (цифры, буквы, схемы и др.), которые, как правило, не являются специальным объектом усвоения с точки зрения их характеристик как знаковых систем. Использование разных знаково-символических средств для выражения одного и того же содержания выступает способом отделения содержания от формы, что всегда рассматривалось в педагогике и психологии в качестве существенного показателя понимания учащимися задачи. Из разных видов деятельности со знаково-символическими средствами наибольшее применение в обучении имеет моделирование.
Формирование моделирования как УУД в курсе математики осуществляется поэтапно, учитывая возрастные особенности младших школьников и связано с изучением программного содержания. Первые представления о взаимосвязи предметной, вербальной и символической моделей формируются при изучении темы «Число и цифра». Дети учатся устанавливать соответствие между различными моделями или выбирать из данных символических моделей ту, которая, например, соответствует данной предметной модели.
Знакомство с отрезком и числовым лучом позволяет использовать не только предметные, но и графические модели при сравнении чисел, а также моделировать отношения чисел и величин с помощью схем, обозначая, например, данные числа и величины отрезками. Соотнесение вербальных (описание ситуации), предметных (изображение ситуации на рисунке), графических (изображение, например, сложения и вычитания на числовом луче) и символических моделей (запись числовых выражений, неравенств, равенств), их выбор, преобразование, конструирование создает дидактические условия для понимания и усвоения всеми учениками смысла изучаемых математических понятий (смысл действий сложения и вычитания, целое и части, отношения «больше на…», «меньше на…»; отношения разностного сравнения «на сколько больше (меньше)?» в их различных интерпретациях, что является необходимым условием для формирования общего умения решать текстовые задачи.
Таким образом, в усвоении математической науки целеполагание, планирование, освоение способов действия, освоение алгоритмов, оценивание собственной деятельности являются основными составляющими регулятивных УУД, которые становятся базой для учебной деятельности.
Регулятивные УУД формируются, когда:
‐ учитель учит конкретным способам действия: планировать, ставить цель, использовать алгоритм решения какой-либо задачи, оценивать.
Начало обучения в школе вводит ребенка в новый незнакомый для него мир – мир науки, в котором существуют свой язык, правила и законы. Часто в процессе обучения учитель знакомит ребенка с понятиями, научными объектами, но не создает условий для осмысления закономерностей их связывающих. Осмысление текстов, заданий; умение выделять главное, сравнивать, различать и обобщать, классифицировать, моделировать, проводить элементарный анализ, синтез, интерпретацию текста относится к познавательным УУД.
Познавательные УУД формируются, когда:
‐ учитель говорит: «Подумайте»; «Выполните задание»; «Проанализируйте»; «Сделайте вывод…».
Изучение математики способствует и развитию логических УУД. В процессе вычислений, измерений, поиска решения задач у учеников формируются основные мыслительные операции (анализа, синтеза, классификации, сравнения, аналогии и т.д.), умения различать обоснованные и необоснованные суждения, обосновывать этапы решения учебной задачи, производить анализ и преобразование информации (используя при решении самых разных математических задач простейшие предметные, знаковые, графические модели, таблицы, диаграммы, строя и преобразовывая их в соответствии с содержанием задания).
При этом сохраняется приоритет арифметической линии начального курса математики как основы для продолжения математического образования в 5–6 классах.
В заключение, хотелось бы подчеркнуть очень важный момент:
при изучении практически всех тем на уроках математики можно формировать все УУД одновременно.
Развитию УУД способствуют базовые образовательные технологии: уровневая дифференциация, проблемное обучение, ИКТ и проектная деятельность и игровая в 1 классе.
Овладение универсальными учебными действиями, в конечном счете, ведет к формированию способности самостоятельно успешно усваивать новые знания, умения и компетенции, включая самостоятельную организацию процесса усвоения, т.е. умения учиться.