Подготовка к ОГЭ по математике. Решение задач №22

Подготовительный этап

Перед тем, как приступим к построению графиков, повторим некоторые необходимые темы, которые могут быть использованы при решении заданий второй части № 22.

I. Разложение многочлена на множители - это представление многочлена в виде произведения многочленов.

Для этого применяют следующие способы:

1. Вынесение за скобки общего множителя

а*в + а*с = а*(в + с)

Например, 3х² - 6х = 3х (х – 2)

2. Формулы сокращенного умножения

3. Метод группировки

Объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена. Затем вынести этот общий множитель за скобки.

Например,

6ах – 10вх + 3ау – 5ву = 2х (3а -5в) + у(3а – 5в) = (3а – 5в) (2х + у)

4. Разложение на множители квадратного трехчлена

Если квадратный трехчлен имеет корни х1 и х2, то

ах² + вх + с = а (х – х1) (х - х2)

Например,

Требуется разложить на множители квадратный трехчлен 6х² - х – 2.

Найдем его корни.

6х² - х – 2 = 0

D = в² - 4ас = (-1)² - 4*6*(-2) = 49, √D = 7

х1 = = = -

х2 = =

6х² - х – 2 = 6 (х - ) (х + ) = 3(х - ) * 2(х + ) = (3х – 2) (2х + 1)

Иногда многочлен можно разложить на множители, применив последовательно несколько способов.

II. Сокращение дробей

это операция, обусловленная основным свойством дроби.

Чтобы сократить дробь, надо числитель и знаменатель дроби разложить на множители. Затем разделить числитель и знаменатель данной дроби на одинаковый множитель! Если одинаковых множителей нет, то дробь сократить нельзя.

Например,

III. Определение модуля

Например,

IV. Построение простейших графиков функций

Линейная функция – график Прямая у = kx + b

Если k > 0, прямая возрастает ↑

Если k < 0, прямая убывает ↓

Если к = 0, прямая параллельна оси Ох —

y = кх - пучок прямых, проходящих через начало координат

b – точка пересечения прямой с осью Оу

График линейной функции строится через 2 точки

Квадратичная функция – график Парабола y= ах² + вх + с

Если а > 0, то ветви параболы направлены вверх,

Если а < 0, то ветви параболы направлены вниз

С – точка пересечения графика параболы с осью Оу

Координата х вершины параболы рассчитывается по формуле

Хo = ,

чтобы найти координату Уo надо в уравнение, задающее данную функцию, у = ах² + вх + с подставить Хo.

Ось симметрии параболы проходит через Хo

Сдвиг параболы относительно оси Оу:

• Если а > 0, в > 0, то сдвиг влево
• Если а > 0, в < 0, то сдвиг вправо
• Если а < 0, в > 0, то сдвиг вправо
• Если а < 0, в < 0, то сдвиг влево

Количество точек пересечения с осью Ох, в зависимости от значения дискриминанта квадратичной функции

Д > 0 - 2 точки пересечения

Д = 0 - 1 точка пересечения

Д < 0 - нет точек пересечения

Дополнительные точки для построения параболы берутся симметрично Хo. Строится таблица, считаются значения у в каждой точке.

Функция обратной пропорциональности. График функции – гипербола.

y = , х ≠ 0

Если к > 0, ветви гиперболы расположены в 1 и 3 четверти, симметрично относительно 0.

Если к < 0, ветви гиперболы расположены в 2 и 4 четверти, симметрично относительно 0.

Функция квадратный корень из х

График функции – ветвь параболы, расположенная в 1 четверти.

y = √x

Функция модуль х

y = |х|

График функции – 2 луча, выходящие из начала координат (0;0), симметричный относительно оси Оу.

V. Область определения функции

Множество всех допустимых значений переменной х, при которых выражение имеет смысл.

1. Знаменатель дроби не может быть равен 0.

Например, у = ,

Допустимые значения этой функции при х – 3 ≠ 0, cледовательно, х ≠ 3

Значит, функция имеет смысл при любом значении переменной х, кроме 3.

2. Подкоренное выражение не может быть отрицательным.

У = √A, при А 0

Например, у =

Допустимые значения этой функции при х – 7 0,

Следовательно, решая неравенство, получаем х 7.

Повторив данные темы, можно переходить к разбору задания № 22.

Выполняем последовательно следующие шаги:

1. Выполняем преобразование алгебраического выражения.
2. При необходимости раскладываем на множители числитель и знаменатель дроби, сокращаем дробь…
3. Определяем вид функции.
4. Находим область определения функции.
5. Определяем какие точки на графике будут выколотые, точки стыка или разрыва…
6. Строим систему координат, задаем направление осей, масштаб, единичный отрезок и отмечаем на координатных осях все числа.
7. Записываем все этапы построения графика
8. Указываем название графика
9. Строим таблицу для дополнительных точек
10. Строим график.
11. Наносим выколотые точки, точки стыка или разрыва.
12. Подробно описываем решение второй части задания
13. Записываем ответ.

Приведем примеры построения некоторых графиков из открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ, разделив их на условные группы:

1. Построение графиков функций с модулем (примеры 1 и 2)
2. Построение графиков кусочно-заданных функций (пример 3)
3. Построение графиков функций, требующих преобразования через разложение на множители и сокращения дробей. (примеры 4 и 5)

Постарались при подборе заданий рассмотреть построение различных видов графиков (парабола, гипербола, прямая…)

Примеры посторения графиков

Задания для самостоятельной работы