Работу выполнили:
Гермогенова Ирина,
Моттуева Уруйдана,
ученицы 9 класса
го «город Якутск»Руководитель:
Варламова С.С.
Введение
Каждый человек имеет наглядное понятие о пространстве, телах и геометрических фигурах. На уроках геометрии мы изучаем различные тела и их свойства. Решаем много задач, основываясь на теорию.
Мы любим не только решать задачи, но и читать. Особенно фантастику. В рассказах герои совершают путешествия по необычным планетам, ищут необычные предметы. Нам стало интересно, что это за фигуры и каковы их свойства.
Проанализировав соответствующую литературу и интернет-источниках, мы узнали, что изучением этого вопроса занимается отдельный раздел математики - топология.
В начале мы ничего не знали про это, лишь в процессе работы поняли, насколько это интересно. Мы взяли эту тему, потому что топология довольно актуальная тема, что за последнее время данная наука всё более проникает в такие основные области человеческих знаний, как физика, химия, биология. Поэтому знание её основ становится значимым для технически образованного человека, живущего в современном мире.
Якутия - самый большой регион России, почти не освоенный людьми. Жители края долгое время находились в изоляции от других этносов, поэтому сумели сохранить самобытную культуру и религию. Мы решили показать топологию на примерах религиозных и народных предметов народа Саха.
Цель работы можно сформулировать как получение представления об одном из интереснейших и необычных разделов математики, а именно топологии и изучение топологических свойств некоторых объектов на примере самобытности народа Саха.
Для реализации цели были решены следующие задачи:
- разобраться в том, что изучает данная наука;
- изучить историю её возникновения;
- рассмотреть топологические свойства некоторых объектов;
- узнать о практическом применении топологии у народа Саха.
- показать примеры топологии на народных предметах народа Саха.
Многие не понимают принцип действия превращений в топологии, это не изучается в школе, но ученикам было бы интересно узнать про этот раздел математики.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Топология как наука и предпосылки её возникновения
В отличие от других разделов геометрии, где большое значение имеют соотношение длин, площадей, углов и других количественных характеристик объектов, топологию это всё не интересует, поскольку здесь изучаются иные, качественного свойства вопросы о геометрических структурах.
Давайте начнём постижение азов этой увлекательной науки. Если мы обратимся к литературным источникам, то можно найти следующее определение данного понятия.
Топология - раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгиб.
Поясним встречающееся здесь понятие «непрерывная деформация». Непрерывная деформация - это деформация фигуры, при которой не происходит разрывов (то есть нарушения целостности фигуры) или склеиваний (то есть отождествления её точек).
В основе каждого раздела математики лежит основная идея. Основной идеей топологии является идея непрерывности, то есть топология изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются при непрерывных преобразованиях.
Непрерывные преобразования характеризуются тем, что точки, расположенные «близко одна к другой» до преобразования, остаются такими и после того, как преобразование закончено. При топологических преобразованиях разрешается растягивать и изгибать объекты, но не разрешается их рвать и ломать.
Для наглядного представления определения топологии следует сказать, что с точки зрения данной науки такие объекты как чайная чашка и бублик неотличимы друг от друга. Именно поэтому в среде учёных существует крылатая фраза, которая гласит, что математик, занимающийся топологией - это человек, который не отличит бублик от чайной чашки. Данное утверждение справедливо, поскольку, сжимая и растягивая кусок резины, из которого изготовлены эти объекты, можно перейти от одного тела ко второму.
Совершим исторический экскурс и вернёмся в XVIII век, когда были заложены основы данной науки.
Одним из учёных, которые стояли у истоков зарождения этой науки является немецкий математик и механик XVIII века Леонард Эйлер. В 1752 году он доказал формулу Декарта, выражающую связь между числом вершин, ребер и граней простых многогранников:
b - e + f, где b - число вершин, е - число ребер, f - число граней.
Следующий вклад Эйлера в развитие топологии - это решение знаменитой задачи о мостах. Речь шла об острове на реке Преголь в Кёнигсберге (в том месте, где река разделяется на два рукава - Старый и Новый Преголь) и семи мостах, соединяющих остров с берегами (рис.2).
Необходимо было выяснить, можно ли обойти все семь мостов по непрерывному маршруту побывав на каждом только один раз и вернувшись в исходную точку. Эйлер заменил участки суши точками, а мосты - линиями. Полученную схему Эйлер назвал графом (рис. 3), точки - его вершинами, а линии - ребрами.
Граф
Вершины учёный разделил на чётные и нечётные в зависимости от того, какое число рёбер выходит из вершины. Эйлер доказал, что все рёбра графа можно обойти ровно по одному разу по непрерывному замкнутому маршруту, лишь тогда, когда граф содержит только чётные вершины.
Так как граф в задаче о кёнигсбергских мостах содержит только нечётные вершины, то требуемого маршрута прогулки не существует.
Данная задача иллюстрирует практическое применение понятия «уникурсальный граф», которое появилось в словаре топологии в XX веке. Граф называется уникурсальным, если его можно «нарисовать одним росчерком», т.е. пройти его весь непрерывным движением, не проходя одно и то же ребро дважды.
Таким образом, граф задачи о кёнигсбергских мостах является не уникурсальным и поэтому задача не имеет решения.
Термин «топология» впервые встречается в письме, который немецкий математик и физик, профессор Геттингенского университета, Иоганн Листинг написал в 1836 году своему школьному учителю Мюллеру. Общая топология, зародившаяся в XIX веке, окончательно оформилась в самостоятельную математическую дисциплину во второй половине XX века. В значительной степени этому способствовали труды академика П.С.Александрова.
Топологические свойства объектов
Топологию в научно-популярной литературе часто называют резиновой геометрией. Чтобы это понять, необходимо представить себе, что геометрический объект выполнен из резины и при этом обладает следующими свойствами: его можно сжимать, растягивать, закручивать (то есть подвергать всяческим видам деформации), но при этом нельзя разрывать и склеивать.
Например, маленький шарик можно надуть до размеров большого, затем превратить его в эллипс, потом - деформировать в гантель.
Процесс деформации объектов
Подобным образом можно поверхность шара превратить в поверхность куба, конуса и других фигур. В математике имеются свойства, которые не нарушаются ни при каких непрерывных деформациях. Это и есть топологические свойства. Изучением этих свойств занимается один из разделов топологии - общая топология.
Свойства, которые изучают в школьной (евклидовой) геометрии, не являются топологическими. Например, прямолинейность не топологическое свойство, поскольку прямую линию можно изогнуть, и она станет извилистой. Треугольность тоже не является топологическим свойством, так как его можно непрерывно деформировать в окружность.
Длины отрезков, величины углов, площади - все эти понятия изменяются при непрерывных преобразованиях. Примером топологического свойства является наличие «дырки» у тора (бублика). Причём важно, что дырка не является частью тора. Какую бы непрерывную деформацию не претерпел тор, дырка останется.
Односторонние поверхности
У каждого из нас есть представление о том, что такое "поверхность". Мы просто окружены различными поверхностями: поверхность листа бумаги, поверхность озера, поверхность земного шара...
Как правило, мы представляем поверхность с двумя сторонами: внешняя и внутренняя, лицевая и изнаночная и т.п. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Оказывается, что может.
В 1858 г. немецкий математик и астроном Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) открыл поверхность, которую позже стали называть "лист Мёбиуса". Согласно легенде, открыть Мёбиусу свой «лист» помогла горничная, которая неправильно сшила концы обычной ленты.
Лист Мёбиуса - простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки такой поверхности в другую можно, не пересекая края.
Бутылка Клейна - неориентируемая (односторонняя) поверхность, впервые описанная в 1882 году немецким математиком Феликсом Клейном. Тесно связана с проективной. Подобно ленте Мёбиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием. В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.
Практическое применение топологии
Когда говорят о топологии, то лист Мёбиуса это первое, что приходит в голову человеку знакомому с данным вопросом. Поэтому в сфере практического применения данной науки в различных отраслях человеческой деятельности чаще всего встречается использование именно этой фигуры.
А мы хотим на практике показать, как наши предки, не зная законов, свойств фигур и тел практически сотворяли топологические тела.
Итак, топология изучает то, что остается неизменным при деформациях. В данном случае неизменным остается количество «дырок» в предмете - она одна. Очень интересный случай - сфера с ручками. Кружка непрерывными деформациями переходит в бублик, а якутская посуда - кытыйа переходит в сферу.
Любая фигура гомеоморфна сфере с некоторым количеством ручек. Любой объемный предмет устроен как сфера с некоторым количеством ручек. Будь то очки, ложка, вилка (ложка=вилка), компьютерная мышь, человек.
Из традиционных ремесел в Якутии популярна резьба по кости. Местные умельцы создают целые произведения искусства из моржовых клыков или бивней мамонтов: республика хранит в ледниках огромный запас этого материала. Мастера вдохновляются бытовыми сценами, северной природой и устным народным творчеством.
Чороон - национальный якутский сосуд для потребления кумыса. Типичной формой является кубок на одной или трёх ножках. Традиционно изготавливается из дерева, преимущественно из берёзы, и украшается богатой геометрической резьбой. Резьба располагается в виде ярусов. Чем больше ярусов, тем почётнее кубок. В отдельных случаях чорон может инкрустироваться серебром или медными сплавами.
До прихода русских, среди якутов было распространено тенгрианство. Якуты считали себя детьми бога Тенгри. В тенгрианстве есть три мира: верхний, срединный и нижний миры, которые соединены гигантским деревом Аал Луук Мас. В верхнем мире живут айыы (ангелы), в срединном - люди, в нижнем - абасы (демоны).
Мировое Древо Аал Луук Мас является одним из центральных образов и в якутском олонхо, и в изобразительном искусстве. Из множества существующих сакральных значений Мирового дерева, почитаемых разными народами мира, в якутском олонхо и искусстве преобладает понятие его как древо жизни, древо плодородия и как центр Вселенной. Крона Аал Луук Мас символизирует Верхний мир, ствол - Срединный мир, корни - Подземный мир.
Ытык - якутский деревянный прибор для взбивания сливок. Как им пользоваться знает любой якут: берете его в ладошки и крутите вперед - назад. Таких приборов есть разного вида и формы, их изготовить очень просто и дёшево. И главное - он деревянный, не портит и не вредит посуде.
Обычно якуты готовят в камельке, традиционной печи. У народа Саха - это место считается священным. Здесь живет дух огня, который дарит людям тепло, связывает с другими домашними божествами. В камельке якуты пекут на открытом огне лепешки. В старину это блюдо готовили, когда семья переезжала из зимнего дома в летний балаган.
Ураса - тип старинного летнего жилища якутов, конусообразный шалаш из жердей, обтянутый берёстой. Считается, что ураса - это самая древняя форма якутских жилищ.
К концу XIX века якуты перестали возводить урасу в качестве летнего жилища. В настоящее время упрощённый вариант урасы возводят на народном якутском празднике Ысыах.
Традиционный музыкальный инструмент народа Саха называется хомус. Эта разновидность варгана известна более 5000 лет и используется в творчестве всех тюркских народов. Но именно в Якутии хомус получил статус священного - здесь на нем играют шаманы. По форме инструмент напоминает большой железный ключ, в центре которого прикреплен тонкий стальной язычок с крючком на конце.
Топология существует в четырех изменениях. Это дает ей возможность изучать объекты, которые мы не сможем просто увидеть. Это пространственные отношения, объекты которых объединяет пространство. Например: планеты, звезды, галактика или даже Вселенная.
Но если это так, почему в топологии предметы деформируются и остаются такими же, почему топологи изучают именно это? А не вселенную, например?
Мы живем в трех измерениях. В этой науке предметы деформируются и остаются по сути такими же, если обдумать эти факторы, то приходим к выводу, что объекты меняются для нас, но они не меняются, если посмотреть на них, например, в другом измерении, в том, которое неизвестно для нас.
Первое измерение - это ось Х. Объект - это прямая линия.
Второе измерение - ось Y, получится уже двухмерное изображение, например, квадрат или прямоугольник.
Третье измерение - ось Z, делает объект объемным. Так, квадрат становится кубом, а прямоугольник - параллелепипедом.
Четвертое измерение - время. В совокупности с тремя изменениями знание положения объекта во времени, позволяет определить его положение во Вселенной.
|
первое измерение - линия |
|
второе измерение - двухмерное изображение |
|
третье измерение - трехмерное изображение |
|
четвертое измерение - время. Якутский эпос так и остается из поколения в поколение, несмотря на время |
Заключение
В ходе выполнения работы мы познакомились с новой для нас областью математики - топологией. Рассмотрели некоторые из простейших понятий, используемых данной наукой и доступных для понимания без серьёзной математической подготовки.
Мы разобрали на простых примерах, что такое топология и более конкретно изучили этот раздел математики на наглядных примерах самобытности народа саха.
Поняв, как работает принцип топологии, мы убедились, что топология - важный аспект науки. Она важна для понимания устройства того, где мы живем - вселенной.
Таким образом, были успешно решены все задачи, поставленные в начале этой работы. Данное знакомство с областью математики в дальнейшем не будет столь поверхностным, что даёт основание для продолжения работы по мере накопления математического багажа.
Мы убедились, что топология применяется в самых различных сферах жизни, не только в науке. Данный раздел красив и очень сложен для понимания людей, но он помогает художникам создавать новые шедевры, усиленно вдохновляя их. Топология также помогает архитекторам строить здания, применяется в создании ювелирных украшений, элементов одежды. Везде. Топология повсюду. Нам лишь нужно присмотреться.
Список используемой литературы
- Математический энциклопедический словарь / Ю.В. Прохоров [и др.]. - М.: Издательство «Советская энциклопедия», 1988. - 340 с.
- Болтянский, В.Г. Наглядная топология / В.Г.Болтянский, В.А.Ефремович - М.: Наука, 1975. - 160 с.
- Старова, О.А. Топология / О.А.Старова // Математика. Всё для учителя. - 2013. - № 9. - с.28-34.
- Стюарт, Я. Топология / Я.Стюарт // Квант. - 1992. - № 7. - с. 28-30.
- Проект для одарённых детей: Алые паруса [Электронный ресурс]
- Режим доступа: http://nsportal.ru/ap/blog/nauchno-tehnicheskoe-tvorchestvo/list-myobiusa - дата доступа: 18.01.2017. - Прасолов, В.В. Наглядная топология / В.В.Прасолов. - М.: МЦНМО, 1995. - 110 с.
- Эббот, Э. Флатландия / Э.Эббот. - М.: Мир, 1976. - 130 с.