В процессе социальных изменений обострились проблемы развития математического образования, которые рассматриваются в контексте объявленной модернизации российской системы образования. И уже сегодня ни одна область человеческой деятельности не может обходиться без математики - как без конкретных математических знаний, так и интеллектуальных качеств, развивающихся в ходе овладения этим учебным предметом.
Математическое образование на современном этапе характеризуется вниманием к школьнику, к его возможностям и потребностям, к его самопознанию, саморазвитию, его отношению к природе, окружающим людям, к самому себе.
Одной из важнейших целей школьного математического образования является формирование у школьников умения строить математические модели простейших реальных процессов, изучать эти процессы по их математическим моделям, умение видеть общее в процессах, описываемых одной и той же математической моделью. При этом важны как алгоритмическая, так и эвристическая составляющие в деятельности учащихся, раскрытие их творческого потенциала.
Модель в самом широком смысле - это любой мысленный или знаковый образ моделируемого объекта (оригинала). В качестве модели могут выступать изображения, описания, схемы, чертежи, графики, уравнения, планы, карты, копии оригинала (уменьшенные или увеличенные), компьютерные программы и т.п. При этом следует помнить, что модель всегда является отображением оригинала, она в каком-либо отношении должна быть не только удобна для изучения свойств исследуемого объекта, но и позволяла бы перенести полученные при ее изучен знания на исходный объект.
Основными свойствами математических моделей являются адекватность и простота, указывающие на степень соответствия модели изучаемому объекту и возможности ее реализации. Процесс формулировки математической модели называется постановкой задачи.
Моделирование - это процесс построения моделей, а также изучения на их основе соответствующих явлений, процессов, систем объектов (оригиналов). Он заключается в том, что для исследования какого-либо явления или объекта выбирается или строится другой объект (модель), в каком-то отношении подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают, с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект. Моделирование применяется в тех случаях, когда по каким-либо причинам затруднительно или невозможно изучить оригинал в естественных условиях, когда необходимо облегчить процесс следования того или иного объекта.
В программе по математике важное место отводится развитию у учащихся правильных представлений о роли математического моделирования в научном познании и в практике. Для достижения этой цели нами разработан курс «Математическое моделирование».
Прежде всего учитель, который ведёт данный курс, напоминает, что с термином «модель» учащиеся часто встречаются в быту, на уроках физики, химии, географии. Учащиеся знакомятся с понятием модели, целями построения и свойствами моделей формами представления модели, моделированием, классификациями моделей и моделирования. Основное свойство каждой из моделей заключается в том, что она отражает самые существенные свойства своего оригинала. Математическая модель - это описание какого-либо реального процесса на языке математических понятий, формул и отношений. Математическая модель описывает зависимость между исходными данными и искомыми величинами. Учитель подчеркивает, что школьники часто встречаются с математическим моделированием, решая сюжетные задачи с помощью уравнений; приводит примеры задач и их математические модели.
Приведем пример одной из простейших математических моделей, используемых при решении задач в 5 классе.
Задача на расчёт пути: путешественник преодолел путь в 1200 км, при этом на корабле он проплыл в три раза больше километров, чем проехал на автомобиле, а на поезде преодолел путь в 2 раза длиннее, чем на корабле. Сколько километров пути преодолел путешественник на каждом из видов транспорта?
Продуктивность деятельности учащихся при решении задачи обуславливается его умением выбора нужных операций, приводящих к получению желаемого результата. Выбор операций обуславливается структурой задачи, а также сформированностью приемов умственной учебной деятельности учащихся. Из этого вытекает необходимость расчленения хода решения задачи на отдельные этапы, каждый из которых является определенной законченной частью решения задачи, дающей возможность осуществить операции следующего этапа.
Учитель разъясняет, что первый этап математического моделирования - этап формализации - заключается в переводе условия задачи на математический язык. При этом выделяются необходимые для решения данные, посредством математических соотношений описываются связи между ними.
Для решения предложенной задачи необходимо составить ее модель, то есть принять за х одну из величин. В данном случае - это расстояние, преодоленное им на автомобиле. В этом случае на корабле он преодолел расстояние в 3х км, а на поезде - 6х км.
Далее необходимо составить уравнение, которое и будет являться математической моделью к данной задаче:
х + 3х + 6х = 1200.
Приведём пример ещё одной задачи практического содержания.
Задача: Рассчитать необходимое количество автомобилей в таксопарке.
Для решения задачи нужно ввести следующие характеристики:
k - необходимое количество автомобилей такси;
b - время обслуживания пассажира одним такси;
М - время работы таксопарка;
N - количество заказов, поступивших за рабочий день.
В течение рабочего дня одним автомобилем можно обслужить М/b пассажиров. Значит, число автомобилей надо взять таким, чтобы (М/b) ∙ k = N. Полученное соотношение - математическая модель рассматриваемой задачи.
Следующий этап моделирования - внутримодельное решение. На этом этапе найдем из данного равенства искомое количество автомобилей: k = (N/М) ∙ b.
Третий этап математического моделирования - интерпретация, т.е. перевод полученного решения на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача. Чтобы в таксопарке свести к минимуму время ожидания пассажиром автомобиля, число автомобилей должно быть равным или большим полученного значения. Число k обычно выбирают таким, чтобы оно было ближайшим по величине целым, удовлетворяющим неравенству k ≥ (N/М) ∙ b.
Далее учитель обращает внимание учащихся на упрощающие допущения, сделанные при построении модели: в качестве b взято среднее время обслуживания пассажира одним автомобилем; но за рулём автомобиля сидят люди, выполняющие заказы разной продолжительностью времени, кроме того, ежедневно бывает разное количество заказов N. Различна и интенсивность потока заказов в разное время дня, т.е. число заказов, поступивших в среднем на один автомобиль за единицу времени. Для более точных, достоверных расчетов в полученной формуле надо вместо среднего значения N/М взять максимальное значение этой величины a=max(N/М).
Учитель подчеркивает, что любая математическая модель основана на упрощении, она не совпадает с конкретной реальной ситуацией, а является лишь ее приближенным описанием. Отсюда очевидна и некоторая погрешность результатов. Однако именно благодаря замене реального процесса соответствующей ему математической моделью появляется возможность воспользоваться математическими методами при его изучении.
Учащимся разъясняется, что ценность математического моделирования заключается еще и в том, что одна и та же модель может описывать разные ситуации, разные процессы реальной человеческой практики. Исследовав одну модель, результаты можно применить в другой ситуации.