Номограммы

Выполнил:
Першин Егор Викторович,
обучающийся 10 класса

Руководитель:
Першина Елена Петровна,
учитель математики и информатики

Введение

Многие ученики старших классов знакомы с таблицей В.М.Брадиса, знания которой открывает новые возможности. С её помощью можно легко определить нахождение тригонометрической функции любого угла, возвести числа в квадрат, извлечь квадратный корень, произвести точность вычислений. [2] Листая страницы таблицы, обнаружил интересные рисунки номограммы, с помощью которых решаются квадратные уравнения и уравнения вида . Что это: еще одна математическая загадка или факты, которые уже используются в различных отраслях. Геометрические изображения зависимостей между переменными, избавляющие от вычислений, известны давно, но о них знают не все. К ним можно отнести достаточно сложные построения, содержащие семейства линий и шкалы как изображения.

Разработка теории номографических построений началась в 19 веке. Первый, кто создал теорию построения прямолинейных сетчатых номограмм, был французский инженер - строитель Л.К.Лаланн в 1843 году. Основания общей теории номографических построений дал учёный - механик Морис Окань в 1884-1891 годах. В его же работах впервые встречается название номограмма. Первым в России вопросами номографии начал заниматься профессор технических наук Н.М.Герсеванов в 1906 - 1908 годах. Большая заслуга в деле развития теории номографии и организации номографирования инженерных расчётов принадлежит профессору Н.А.Глаголеву, возглавлявшему советскую номографическую школу.[3]

Изучив литературу по теме «Номограммы», пришёл к выводу, что их применение широко распространено во всех областях нашей жизни.

Цель работы: Использование номограмм в математике для решения уравнений.

Задачи:

• Изучить виды номограмм и применение их в математике.
• Показать возможности применения номограмм в жизни.

Актуальность темы заключается в демонстрации и применении математических знаний в практической деятельности человека.

Объект исследования: номограмма и её виды.

Практическая значимость исследовательской работы: знания по этой теме будут интересны тому, кто хочет знать о математике больше.

Основная часть

Номограмма (греческое) - графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывания линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул. [1] Александровский А.М. Математика в терминах.

Более простое определение: графическое изображение теоретических зависимостей, упрощающее практические расчеты. Глаголев Н.А.[3]

Номография - раздел математики, объединяющий теорию и практические методы построения номограмм - специальных чертежей, являющихся изображениями функциональных зависимостей. Особенность номограмм заключается в том, что каждый чертеж изображает заданную область изменения переменных. Каждое из значений переменных в этой области изображено на номограмме определенным геометрическим элементом (точкой или прямой). Изображения значения переменных, связанных функциональной зависимостью, находятся на номограмме в определенном соответствии, общем для номограмм одного и того же типа. Глаголев Н.А. Курс номографии. [3]

История создания номограмм относится к деятельности французского врача Ж.Пуше, который в 1795 году в своей книге «Линейная арифметика», описал операцию умножения. Эту дату можно считать временем возникновения номограммы. Затем появилась логарифмическая линейка Гунтера - это один из образцов номограммы.

Что же представляли собой первые номограммы? Первые номограммы - это чертежи, на которых были изображены пересекающиеся между собой сложные кривые и прямые линии. Победа и утверждение капитализма в Европе (конец XIX и начало XX века) способствовали развитию науки и техники. Технический прогресс в области материального производства неразрывно связан с прогрессом прикладных и точных наук, поэтому номограммы стали необходимы в строительстве. Требования к номограммам изменились, они уже стали представлять собой более простые чертежи, потому что сложные кривые были заменены на окружности. Преобразование до более простых чертежей относится к сороковым годам девятнадцатого столетия. Это открытие принадлежит французскому инженеру Лаллану, что позволило сэкономить время и труд. [6] К концу XIX века номограмма стала состоять из кривых и прямых по числу величин, входящих в формулу, примерно к этому времени на кривые стали наносить деления. В развитие номографии большой вклад был внесен французским инженером и математиком Оканем в 1884 году в своем труде «Новые способы графического вычисления», где взамен прежних номограмм, часто случайно найденных, математические номограммы приведены с доказательством. Само название номографии также было предложено Оканем.

Первым в России вопросами номографии занимался профессор, доктор технических наук Н.М.Герсенванов. Он применял новые математические методы в инженерных расчетах, сделал попытку применения математической логики для технических расчетов. Его труды оценило правительство. За разработку и внедрения новых методов в строительство в условиях макропористых грунтов (макропористые грунты, содержащие карбонаты кальция и проявляющие просадочные свойства при замачивании водой под нагрузкой.), учёный-механик Н.М.Герсенванов получил Сталинскую премию в 1948 году. Большая заслуга в развитии номографии и в организации первой номографической школы принадлежит советскому учёному Н.А.Глаголеву. Номограммы, которые были предложены им, применялись даже в военно-морском флоте и артиллерии. Им был разработан курс номографии на русском языке.

В настоящее время номография получила всеобщее признание во всем мире в книгах по разным специальностям. Она за последние годы проникает в различные отрасти науки и техники, существует большая база номографической литературы, специальные курсы читаются в технических ВУЗах. Но все же трудность в использовании номограмм еще существует, зачастую инженеры предпочитают пользоваться простой логарифмической линейкой. Возможно, преодоление боязни перед номограммами даст возможность сделать новые открытия в этой области. [1]

Номограммы различают по способу изображения значений переменных (точками или линиями) и по способу задания соответствия между изображениями переменных. Наиболее распространены следующие виды номограмм: транспарантные, сетчатые и из выравненных точек. [6]

Транспарантные номограммы.

В простейшем случае состоит из двух плоскостей: основной плоскости и транспаранта с изображениями на них переменных. Транспарант часто делается из прозрачного материала. Пример транспарантной номограммы - логарифмическая линейка (Рис.1.).

Логарифмическая линейка - аналоговое вычислительное устройство, позволяющее выполнять несколько математических операций, в том числе умножение и деление чисел, возведение в степень (чаще всего в квадрат и куб) и вычисление квадратных и кубических корней, вычисление логарифмов, вычисление тригонометрических и гиперболических функций и другие операции. Также, если разбить вычисление на три действия, то с помощью логарифмической линейки можно возводить числа в любую действительную степень и извлекать корень любой действительной степени.

Логарифмические линейки широко использовались для выполнения инженерных расчётов примерно до начала 1980-х годов, когда они были вытеснены калькуляторами.

Однако в начале XXI века логарифмические линейки получили второе рождение в наручных часах (Рис. 2.). Следуя моде, производители некоторых марок выпустили модели со встроенной логарифмической линейкой. Выполненной в виде вращающихся колец со шкалами вокруг циферблата. Их достоинство - можно сразу, в отличие от микрокалькулятора, получить информацию (например, таблицу расхода топлива на пройденное расстояние, перевода миль в километры, подсчёт пульса, определение скорости поезда и т.д.). [3]

Примеры применения транспарантной номограммы в математике. (Рис.3.) в простейшем случае состоит из двух плоских рисунков: основного (состоящего из трех числовых лучей с общим началом 0) и транспаранта (часто изготовленного из прозрачного материала, на котором изображены перпендикулярные прямые ХХʹ и УУʹ). Номограмма, для вычисления среднего геометрического двух чисел

Сетчатые номограммы. Для построения сетчатых номограмм (Рис.4.) из прямых линий применяются функциональные сетки, простейшими из которых являются логарифмическая и полулогарифмическая. Кроме прямой линии могут применяться и другие, так называемые разрешающие индексы номограммы: окружности (Годсель), произвольная кривая (Швердт), катеты чертёжного угольника (Сиглер) и т.д. [3]

Примеры применения сетчатой номограммы в математике. Для любого уравнения типа f(x,y)=z (Рис.5.). Они строятся в виде сетки взаимно перпендикулярных прямых по одному направлению в любом масштабе, откладываются значения - х, по другому - у. Давая - z поочередно значения z₁, z₂, ..., z_n, строят необходимое количество кривых, соответствующих уравнению f(x, y)=z_i. Зная x_k и y_k, строят точку А, по которой ищут z_k. Если А не попала ни на одну из кривых z₁, z₂, ..., z_n, то значение z_k берется по интерполяции. Если известны z_m и х_m то, очевидно, не представляет труда найти у_m.[5]

Номограмма из выравненных точек. Применяется для уравнений с тремя переменными используется три шкалы, которые построены так, что три точки, удовлетворяющие уравнению, лежат на одной прямой - отсюда и название типа номограммы. Именно с них началось развитие номографии - раздела математики, объединяющего теорию и практические методы построения номограмм (Рис.7.). [3]

Основным элементом номограммы является функциональная шкала, на которую нанесены только значения независимой переменной в некотором интервале. Деления, соответствующие значениям зависимой переменной, пропорциональные расстоянию от начала отсчета и имеющие известный масштаб, не наносятся как само собой разумеющиеся.

Методика построения этих номограмм основана на их математических свойствах и заключается в следующем:

• на расстоянии, приближенно равном длине шкал (для обеспечения максимальной точности отсчета), строят обе функциональные шкалы f₂(x) и f₃(y), выбирая масштаб шкал в зависимости от интервала изменения переменных х и у;
• положение функциональной шкалы f₁(z) определяют из условия равенства отношения расстояний до двух остальных шкал отношению масштабов m_x и m_y соответствующих шкал;
• начала отсчета всех трех шкал берут так, чтобы они лежали на одной прямой;
• масштаб m_z функциональной шкалы f₁(z) определяют из соотношения.

Примеры применения в математике этого способа (из выравненных точек). [5] Уравнения F(u,v,w)=0 состоит из трех линий обозначенных u,v,w, область изменения которых задается шкалами. Они построены так, что пометки (числа) из них, удовлетворяющие уравнению F(u,v,w)=0 лежат на одной прямой, откуда происходит и название номограмма из выравненных точек для вычисления среднего арифметического двух чисел (Рис.8.).

Номограмма для вычисления электрического сопротивления при параллельном включении (Рис.10.).

См. продолжение работы