Консультант:
Трушкина Т.П.,
ст. преподаватель кафедры естественнонаучного,
математического и технологического образования
ИРО Кузбасса
1. Введение
Основной государственный экзамен по математике (далее ОГЭ) - одно из важнейших испытаний для школьников. Экзамен требует не только знания математических формул и навыков, но и умения правильно решать задания. Несоблюдение правил оформления может привести к неправильному пониманию задачи и, как следствие, ошибкам в решении. Эти части содержат задания повышенного уровня сложности из различных разделов курса математики. В данном сборнике мы рассмотрим основные правила и рекомендации по решению задания №20 части 2 на ОГЭ по математике.
Задания 2 части направлены на проверку владения материалом на повышенном уровне. Их назначение - дифференцировать хорошо успевающих школьников по уровням подготовки, выявить наиболее подготовленную часть выпускников, как правило в дальнейшем составляющую контингент профильных классов.
Задания 2 части экзаменационной работы носят комплексный характер. Они позволяют проверить владение формально-оперативным аппаратом, способность к интеграции знаний из различных тем школьного курса, владение достаточно широким набором приемов и способов рассуждений, а также умение математически грамотно записать решение.
Требование к выполнению заданий с развернутым ответом заключаются в следующем:
- решение должно быть математическим грамотным и полным;
- должен быть понятен ход рассуждений;
- оформление должно обеспечивать выполнение указанных выше требований.
Важно понимать, что не следует требовать от учащихся слишком подробных комментариев (например, описание алгоритмов). Решение должно быть лаконичным с правильными выкладками, не содержать неверные утверждения.
2. Характеристика задания
Алгебраические выражения
Во второй части экзамена алгебраическое задание наиболее простое.
В этом номере требуется выполнить одно из предложенных заданий:
- сократите дробь;
- разложите на множители;
- упростите выражение;
- найдите значение выражения;
- какое из чисел больше.
Для успешного выполнения данного номера выпускник должен безупречно знать и выполнять тождественные преобразования выражений. Линия тождественных преобразований является одной из четырёх основных содержательных линий школьного курса алгебры (учение о числе, функции, уравнения и неравенства, тождественные преобразования).
Отдельной темой школьного курса математики линия тождественных преобразований не является, она изучается на протяжении всего курса арифметики, алгебры и начал анализа. Начиная с 5-6 классов производятся простейшие тождественные преобразования, которые опираются на законы и свойства арифметических действий. В курсе алгебры основной школы 7-9 классов сконцентрирована основная нагрузка по формированию умений и навыков выполнения тождественных преобразований. Это связано со значительным увеличением числа, а также с разнообразием совершаемых преобразований.
Осуществляется развитие культуры выполнения тождественных преобразований, а также, на основе закрепленных знаний свойств операций и алгоритмов их выполнения развивается культура вычислений. Высокий уровень выполнения тождественных преобразований проявляется в умении правильно обосновать преобразования, в умении проследить за изменением области определения в последовательной цепочке тождественных преобразований, в быстроте и безошибочности выполнения преобразований, в умении найти кратчайший путь решения к окончательному виду преобразований.
В каждой области знаний, которая использует математику, возникает потребность в замене одно выражение другим, для простоты и удобства в решении рассматриваемой задачи. Другими словами, появляется необходимость в выполнении тождественных преобразований.
На уроках математики, в пропедевтическом курсе, начинают отрабатываться навыки тождественных преобразований, такие как:
- приведение подобных слагаемых;
- раскрытие и заключение в скобки;
- вынесение за скобки общего множителя;
- основное свойство пропорции.
Изучается основное свойство дроби, сокращение дробей, приведение дробей к общему знаменателю, свойство пропорции.
В основной школе, на уроках алгебры, изучаем
- свойства степени с натуральным и целым показателем;
- формулы сокращённого умножения;
- свойства арифметического квадратного корня;
- способы разложения на множители.
Решение уравнений и систем уравнений задания №20 второй части ОГЭ по математики очень разнообразны и при их решении включают несколько способов, методов решений, которыми учащееся должны владеть:
- алгоритмами решения линейных, квадратных, дробно-рациональные уравнений и уравнений, содержащие квадратные корни;
- разложением на множители (разные способы);
- упрощением выражений;
- свойства квадратного корня;
- знать формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения, теорему Виета
- способами решения систем уравнений;
- арифметическими действами над числами.
Все вышеперечисленные умения и навыки учащиеся приобретают в основной школе с 5-9 кассы.
Содержание курса алгебры 7-9 класса:
Уравнения
Понятие уравнения и корня уравнения. Представление о равносильности уравнений. Область определения уравнения (область допустимых значений переменной).
Линейное уравнение и его корни
Решение линейных уравнений. Линейное уравнение с параметром. Количество корней линейного уравнения. Решение линейных уравнений с параметром.
Квадратное уравнение и его корни
Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения. Дискриминант квадратного уравнения. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Теорема, обратная теореме Виета. Решение квадратных уравнений: использование формулы для нахождения корней, графический метод решения, разложение на множители, подбор корней с использованием теоремы Виета. Количество корней квадратного уравнения в зависимости от его дискриминанта. Биквадратные уравнения. Уравнения, сводимые к линейным и квадратным. Квадратные уравнения с параметром.
Дробно-рациональные уравнения
Решение простейших дробно-линейных уравнений. Решение дробно-рациональных уравнений.
Методы решения уравнений: методы равносильных преобразований, метод замены переменной, графический метод. Использование свойств функций при решении уравнений.
Простейшие иррациональные уравнения вида 
.
Уравнения вида xn = a. Уравнения в целых числах.
Системы уравнений
Уравнение с двумя переменными. Линейное уравнение с двумя переменными. Прямая как графическая интерпретация линейного уравнения с двумя переменными.
Понятие системы уравнений. Решение системы уравнений.
Методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными: графический метод, метод сложения, метод подстановки.
Системы линейных уравнений с параметром.
За период обучения с 7-9 класса ученик научится:
- Решать основные виды рациональных уравнений с одной переменной, системы двух уравнений с двумя переменными.
- Понимать уравнение как важнейшую математическую модель для описания и изучения разнообразных реальных ситуаций, решать текстовые задачи алгебраическим методом;
- Применять графические представления для исследования уравнений, исследования и решения систем уравнений с двумя переменными;
Ученик получит возможность:
- Овладеть специальными приемами решения уравнений и систем уравнений; уверенно применять аппарат уравнений для решения разнообразных задач из математики, смежных предметов, практики;
- Применять графические представления для исследования уравнений, систем уравнений, содержащие буквенные коэффициенты.
Решение неравенств - это материал, который помогает выявить у экзаменуемого сразу несколько умений и навыков: умения решать уравнения, работать со знаком неравенства, оценить полученное решение с точки зрения постановки неравенства. Поэтому неравенства включены в ОГЭ (ГИА).
Для того чтобы научиться решать задания экзамена ОГЭ, где встречаются линейные неравенства и их системы, следует основательно знать теорию. А именно - основные понятия, обозначения и правила преобразования неравенств.