Сборник учебных задач по математики. 5-е, 8-е классы

Пояснительная записка

С 1 сентября 2022 года учащиеся 5-х классов вступили не просто на новую ступень образования, а отправились совершенно по новому пути обучения в рамках обновленных ФГОС. Решительно изменился не только программный материал по математике, предназначенный для изучения в 5-9 классах, сам подход к обучению стал совершенно другим. Нашим ученикам нужно стать не просто образованными, но и функционально грамотными выпускниками. Это значит, что ребятам нужно уметь ориентироваться в многообразном, стремительно изменяющемся мире; применять полученные знания и учебный опыт в разнообразных сферах жизни, а также быть готовыми и уметь построить свое самообразование в течение всей жизни. В связи с тем, что наряду с предметными встали на одном уровне конкретные личностные и метапредметные результаты обучения, изменились требования к уроку, учебнику и всей методической литературе. Структурной единицей урока стала учебная задача. Но, несмотря на важность и глобальность изменений в стандартах образования, внедрение их в школу затруднено отсутствием очень важного элемента - соответствующего учебника по математике и методической литературы. Поэтому учителя математики, работающие по обновленным ФГОС, сталкиваются с проблемой поиска и составления учебных задач, которых почти нет в имеющихся учебниках математики. Такие же трудности возникли и у меня самой. В связи с решением рассматриваемой проблемы, целью методической разработки стало составление учебных задач и оформление сборника для его использования на уроках математики.

Ожидаемый результат: по моему мнению, данная разработка дает возможность учителям не только использовать предлагаемые задачи на уроках математики, но и на их основе составить свои учебные задания. Тем учителям, которые еще не начали работать по обновленным ФГОС, разработка поможет частично понять, что такое учебная задача. Я была бы очень рада, если бы моя работа оказалась полезной. Не считаю свои составленные задачи совершенством, но это моя попытка перейти от теории к практике ФГОС.

Содержание разработки

1. Учебные задачи по математике для 5-х классов

№ 1. Тема «Сравнение натуральных чисел»

Предметные результаты	Метапредметные результаты	Основные виды деятельности обучающихся
Сравнивать и упорядочивать числа	Базовые логические умения: Выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в фактах, наблюдениях и утверждениях. Универсальные регулятивные действия: Самоконтроль: оценивать соответствие результата деятельности поставленной цели и условиям	Предлагать и обсуждать способы упорядочивания чисел

Задача: Укажите следующие два числа в каждом ряду натуральных чисел. Какие из рядов являются бесконечными?

а) 1; 3; 5; 7; …; …

б) 13; 10; 8; …;…

в) 24; 12; 6; 2;…;…

г) 1; 4; 2; 5; …;…

Рекомендации: Данную задачу можно рассматривать в теме «Ряд натуральных чисел» или «Сравнение натуральных чисел» на уроках обобщения и систематизации. Сначала задачу предлагаю предоставить детям для самостоятельного обдумывания и решения (или в парной работе), затем проверить фронтально, но предоставляя самим ребятам оценить правильность рассуждений и найденного ответа своих одноклассников. Учитель может помочь соответствующим направляющим вопросом в случае затруднений. Как вариант, можно продолжить работу над задачей, попросив детей придумать 2 своих ряда, один из которых был бы конечным, а другой бесконечным. Затем в парах можно обменяться тетрадками и, установив закономерность, дописать два следующих числа в каждом ряду соседа по парте. Но интерес ребят будет еще выше, если попросить их в перемену записать свои ряды на отдельный общий лист и повесить его на доске, предоставив желающим разгадывать ряды друг друга. Если есть желание и возможность, можно организовать интеллектуальное состязание на текущий учебный день по решению записанных задач с выполнением на переменах. Но в любом случае сначала учителю нужно проверить правильность записанных ребятами рядов чисел до того, как предоставить ученикам их решать.

№ 2. Тема «Умножение натуральных чисел»

Предметные результаты	Личностные результаты	Метапредметные результаты	Основные виды деятельности обучающихся
1) Решать текстовые задачи арифметическим способом. 2) Решать задачи, содержащие зависимости, связывающие величины: цена, количество, стоимость. 3) Использовать краткие записи, таблицы при решении задач. 4) Интерпретировать представленные данные, использовать данные при решении задач.	Эстетическое воспитание: Способность к эмоциональному и эстетическому восприятию математических задач Личностные результаты, обеспечивающие адаптацию обучающихся к изменяющимся условиям социальной и природной среды: Умение приобретать в совместной деятельности новые навыки, знания и компетенции из опыта других	Базовые исследовательские действия: Самостоятельно устанавливать искомое и данное, аргументировать свою позицию. Работа с информацией: выявлять недостаточность и избыточность данных, необходимых для решения задачи Универсальные регулятивные действия: Самоконтроль: оценивать соответствие результата деятельности поставленной цели и условиям	1) Решать текстовые задачи арифметическим способом 2) Использовать зависимости между величинами: цена, количество, стоимость 3) Анализировать и осмысливать текст задачи, переформулировать условие, извлекать необходимые данные 4) Приводить , разбирать, оценивать записи решений текстовых задач

Задача: Кот Матроскин продал 34 литра молока по 52 рубля за литр и 12 кг творога за 130 рублей за килограмм. Задайте вопросы к задаче, чтобы она решалась:

а) одним действием;

б) тремя действиями.

в) Дополните условие задачи, чтобы она решилась с помощью четырех действий?

Запишите решение к каждому поставленному вами вопросу.

Рекомендации: Обсуждение и решение данной задачи предлагаю осуществлять в групповой работе учеников, в качестве итога работы над задачами в теме «Умножение натуральных чисел». В группе по моему мнению должно быть 3-4 ребенка. Задача предполагает серьезную умственную работу учащихся, поэтому время нужно предоставить достаточное, не менее 20-25 минут. Необходимо инструктировать ребят о том, что им нужно найти как можно больше вопросов для а) и б), под в) желательно дополнить задачу не только одним способом и в каждом случае записать решение задачи. Каждой группе обязательно проверить правильность составленных задач. Рекомендовать учащимся разделить между собой работу в группе. Например, под а) двое составляют вопросы к задаче, третий их решает, 4-й проверяет правильность поставленного вопроса и решения задачи, в случае ошибки исправляет её, под б) и в) могут поменяться ролями. Чтобы ребятам было удобнее и с меньшей тратой времени оформлять решение задач, необходимо раздать группам по несколько листов с задачей без вопроса и отдельно один лист с незаполненной таблицей (Цена. Количество. Стоимость) для записи условия. На этих листах (на каждом отдельно) ребята дописывают к задаче вопрос и дополняют её (для выполнения задачи под буквой «в»), записывают решение и ответ. На листочке с таблицей ученики записывают условие. По окончании работы нужно пригласить к доске по 1 ученику от каждой группы для представления по 1 составленному вопросу. Например, начинаем с вопросов под

а) сначала 1-й ученик расскажет свой вопрос, затем ребята представители из других групп могут назвать свой вопрос, если он отличается от первого; после этого другой ученик представляет свой вопрос под

б) остальные могут дополнить; также отвечают под

в) Начинать спрашивать нужно с наиболее «слабых групп».

Все свои листочки с задачами группы сдают на проверку учителю. Для домашней работы ребятам можно дать аналогично составленную задачу на движение. Таким образом в творческой работе ребята повторят разные типы задач и незаметно активно поработают над развитием своего мышления, а также над приобретением УУД.

№ 3. Тема «Прямоугольник»

Предметные результаты	Личностные результаты	Метапредметные результаты	Основные виды деятельности обучающихся
Решать несложные задачи на нахождение геометрических величин в практических ситуациях	Трудовое воспитание: установка на активное участие в решении практических задач математической направленности	Базовые исследовательские действия: Самостоятельно устанавливать искомое и данное, аргументировать свою позицию. Универсальные регулятивные действия: Самоконтроль: оценивать соответствие результата деятельности поставленной цели и условиям	1) Вычислять периметр прямоугольника 2) критически оценивать полученный результат, осуществлять самоконтроль

Задача: Денис решил сделать маме ко Дню рождения подарок своими руками. Для этого он вырезал дощечку в форме прямоугольника со сторонами 17 см и 15 см, выжег на ней картину и задумался, хватит ли ему имеющейся у него деревянной рейки длиной 67 см, чтобы сделать рамку. Разрешите недоумения Дениса.

Рекомендации: Данную задачу предлагаю использовать на уроке закрепления учебного материала. Смотря на уровень подготовленности класса, задачу можно предоставить ученикам для самостоятельного решения с последующей проверкой у доски или сначала выяснить, как понимают ситуацию в задаче дети, и в случае затруднений через систему вопросов направить их к правильному пути.

№ 4. Тема «Представление о дроби как способе записи части величины"

Предметные результаты	Личностные результаты	Метапредметные результаты	Основные виды деятельности обучающихся
Понимать и правильно употреблять термины, связанные с натуральными числами, обыкновенными дробями	Ценности научного познания: овладением языком математики и математической культурой как средством познания мира	Базовые исследовательские действия: Формулировать вопросы, фиксирующие проблему, самостоятельно устанавливать искомое и данное, аргументировать свою позицию.	1)Читать, записывать обыкновенные дроби 2) критически оценивать полученный результат, осуществлять самоконтроль

Задача:

Маша и Юля - любители птиц,
Маша-голубок, а Юля - синиц.
Не жалко им для пернатых друзей
Мягкой булочки своей!
Поровну Маша свою разделила
И 4-х голубей накормила.
Юля сдобу свою раскрошила синичкам,
Поровну трем желтогрудым певичкам.
И задумались девчата о том,
Как им выразить числом:
«Сколько досталось еды каждой птице:
Милой голубке, славной синице?»
Дети! Дайте нужный им совет
Как правильный найти ответ!

Рекомендации: Эту задачу рекомендую использовать на уроке изучения нового материала для этапа включения в проблемную ситуацию, в которой для ребят возникнет вопрос «Как записать часть числа? или «Что получится в результате действий: 1 : 4; 1 : 3?». В результате знакомства с обыкновенными дробями в ходе урока необходимо вернуться к решению данной задачи.

№ 5. Тема: «Площадь прямоугольника»

Предметные результаты	Личностные результаты	Метапредметные результаты	Основные виды деятельности обучающихся
1) Решать несложные задачи на нахождение геометрических величин в практических ситуациях. 2) Решать задачи, содержащие зависимости, связывающие величины:, цена, количество, стоимость; используя арифметические действия, оценку, прикидку; пользоваться единицами измерения соответствующих величин. 3) Извлекать информацию, представленную в таблицах, интерпретировать представленные данные; использовать данные при решении задач.	Трудовое воспитание: установкой на активное участие в решении практических задач математической направленности, осознанием важности математического образования на протяжении всей жизни для успешной профессиональной деятельности и развитием необходимых умений	Работа с информацией: 1) выявлять недостаточность и избыточность информации, данных, необходимых для решения задачи; 2) выбирать, анализировать, систематизировать и интерпретировать информацию различных видов и форм представления. Универсальные коммуникативные действия: воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и целями общения; ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных и письменных текстах, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный результат;	1) Использовать зависимости между величинами: цена, количество, стоимость 2) Решать задачи из реальной жизни 3) Вычислять площадь прямоугольника 4) Анализировать и осмысливать текст задачи, извлекать необходимые данные, строить логическую цепочку рассуждений 5) Критически оценивать полученный результат, осуществлять самоконтроль.

Задача: Семья Петровых решила покрыть лаком паркетные полы в своей квартире. Для качественной обработки необходимо двукратное нанесение лака на поверхность паркета. Расход лака на 1 м2 при первом нанесении - 110 г, при втором - 70 г. Данные о размерах комнат в квартире Петровых размещены в таблице 1. Информация о весе и стоимости лака размещены в таблице 2.

Таблица 1

	Длина, м	Ширина, м	Покрытие пола
Детская комната	4	4	паркет
Зал	6	5	паркет
Кухня	4	3	линолеум
Спальня	4	3	паркет
Кладовка	3	1	линолеум

Таблица 2

№	Название лака	Вес,кг	Стоимость, руб
1	Лазурь	2	1482
2	Блеск	3	2190

• 1 вопрос: Какова суммарная площадь комнат с паркетным полом?
• 2 вопрос: Сколько всего потребуется лака для ремонта паркетных полов?
• 3 вопрос: В какую сумму обойдется семье Петровых наиболее дешевый вариант всего купленного лака?
• 4 вопрос: На сколько полных м2 хватит оставшегося лака? Какими могут быть размеры комнаты такой площади? Какая комната это могла бы быть в другой квартире?

Рекомендации: Данная задача относится к уровню «рассуждение», поэтому предполагает глубокое погружение учащегося в мыслительную деятельность. Чтобы не потерять возможности серьезной умственной работы для каждого ребенка, считаю, что работу над задачей лучше осуществлять в мини- группах (по 2 человека) с примерно одинаковым уровнем развития мышления. «Сильные» пары смогут организовать совместную работу самостоятельно и довести её до конца, а «слабым» может оказать помощь учитель, косвенно направляя ребят к нахождении своей ошибки или правильного пути решения. Также при необходимости можно привлечь ребят, закончивших работу над задачей и правильно выполнивших её к инструктированию какой- либо группы, но «прямая» помощь даже «слабым» ученикам не желательна. Наиболее трудный - 3 вопрос. Для ответа на него ребятам требуется владеть прикидкой, уметь делить с остатком, хорошо логически мыслить, то есть максимально приближаться к реальной жизненной ситуации. Можно заготовить листочки с системой вопросов, помогающих сформировать план действий для ответов на 3 и 4 вопросы и раздать парам, имеющим трудности в изучении математики, например: «Какой лак дешевле? Сколько банок такого лака потребуется? и т.д.

По окончании работы, ребят нужно подвести к оценке своей деятельности, то есть к рефлексии. Пусть подумают о том, что затруднило решение задачи, что помогло; что нужно было знать и уметь для успешной работы; может ли им встретится в жизни ситуация, подобная описанной в тексте задачи.

2. Учебная задача по геометрии для 8-х классов

Тема: «Теорема о площади параллелограмма»

Предметные результаты	Личностные результаты	Метапредметные результаты	Основные виды деятельности обучающихся
Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором). Применять полученные умения в практических задачах.	Личностные результаты, обеспечивающие адаптацию обучающегося к изменяющимся условиям социальной и природной среды: Чувствовать необходимость в формировании новых знаний, в том числе формулировать идеи, гипотезы об объектах и явлениях, осознавать дефициты собственных знаний	Базовые логические действия: выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учётом самостоятельно выделенных критериев); проводить самостоятельно несложные доказательства математических фактов, выстраивать аргументацию, обосновывать собственные рассуждения;	1) Выводить формулу площади параллелограмма 2) Решать задачи на площадь с практическим содержанием

Задача: Огород семьи Петровых имеет форму выпуклого 4-угольника. Дорожки, которыми соединены противоположные углы участка, имеют разную длину, но пересекаются в середине каждой из них. Семье Петровых необходимо после сбора урожая вспахать землю участка трактором. Цена за вспашку 1 м2 земли - 34 руб. Какова будет стоимость вспашки всего участка, если дорожки также будут вспаханы. Известно, что длина одной стороны участка равна 15 м, а расстояние от нее до противоположной стороны - 12 м.

Рекомендации: Данную задачу предлагаю использовать для создания проблемной ситуации на уроке изучения нового материала. Выполнив чертеж по условию задачи, учащиеся выясняют, что данный 4-угольник является параллелограммом. Тем самым, они повторяют признаки параллелограмма. Далее перед ребятами встает проблема: для решения задачи необходимо вычислить площадь параллелограмма, а как это сделать, им неизвестно. Задачу вместе с детьми переводим в геометрическую, выполняя еще раз чертеж, выделяя условие и вопрос. Далее, смотря по уровню класса, можно осуществлять поиск решения задачи совместно, или в группах.

Использованные материалы

1. Примерная рабочая программа по математике ООО.
2. Материалы (презентации) Академии Министерства просвещения России в рамках профессиональной программы повышения квалификации «Реализация требований обновленных ФГОС НОО, ФГОС ООО в работе учителя».
3. Математика: 5 класс: учебник для учащихся образовательных организаций / А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский. М.С.Якир. - М.: Вентана-Граф, 2020.
4. Геометрия. 7-9 классы:учебник для общеобразовательных организаций / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. - М.:Просвещение, 2017.
5. Виват, математика! Занимательные задания и упражнения. 5 класс/ авт.-сост. Н.Е.Кордина. - Волгоград: Учитель, 2019.