Одной из задач, стоящей перед учителем математики, осуществляющим формирование у школьников группы компетентности саморазвития и самообразования, является отбор средств и методов педагогического воздействия на них с целью организации эффективной самообразовательной деятельности.
Самостоятельная деятельность обучающихся по приобретению новых знаний по собственной инициативе, сверх программы школьного предмета, возможна лишь при наличии серьезного интереса к предмету, увлечения рассматриваемыми проблемами, переходящего в познавательную потребность приобретать сверх программные знания в соответствии с индивидуальными интересами и потребностями.
С помощью анкет, в ходе личных бесед можно установить, почему тот или иной школьник посещает занятия кружка или факультатива. В младшем возрасте, как правило, это интерес к математике как к любимому учебному предмету, в среднем и старшем - это либо интерес к математике как к науке, либо профессионально-ориентационный, связанный с предполагаемой послешкольной деятельностью.
Для учителя полученные данные нужны для эффективного применения индивидуального подхода к школьникам во внеурочной работе, корректировки своей работы, направленной на развитие интереса обучающихся в ходе внеурочных занятий. В противном случае первоначальный интерес к математике, не получая подкрепления и развития, гаснет и ученики прекращают посещать внеурочные мероприятия. Более того, они перестают самостоятельно заниматься математикой дома, фактически прекращают самообучение.
Интерес к математике формируется с помощью не только математических игр и занимательных задач, рассмотрение софизмов, разгадывания головоломок и т.п., хотя и они необходимы, но и логической занимательностью самого математического материала: проблемный изложением, постановкой гипотез, рассмотрением различных путей решения проблемной ситуации, решением задач или доказательством теорем различными методами и другими разработанными в методике математики приемами формирования познавательного интереса к математике.
В стенгазете математического кружка 9 класса было предложено самостоятельно найти способы решения задачи: «Вычислить расстояние от точки М (3;2) до прямой 3х+4у+1=0».
Обучающиеся нашли разные способы решения.
Способ 1. Воспользоваться готовой формулой, найденной школьником в учебнике по аналитической геометрии для ВУЗов: 
, где Ах+Ву+С=0 - уравнение прямой, а х0 и у0 - координаты заданной точки.
Способ 2. На прямой 3х-4у+1=0 способом подбора найти две точки, например, А(1;1) и В(-3;-2). В треугольнике АВМ вычислить длины сторон и по формуле Герона площадь. Затем найти высоту, проведенную к стороне АВ. Это и будет искомое расстояние.
Способ 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно данной прямой. Затем вычислить координаты х0 и у0 точки пересечения этих прямых. Расстояние от точки (3;2) до точки (х0;у0) и будет искомым.
Разбор предложенных способов проходил на расширенной заседании математического кружка с привлечением обучающихся из группы факультатива и приглашением желающих и вызвал неподдельный интерес у присутствующих. Необходимые вычисления проводили с помощью микрокалькулятора.
Самообучение школьника невозможно без его умения и желания работать с математической книгой.
Подбору математической литературы для самообучения учителю приходится уделять большое внимание. Установлено, что обучающиеся по-разному работают над книгой: одни стараются побыстрее пройти теоретический материал и приступить к решению задач, другие больше внимания уделяют, наоборот, теоретическим вопросам. Первым не нравятся многословные учебники и пособия, они предпочитают краткие дедуктивные доказательства; вторые предпочитают книги с подробными выкладками, пояснениями, индуктивными выводами, примерами и т.п.
Я хочу рассказать, как использую работу в группах для продуктивной творческой деятельности на примере фрагмента урока по теме «Окружность» (9 класс). Класс разбивается на 5 групп. Перед всем классом ставится проблема - условие задачи. Обучающиеся получают опорный теоретический материал, который можно использовать при решении задачи.
Задача. Центром окружности служит вершина прямого угла треугольника ABC, радиусом - катет BC. Известно, что угол A равен 40°. Окружность пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Определить градусную меру дуги BD.
Теоретический материал:
- Сумма углов треугольника 180°.
- Сумма двух острых углов 90°.
- Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается.
- Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается.
- Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
- Величина любого острого угла равнобедренного прямоугольного треугольника равна 45°.
- Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
- Сумма двух смежных углов 180°.
- Вписанный угол, опирающийся на полуокружность прямой. (Диаметр)
- Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее и стягиваемые дуги пополам.
- Угол составленный касательной и хордой измеряется половиной дуги, заключенной внутри его.
- Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
- Две прямые перпендикулярные третьей - параллельны.
- Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
- Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
Первой группе предлагается применить теоретические вопросы 2,9,4.
Второй группе 2,5,1,3.
Третьей группе 6,7,1,4.
Четвертой группе 4,8,1.
Пятой группе 12,4,15.
Решение
Первая группа:
Вторая группа:
Третья группа:
Четвертая группа:
Пятая группа:
После истечения времени, отведенного на решение задачи, группы предоставляют свои ответы. Эти ответы сверяются и выставляется оценка.
Далее задается домашнее задание: решить эту же задачу, используя теоретические вопросы 13,14,11. и используя 12,4,10.
С учетом избирательного отношения школьников к математическим книгам можно рекомендовать для самообучения не одно учебное пособие, а несколько, чтобы они сами выбирали то, которое им больше подходит по их индивидуальным склонностям и способностям. Правда учителю в этом случае труднее контролировать их самостоятельную работу над книгой и проводить консультации. Зато самообучение школьников будет эффективным.
Большое значение для стимулирования самообучения имеет организация обзоров изученной обучающимися математической литературы, ее обсуждение на конференциях или в журналах. Обычно делается это так. Объявляется тема для обзора рекомендуется литература. Список литературы помещается на стенде. Там же указывается расписание консультаций. Дается время для подготовки, назначается место и время проведения.
Обзор литературы делают 2-3 школьника, они же отвечают на вопросы. Впрочем, отвечать могут и присутствующие обучающиеся и учитель, а также дополнять или поправлять докладчиков. При этом возникают споры, выдвигаются гипотезы, находятся новые решения и т.д.
Приведу темы некоторых обзоров.
Тема 1. Координаты и задание фигур на плоскости (9-10 класс).
Литература.
1) Александров А.Д. Аналитическое задание фигур на плоскости, Просвещение, 2009 г;
2) Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. Векторы и координаты в решении задач школьного курса стереометрии, М.: Илекса; НИИ Школьных технологий; Ставрополь: Сервисшкола, 2008 г.
Тема 2. Задачи на максимум и минимум (10 класс).
Литература.
1) Актершев С.П. Задачи на максимум и минимум, Издательство: BHV, 2004 г.
2) Виноградов И.М. Элементы высшей математики, Издательство: Высш. шк.,1999 г.
Тема 3. Применение математики при решении математических задач (11 класс).
Литература.
1) Маковецкий П.В. Смотри в корень! - М.: Наука, 1984 г.
2) Попов Ю.П., Пухначев Ю.В. Математика в обзорах. - М.: Знание, 1989 г.
Для самостоятельного обучения очень важно воспитать у обучающихся потребность в самостоятельном поиске знаний и их приложении. Поэтому одной из задач является приобщение школьников к решению задач по своей инициативе, сверх школьной программы. Одним из средств является математическая олимпиада. Школьники убеждаются на собственном опыте, что, чем больше разнообразных задач они самостоятельно решают, тем значительнее их успехи не только в школьной, но и в городской олимпиаде. Это служит дополнительным стимулом самообучения.
Одним из условий самообучения является умение школьника планировать свою самостоятельную внеурочную познавательную деятельность по приобретению знаний. Учитель помогает ему в составлении индивидуальных планов самообучения и в их реализации. Если в 5-7 классах самообучение школьников проводится обычно по плану, подсказанному учителем, в 8-9 классах уже при совместных обсуждениях в индивидуальных или групповых беседах и консультациях, то в 10-11 классах эти планы составляются самим учеником. Лишь в некоторых случаях он прибегает к совету учителя или руководствуется его рекомендациями.
Так, в одной из групп факультатива 11-ого класса обучающимся было предложено уточнить свои индивидуальные планы самообучения на учебный год. В ходе индивидуальных бесед учитель установил, что школьники планировали изучение научной и научно-популярной математической литературы, посещение математического кружка школьников-страшеклассников при пединституте и математического лектория при политехническом университете, решение задач из сборников задач различных математических олимпиад (отечественных и зарубежных). Большое место в планах отводилось самостоятельной работе по подготовке к поступлению в ВУЗ: изучению пособий по математики для поступающих в ВУЗ и решению конкурсных задач, публикуемых в «Кванте», обучению на заочно-подготовительных курсах в избранный или родственный ВУЗ и т.д..
Выяснив планы обучающихся, учитель осуществлял индивидуально групповое педагогическое руководство самообучением школьников, которое проводилось в следующих направлениях:
- корректирование (уточнение, детализация) индивидуальных планов самообучения;
- подбор учебной, научно-популярной и научной литературы по математике для самостоятельного обучения;
- более конкретное ознакомл6ние каждого обучающегося с предлагаемой дальнейшей деятельностью и уточнение места и значение математических знаний в этой деятельности;
- проведение индивидуальных и групповых консультаций по вопросам самообучения;
- оказание практической помощи обучающимся, готовящимся к поступлению в ВУЗы, где от абитуриентов требуется более углубленная математическая подготовка (МГУ, МФТИ, МИФИ и другие институты).
Чтобы педагогическое руководство самообучением школьников было эффективным, целесообразно осуществлять определенную дифференциацию, которая по сути будет индивидуально-групповой. Это обусловлено тем, что обучающиеся по их познавательным интересам и практическим потребностям, которые они хотят удовлетворить, занимаясь самообразованием, можно разделить на условные группы.
К первой группе можно отнести обучающихся с ярко выраженной интеллектуальной потребностью в углубленном изучении математики, обусловленной стержневым познавательным интересом в области математики. Предполагаемая послешкольная деятельность их связана серьезным изучением математики либо на математических факультетах университетах, либо в технических ВУЗах с углубленным изучением математики.
Во вторую группу целесообразно включить школьников, основные познавательные интересы которых находятся в области физики, техники, в естественнонаучной или производственной сфере, а углубленное изучение математики вызывается потребностями послешкольной деятельности (например, обучением в технических ВУЗах общеинженерных профилей, на естественных факультетах университетов, в техникумах и профтехучилищах по специальностям, связанным с электроникой, робототехникой и другой современной техникой).
Третью группу составляют школьники, познавательные интересы которых находятся в областях, не требующих углубленных математических знаний. Занятия математикой во внеурочное время у них обусловлено не потребностями в дальнейшей деятельности, а исключительно увлечением математикой, возникшим на уроках, любовью к математике как учебному предмету и сфере приложения интеллектуальных сил.
И наконец, в отдельную четвертую группу целесообразно объединить учащихся, познавательные интересы которых еще не сформировались, характер дальнейшей деятельности не определился, а внеурочные занятия математикой обусловлены различными, часто случайными мотивами.
Включение школьников в ту или иную группу учитель осуществляет по результатам индивидуальных бесед с обучающимися и их родителями, а также с помощью анкетирования.
Контроль за самообучением школьников можно осуществлять различными способами. Наиболее эффективный - через конкурсы по решению задач и различные математические состязания, в том числе и межпредметного содержания. Конкурс желательно проводить в несколько заочных туров и заключительный очный. Решения задач участники конкурсов могут давать любые, но за каждый способ решения одной и той же задачи очки начисляются отдельно. Это поощряет поиски новых оригинальных путей решения задач, использование теоретического материала из различных рекомендованных учителем по определенной теме математических книг.
В качестве примера приведу задачи одного из туров заочного конкурса по решению задач в связи с самостоятельной работой школьников над темой «Метод координат».
- Между морскими портами А и В регулярно курсируют теплоходы одного и того же номерного рейса, отправляясь ежедневно в полдень из одного порта и прибывая ровно в полдень через 7 суток в другой порт. Стоянка в порту - сутки. Сколько теплоходов своего рейса встретит команда одного из них на пути от А до В? Каково наименьшее число теплоходов, необходимых для беcперебойного обеспечения расписания движения?
- Найдите геометрическое место середин всех хорд окружности, проходящих через заданную внутри её точку.
- Найдите геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки М на прямые, проходящие через точку К.
- Механизм представляет собой равнобедренный треугольник СОК, в котором равные стороны ОС и ОК являются упругими (несжимаемыми и нерастяжимыми) стержнями, а сторона КС- резиновый(равномерно растяжимый) шнур. Какую линию опишет середина стороны КС, если сторону ОК оставить неподвижной, а сторону ОС вращать вокруг точки О?
Условия задач помещаются на стенде. Там же указываются конкурсные требования, сроки сдачи письменных работ, место и время обсуждения представленных решений.
Об эффективности математического самообучения учитель может составить себе представление по многим критериям. Приведу некоторые из них: а) повышение количества обучающихся, изучающих дополнительную литературу; б) смещение стержневого познавательного интереса школьников в сторону математики; в) массовое применение в самостоятельных, контрольных и зачётных работах, при решении конкурсных и олимпиадных задач математических знаний, полученных в результате самообучения; г) широкое участие в различных формах математического образования в системе вне школьного обучения: в заочной математической школе при МГУ, на заочных подготовительных курсах для поступающих в ВУЗы, в очных олимпиадах, проводимых на местах многими ВУЗами (физтехом, МИФИ и др.).
Такая информация поможет учителю своевременно вносить коррективы в свою работу по организации самообучения обучающихся, способствовать повышению самостоятельности и творческой активности школьников для получения сверхпрограммных математических знаний в соответствии с их индивидуальными интересами, потребностями, планами дальнейшей деятельности.