В школе дети изучают много предметов, и не всегда проявляется взаимосвязь между ними. Но физика и математика логически очень тесно связаны друг с другом, и многие темы можно рассматривать параллельно, как на уроках физики, так и на уроках математики. Одним из таких примеров является тема «Векторы. Действия с векторами». Интегрированный урок по этой теме был разработан и несколько раз проведен в разных параллелях нашей школы, в том числе, в открытом формате с приглашением учителей района. Урок проводится в 10 классе, одновременно учителем физики и математики, по времени занимает 2 академических часа.
Ход урока
Векторы - мощный инструмент математики и физики. На языке векторов формулируются основные законы механики и электродинамики. Чтобы понимать физику, нужно научиться работать с векторами. В физике, как и в математике, вектор - это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, перемещение, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность электрического поля и вектор магнитной индукции.
Сообщение обучающегося по истории появления векторов.
Вектор является одним из фундаментальных понятий современной математики, несмотря на то, что это довольно новое математическое понятие. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а также в технике.
Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел (Гаусс, 1831), а окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса (1839-1903), который в 1901 году опубликовал обширный учебник по векторному анализу.
Сам термин «вектор» впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805-1865) в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Гамильтону принадлежит и термин «скаляр», он определил в качестве операций над новыми объектами скалярное и векторное произведение.
Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.
Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением. Например, некоторые физические величины, такие, как сила, скорость, ускорение и др., характеризуются не только числовым значением, но и направлением. В связи с этим указанные физические величины удобно изображать направленными отрезками.
Многие физические величины, например сила, перемещение материальной точки, скорость, характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами (или коротко векторами).
При изучении электрических и магнитных явлений появляются новые примеры векторных величин. Электрическое поле, создаваемое в пространстве зарядами, характеризуется в каждой точке пространства вектором напряженности электрического поля.
Учитель математики:
Вспомним основные сведения, которые мы знаем о векторах.
Расстояние между началом и концом вектора называется длиной или модулем вектора. Длина вектора обозначается 
или 
.
Длина нулевого вектора считается равной нулю.
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Задание: Определите длины векторов на рисунке.
Вспомним понятие проекции вектора на оси координат.
Проекция вектора на ось - это отрезок, соединяющий проекцию начала вектора и проекцию его конца. Проекция вектора - скалярная величина.
Знаки проекций
- Проекция вектора положительна, если от проекции начала вектора к проекции его конца надо двигаться по направлению оси.
- Проекция вектора отрицательна, если от проекции начала вектора к проекции его конца надо двигаться в направлении, противоположном направлению оси.
- Проекция вектора равна нулю, если вектор перпендикулярен оси координат.
Задание: Определите знаки проекций векторов на рисунке:
Векторы можно складывать и вычитать. Вспомним правила сложения и вычитания векторов:
Учитель физики: О движении тела мы судим по изменению его положения, т.е. по изменению координаты с течением времени.
Очевидно, что должна существовать связь между перемещением тела и его координатами:
Отсюда получаем уравнения движения тела:
Практическая часть
Решим задачи:
1. Тело переместилось из точки с координатами х0 = 1 м, y0 = 4 м в точку с координатами х1 = 5 м, у1 = 1 м. Найдите длину вектора перемещения тела и его проекции на оси координат.
2. Самолет должен приземлиться в пункте А, лежащем в 300 км к юго-западу от аэродрома вылета, но предварительно он должен сбросить груз на аэродром В, лежащий в 400 км к юго-востоку от аэродрома вылета. Чему равен модуль перемещения АВ?
3. Пункты А и В находятся на расстоянии 1080 км друг от друга. Самолет летит из пункта А в пункт В со скоростью 405 км/ч относительно воздуха. Сколько времени понадобится на полет, если на трассе полета непрерывно дует сильный ветер со скоростью 162 км/ч.
Рассмотрите случаи:
- Ветер дует по направлению движения самолета;
- Ветер дует против движения самолета;
- Ветер дует под прямым углом к траектории полета.
4. На тело, находящееся на горизонтальной плоскости, действуют три горизонтальные силы (см. рисунок, вид сверху). Каков модуль равнодействующей этих сил, если F1 = 1 H (Ответ дайте в ньютонах и округлите до десятых.)
5. На рисунке представлены три вектора сил, лежащих в одной плоскости и приложенных к одной точке. Масштаб рисунка таков, что сторона одного квадрата сетки соответствует модулю силы 1 H. Определите модуль вектора равнодействующей трех векторов сил. (Ответ дайте в ньютонах.)
6. На рисунке представлены четыре вектора сил. Модуль вектора первой силы равен 3 Н. Чему равен модуль равнодействущей всех векторов? (Ответ дайте в ньютонах.)
7. На рисунке показаны силы (в заданном масштабе), действующие на материальную точку. Чему равен модуль равнодействующей силы? (Ответ дайте в ньютонах и округлите до десятых.)
Вывод: Векторы - мощный инструмент математики и физики. На языке векторов формулируются основные законы механики и электродинамики. Чтобы понимать физику, нужно научиться работать с векторами. В физике, как и в математике, вектор - это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, перемещение, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность электрического поля и вектор магнитной индукции.
Литература
- Учебник физики «Физика. 10 класс» Б.Б.Буховцев, Г.Я.Мякишев, Н.Н.Сотский.
- Учебник математики «Алгебра и начала математического анализа», А.Г.Мордкович и др.
- Образовательный портал для подготовки к экзаменам «СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ».
- ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений», открытый банк заданий ЕГЭ.