Выполнил:
Крупнов В.Е.,
ученик 9 класса
Руководитель:
Никишина Т.А.,
учитель физики
Введение
С колебаниями мы встречаемся на каждом шагу. Например, детали различных машин, совершающие колебательные движения, качание веток деревьев, волны на воде, колебания воздуха, когда мы говорим.
Характерная особенность колебаний, которая отличает их от других явлений, состоит в том, что колебательные движения периодически повторяются через определенные промежутки времени.
Оказывается, существуют колебания не только в одной, но и в двух плоскостях. К таким колебаниям во взаимно-перпендикулярных плоскостях относятся фигуры Лиссажу. Я решил, что смогу сам разобраться в теории этих колебаний, к тому же фигуры Лиссажу напрямую связаны с колебаниями, которые мы изучали на уроках физики. Таким образом я углублю свои знания.
Цель работы: Изучение способов наблюдения фигур Лиссажу.
Задачи:
- Изучить и проанализировать теоретический материал по данной теме.
- Провести экспериментальные исследования по наблюдению фигур Лиссажу
- Ознакомить одноклассников с исследованиями по теме «Фигуры Лиссажу»
Объект исследования - взаимно-перпендикулярные гармонические колебания
Предмет исследования - форма фигур Лиссажу.
Гипотеза исследования - форма фигур Лиссажу связана с соотношениями между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний.
Методы исследования:
- Теоретические исследования.
- Экспериментальные исследования.
- Наблюдение, обобщение, анализ.
Практическая значимость: данный материал можно использовать на уроках физики, на внеурочных занятиях и факультативах по физике.
Глава 1. Теоретические исследования
1. Гармонические колебания
Частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания, в которых колеблющаяся физическая величина x изменяется с течением времени по закону
x = А sin (ω t + φ)
где A, ω и φ - постоянные величины, причем A больше 0, φ больше 0.
A - амплитуда колебаний, которая равна наибольшему абсолютному значению колеблющейся физической величины x. Выражение ω t + φ = Ф называется фазой колебаний и определяет значение x в данный момент времени. В момент начала отсчета времени (t = 0) фаза равна начальной фазе φ. Кривую, которая является графиком функции вида x = А sin (ω t + φ) называют синусоидой.
2. Фигуры Лиссажу
Фигуры Лиссажу - это замкнутые линии, которые прочерчивает точка, совершающая одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Вид фигур зависит от соотношения между амплитудами, периодами (частотами) и фазами обоих колебаний.
Рассмотрим сложение гармонических колебаний во взаимно-перпендикулярных направлениях одинаковой частоты. Пусть точка одновременно колеблется вдоль осей координат OX и OY по законам: x = A sin (ωt+φ1) и y = В sin (ωt+φ2), где x и y - проекции смещения точки на осях X и Y. Рассмотрим случаи:
1) φ=0 (разность фаз колебаний равна нулю). Движение точки по осям х и y описывается уравнениями x=A sin ωt и y= В sin ωt. Если исключить из этих выражений время, то получим уравнение траектории результирующего колебания:
x/y = A/В или y = A/В *x.
Это уравнение прямой линии (рис. 1а).
2) φ = п (разность фаз слагаемых колебаний равна половине периода). Тогда x = A sin ωt, y = - В sin ωt.
Значит x/y = -A/В или y= -A/В *x (рис. 1б).
Коэффициент A/В определяет наклон этой линии по отношению к выбранным осям координат (рис.1).
Рис. 1
На графике изображены отрезки прямых, вдоль которых колеблется точка (туда-сюда) по прямой траектории.
3) φ = п/2 (разность фаз равна четверти периода). Движение точки описывается уравнениями x = A sin ωt, y = В sin (ωt+ п/2) = В cos ωt, или х/A = sin ωt, y/B = cos ωt.
Отсюда получаем уравнение траектории: x2 / A2 + y2 / B2 = 1.
Данное уравнение является уравнением эллипса. Значит, при разности фаз равной четверти периода (φ = п/2), траектория результирующего колебания - эллипс (рис.2). Если амплитуды колебаний одинаковы (частный случай), то траектория представляет собой окружность (рис.3).
4) φ = 3п/4 (разность фаз равна ¾ периода), то движение точки описывается уравнениями x = A sin ωt, y = - В cos ωt.
Отсюда получаем уравнение траектории: x2 / A2 + y2 / B2 = 1.
Данное уравнение является уравнением эллипса, т.е. движение точки происходит по эллипсу.
Можно сделать вывод: при равенстве обоих частот (простейший случай) фигуры представляют собой эллипсы, которые при φ=0 или φ=п вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз п/2 и равенстве амплитуд превращаются в окружность. Если периоды обоих колебаний неточно совпадают, то разность фаз всё время меняется, вследствие чего эллипс всё время деформируется.
Если периоды (частоты) существенно различны, то фигуры Лиссажу не наблюдаются. Оказывается, если периоды относятся как целые числа, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в то же положение - получаются фигуры Лиссажу более сложной формы.
В таблице 1 представлены фигуры Лиссажу для колебаний одинаковой амплитуды с различными соотношениями периодов Т1:Т2 и различной разностью фаз (φ1 - φ2).
Таблица 1
1.3. Жюль Антуан Лиссажу
Жюль Антуа́н Лиссажу́ (4.03.1822 - 24.06.1880) - французский физик и математик, член-корреспондент Парижской Академии наук (1879). Родился 4 марта 1822 года в Версале. Учился в лицее Гоша́ (Версаль). Стал профессором в лицее Луи, в 1850 году представил диссертацию о вибрирующей решётке. При работе с камертонами придумал оптический способ для сравнения их колебаний, а в 1857 году изобрел оптический компаратор (прибор для точного сравнения линейных мер, с целью установления французской метрической системы). Жюль Антуан Лиссажу работал над созданием системы оптического телеграфа (устройство для передачи информации на дальние расстояния при помощи световых сигналов). В 1855 году разработал оптический метод исследования сложения колебаний при помощи так называемых «фигур Лиссажу».
1.4. Применение фигур Лиссажу
Жюль Антуан Лиссажу создал метод точной настройки камертонов и музыкальных инструментов. Зная частоту одного камертона и наблюдая фигуры от сложения колебаний, можно определить или настроить частоту второго камертона. В Парижской консерватории в целях ускорения реформы звукоряда, Лиссажу учредил специальный отдел и применил свой метод для государственной поверки камертонов и большинства производимых во Франции музыкальных инструментов. В дальнейшем последователи Лиссажу усовершенствовали прибор, снабдив его электрическими соленоидами для того, чтобы камертоны звучали постоянно. С развитием электромагнетизма, к концу XIX века, метод нашел широкое применение в электро- и радиотехнике. Для изучения неизвестных колебаний использовали световые осциллоскопы (прообраз осциллографов), в которых перпендикулярные колебания сердечников двух соленоидов управляли световым лучом, направленным на фотопластинку. В настоящее время основы метода фигур Лиссажу заложены в программные алгоритмы обработки сигналов.
Также фигуры Лиссажу применяются в современной технике для сравнения частот.
Например, если подать на входы осциллографа «X» и «Y» сигналы близких частот, то на экране можно увидеть фигуры Лиссажу (рис.4).
Рис. 4
Фигуры Лиссажу используются на развлекательных мероприятиях (дискотеках, лазер-шоу и т.д.), для моделирования высокотехнологичного оборудования в научно-фантастических телешоу и фильмах.
Глава 2. Экспериментальные исследования
Опыт 1. Наблюдение фигур Лиссажу с помощью сыпучего вещества (манка)
Материалы: нитка, воронка, ткань, скотч, шаровой кран.
Ход работы
Возьмем нитку, сложим ее пополам, а к середине привяжем другую нитку. К концу второй нитки прикрепим воронку так, чтобы вертикальная нить подвеса была достаточно длинной. За оба конца сложенной пополам нитки подвесим маятник на гвоздиках в дверной проем (рис.5).
Рис. 5
Насыпем в воронку манку, перекрыв её краном. Приведем маятник в колебательное движение путем отведения его немного на себя и вправо, откроем кран. Отпустив маятник, сможем наблюдать получающиеся в результате его колебаний фигуры Лиссажу. Меняя соотношение длин вертикальной и наклонной нитей подвеса (положение зажима ниток), получим разные фигуры (рис.6, рис.7).
Мне достаточно много времени пришлось потратить на то, чтобы правильно выбрать положение, с которого запускать маятник. У меня получились настоящие фигуры Лиссажу! В ходе эксперимента я выяснил:
1) более или менее правильная траектория получается только в том случае, когда нет сильных затуханий. Колебания маятника с достаточно большим объемом и малой массой груза быстро затухают, поэтому увидеть изменение направления колебаний маятника нельзя;
2) точками закрепления и линией отвеса я строго зафиксировал первоначальную плоскость. Поэтому с самого начала маятник был отклонен так, что он не лежит в этой плоскости.
3) если отклонять маятник строго перпендикулярно плоскости подвеса, то он должен совершать колебания в одной плоскости, перпендикулярной плоскости подвеса, но он выходит из первоначальной плоскости. Это происходит из-за составляющей силы натяжения, которая перпендикулярна первоначальной плоскости. Так как сила натяжения не постоянна, меняется и ее перпендикулярная составляющая. Отклоняясь в противоположную сторону, маятник натягивает другую из закрепленных нитей и появляется сила, действующая в другом направлении. Поэтому, как показывает опыт, и возникает движение по двум взаимно перпендикулярным направлениям.
Опыт 2. Получение фигур Лиссажу с помощью лазерной указки.
Материалы: лазерная указка Beifa Lazer Pointer 702-12, самодельная установка, экран.
Техника безопасности при работе с лазерной указкой.
Работа с лазером требует максимальной аккуратности и соблюдения правил техники безопасности.
- Воздействие лазерного луча на сетчатку может привести к нарушению зрения, поэтому нужно избегать попадания луча в глаз.
- Не светить в глаза людей и животных.
- Не направлять на транспортные средства.
- Не давать лазер в руки детям.
Ход работы
Для наблюдения фигур Лиссажу с помощью лазерной указки я изготовил установку (Рис.8) из пластикового ведерка из-под майонеза. В донышке ведерка я закрепил динамик от звуковой колонки (вырезаем дно и на шурупах закрепляем динамик). На ведерко я натянул мембрану, в качестве которой был использован воздушный шарик (можно использовать резиновую перчатку). При помощи двухстороннего скотча на мембране я закрепил легкое плоское зеркальце примерно между центром и краем ведерка. Чтобы установка никуда не «убежала» от вибраций, нужно ее поставить на мягкую ткань. Лазер закрепляем на штативе резинкой (Рис. 9). Луч лазера направляем на зеркало, чтобы он отразился и попал на экран. На смартфон я загрузил программу звукового генератора (Рис. 10), вырабатывающего сигнал на трех частотах. С помощью приложения звуковой генератор настраивал на определенную частоту и выводил на динамик.
Если две частоты отличаются, то мы на экране будем получать фигуры Лиссажу, которые получаются при совершении точкой гармонических колебаний в разных направлениях. Увеличивая громкость, можно менять амплитуду рисунка по одному из направлений. Некоторые фигуры выглядели как трехмерные и вращались вокруг оси (рис.11).
Рис. 11. Фигуры Лиссажу
Заключение
В ходе исследований я выяснил, какие колебания называются гармоническими, что такое фигуры Лиссажу, а также способы их получения. Я собрал установки для получения фигур с помощью сыпучего вещества и лазерной указки.
Основные выводы
- Изучив литературу по данной теме, я узнал, что вид фигур Лиссажу зависит от соотношения между амплитудами обоих колебаний, периодами (частотами) и фазами. При равенстве обоих периодов фигуры Лиссажу представляют собой эллипсы, которые при φ=0 или φ=π становятся прямыми, а при φ=π/2 и равенстве амплитуд превращаются в окружность. Если периоды обоих колебаний не совпадают точно, то эллипс непрерывно деформируется, так как φ всё время меняется. Фигуры Лиссажу не наблюдаются, если эллипс деформируется быстро. Это происходит при различных периодах колебаний. Фигуры Лиссажу более сложной формы получаются, если периоды относятся как целые числа, так как движущаяся точка возвращается в то же положение через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов. При этом число касаний фигуры со сторонами прямоугольника, в который она вписывается, даёт отношение периодов обоих колебаний.
- Проведенные эксперименты подтвердили гипотезу о том, что форма фигур Лиссажу связана с соотношениями между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний.
- Я познакомил одноклассников с результатами своих экспериментов по теме «Фигуры Лиссажу».
- Я убедился в том, что физика наука экспериментальная. Мои исследования можно использовать на уроках физики, а также на внеурочных занятиях.
Список используемых источников информации: