Введение
В развитии геометрии важное значение имело применение алгебры к решению геометрических задач, которое со временем переросло в отдельную науку - аналитическую геометрию. Координатно-векторный метод помогает упростить решение задачи, избежав представления сложных геометрических конфигураций.
Прямоугольными координатами пользовались еще до начала нашей эры. Древнегреческий математик Аполлоний Пергский мог определить с помощью них кривые: параболу, гиперболу и эллипс. Координатами пользовались и в средние века, определяя положение светил на небе, нужное место на поверхности Земли. Прямоугольную сетку использовали художники эпохи Возрождения.
Применять координаты в математике впервые стали Пьер Ферма и Рене Декарт. В 1637 г. Декарт издал трактат «Рассуждение о методе» и изложил в нем метод прямолинейных координат, ввел удобную алгебраическую символику, предложил способы построения касательных и нормалей к плоским алгебраическим кривым. Пьер Ферма раньше и более последовательно, чем Декарт, разработал метод координат, а также вывел уравнение прямой и линий второго порядка.
Термин «вектор» впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона в работах по построению числовых систем. Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному анализу современный вид.
Координатно-векторный метод актуален на сегодняшний день, т.к. находит свое применение в разных областях науки и общественной жизни. Метод координат лежит в основе механики, геодезии, астрономии, используется в медицине, экономике, географии, информатике. Вектор используется в физике для характеристики физических величин. Его изучению уделяют внимание как в школьной программе, так и в таких разделах высшей математики, как «Линейная алгебра», «Функциональный анализ» и др. Рассматриваются прямоугольная, полярная, аффинная, сферическая, цилиндрическая, и другие системы координат. В работе я рассмотрела прямоугольную систему координат.
Координатно-векторный метод соединяет в себе метод координат и векторный метод. В координатном методе целесообразно знакомиться с прямоугольной системой координат, способами нахождения и задания координат точки на плоскости и в пространстве. В векторном методе должны рассматриваться понятия вектора и связанные с ним определения, теоремы и свойства. Объединив координатный и векторный метод, можно вывести необходимые формулы и найти удобный способ решения любой геометрической задачи.
Объект исследования - координатно-векторный метод в элементарной математике.
Предмет исследования - методы и приемы решения задач по теме «Координатно-векторный метод».
Цель исследования - систематизация теоретического материала, связанного с координатно-векторным методом и его применение к решению геометрических задач.
Глава 1. Теоретические основы координатно-векторного метода
Векторный метод
Векторный метод может быть использован при решении широкого класса геометрических задач. Для решения задач, касающихся: взаимного расположения двух прямых, принадлежности трех точек одной прямой, вычисления отношения отрезков параллельных прямых, требуются лишь операции сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число. Операция скалярного умножения двух векторов (в сочетании с предыдущими операциями) позволяет вычислять длины отрезков и величины углов, а значит, находить расстояния, площади и объемы геометрических фигур.
Координатный метод
Координатный метод является естественным продолжением векторного метода, то есть вектор пространства есть упорядоченная тройка действительных чисел (декартовых прямоугольных координат вектора в ортонормированном базисе).
Рациональное расположение фигуры относительно системы координат (некоторые вершины многогранника находятся на координатных осях), позволяет при решении задач упростить вычисления.