1. Введение
Актуальность темы. На современном этапе все большее количество учащихся не может считать устно, и все чаще на помощь им приходят калькуляторы. Устный счет на уроках математики особенно актуален, так как повышает скорость вычислительной работы, что ценно, а главное - развивает мышление. Вычислительные навыки необходимы как в учении, так и в практической жизни каждого человека. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике, химии и т.д. нельзя решить, не обладая элементарными способами вычислений. Серьёзный шаг в жизни каждого выпускника - Единый государственный экзамен (ЕГЭ). Развитие вычислительных умений и наличие навыков устного счета - залог успешной его сдачи. В наш век новых технологий и развития компьютерной техники разговор об устном счете может показаться неуместным, однако и по сей день гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить в уме вычисления вызывает удивление.
Цель: привлечь внимание и познавательный интерес учащихся к устному счёту.
Задачи:
- Исследовать, применяют ли школьники приемы быстрого счета;
- Изучить приемы устного счета;
- Показать необходимость применения приёмов быстрого счёта для упрощения вычислений;
- Систематизировать материал о приёмах, способствующих формированию устных вычислительных навыков.
Методы исследования: анкетирование, анализ (статистическая обработка данных), работа с источниками информации, практическая работа, наблюдения, изучение приёмов на наглядных примерах.
2. Основная часть
2.1. Сбор и статистическая обработка данных
Умеете ли вы считать? На данный вопрос многие люди ответят, что для этого, особого искусства не требуется. И будет прав. Но вопрос - как считать? Можно считать на калькуляторе, можно считать столбиком в тетради, а можно считать устно, используя приемы быстрого счета. Из моих одноклассников мало кто умеет считать быстро устно, и мне захотелось выяснить, а знают ли они приемы быстрого счета, если нет, то помочь им освоить эти приемы, с этой целью составить для них памятку с приемами быстрого счета.
Для начала, я провела анкетирование среди учащихся 6-х классов и учащихся 10-11 классов. Были предложены следующие вопросы:
- Зачем нужно уметь считать?
- При изучении, каких школьных предметов требуется быстрый и правильный счет?
- Любите ли вы устный счёт?
- Быстро ли вы считаете устно?
- Знали ли вы приёмы быстрого счёта?
- Хотели бы научиться быстро считать устно?
По результатам анкетирования видно, что шестиклассники любят устный счет и быстрее считают. Старшеклассники же предпочитают калькулятор, что недопустимо на ЕГЭ. К сожалению, мало ребят знают приемы устного счета и почти все хотели бы научиться быстро, считать.
2.2. Устный счёт. Если углубиться в историю
Я посмотрела в словаре, что же такое - устный счет?
Устный счёт - математические вычисления, осуществляемые человеком без помощи дополнительных устройств (компьютер, калькулятор, счеты и т.п.) и часто без приспособлений ( ручка, карандаш, бумага и т.п.).
Если углубиться в историю, можно заметить,что и в прошлые века устный счет был одним из главных компонентов урока.
Никто не знает, как впервые появилось число, как первобытный человек начал считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, ловил рыбу, научился делать каменный топор и нож, и ему приходилось считать различные предметы, с которыми он встречался в повседневной жизни. Постепенно возникало необходимость отвечать на жизненно важные вопросы: поскольку плодов достанется каждому, чтобы хватило всем, сколько расходовать сегодня, чтобы оставить про запас; сколько нужно сделать ножей и т.п. Таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять.
Для счета люди использовали пальцы рук, ног. Ведь и маленькие дети тоже учатся считать по пальцам. Однако этот способ годился только в пределах 20.
Выход нашелся: считать на пальцах до 10, а затем начинать сначала, отдельно подсчитывая количество десятков. Система счисления на основе десяти возникла как естественное развитие пальцевого счета.
При помощи пальцев рук люди научились не только считать большие числа, но и выполнять действия сложения и вычитания.
Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления - особенно последнее. «Умноженье - мое мученье, а с делением - беда», - говорили в старину. Тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления - приемы один другого запутаннее, твердо запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.
В книге В.Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1914) изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще (способы), скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках». Наш современный способ умножения описан там под названием «шахматного». Был также и очень интересный, точный, легкий, но громоздкий способ «галерой» или «лодкой», названный так в силу того, что при делении чисел этим способом получается фигура, похожая на лодку или галеру. У нас такой способ употреблялся до середины XVIII века. На протяжении своей книги в 640 страниц Леонтий Магницкий («Арифметика» - старинный русский учебник математики, которую Ломоносов называл «вратами своей учености») пользуется исключительно способом «галеры», не употребляя, впрочем, этого названия.
Упоминаются такие способы, как «загибанием», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником» и многие многие другие. Многие такие приемы для умножения чисел долгие и требуют обязательной проверки.
2.3. Феномен особых способностей в устном счёте
Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие учёные, в частности, Андре Ампер и Карл Гаусс. Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.
До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте. Иногда они устраивали показательные соревнования между собой. Известными российскими «суперсчетчиками» являются Арон Чиквашвили, Давид Гольдштейн, Юрий Горный, зарубежными: Борислав Гаджански, Вильям Клайн, Томас Фулер и другие.
Арон Чиквашвили - «чудо-счётчик». В Ванском районе Грузии живет Арон Чиквашвили. Он свободно манипулирует в уме многозначными числами. Как-то друзья решили проверить возможности чудо-счетчика. Задание было суровым: сколько слов и букв скажет диктор, комментирующий второй тайм футбольного матча «Спартак» (Москва) - «Динамо» (Тбилиси). Одновременно был включен магнитофон. Ответ последовал, как только диктор сказал последнее слово: 17 427 букв, 1835 слов. На проверку ушло пять часов. Ответ оказался правильным.
Владимир Кутюков - «человек-календарь». За считанные секунды, проведя в уме сотни операций, Владимир Кутюков способен сообщить, что 1 января 180 года было пятницей. Он тут же ответит на вопрос, сколько секунд прошло со времени смерти Нерона до падения Константинополя или каким днем будет 13 октября 28448723 года... И все это с учетом високосных лет, смены календаря в 1582 году и т.п. трудностей, в том числе и недесятичных соотношений (неделя в семь дней, сутки в 24 часа, час в 60 минут).
Уникальные способности устного календарного исчисления, которые проявил инженер из Йошкар-Олы, подтверждены протоколом проверки, проведенной 18 мая 1992 года в опытно-конструкторском бюро приборов контроля и автоматики марийской столицы.
А.В.Некрасов - «человек-компьютер». Слесарь из Липецка А.В.Некрасов умеет в уме извлекать корни степени от двух до тысячи из чисел, состоящих из... нескольких сотен цифр. Перед проведением счета он готовится (сосредоточивается) в течение нескольких десятков минут. При этом он начинает раскачивать головой. Затем просит показать ленту с цифрами, пристально вглядывается в них и по прошествии 20 секунд, глядя в пространство, начинает диктовать ответ. Пять первых цифр он называет правильно, а шестая является результатом округления последующих цифр.
Некрасов пояснил: числа ответа являются мысленному взору «в виде цифр в шарах». Опыты подтверждают, что он владеет телепатией, телекинезом.
Хотя некоторые специалисты уверяли, что дело во врождённых способностях, другие аргументированно доказывали обратное: «дело не только и не столько в каких-то исключительных, "феноменальных" способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления» и охотно раскрывали эти законы.
Пожалуй, единственная научно обоснованная и достаточно подробно разработанная система резкого повышения быстроты устного счета создана была в годы второй мировой войны цюрихским профессором математики Я.Трахтенбергом. Она известна под названием "Системы быстрого счета". История ее создания необычная. В 1941 году гитлеровцы бросили Трахтенберга в концлагерь. Чтобы уцелеть в нечеловеческих условиях и сохранить нормальной свою психику, Трахтенберг начал разрабатывать принципы ускоренного счета. За четыре страшных года пребывания в концлагере профессору удалось создать стройную систему ускоренного обучения детей и взрослых основам быстрого счета. После войны Трахтенберг создал и возглавил Цюрихский математический институт, получивший мировую известность.
2.4. Приемы быстрого счета
Изучив литературу по данной теме [1], [2], [3], [4], [5], мною был сделан отбор из множества приемов быстрого счета, я обратила внимание на способы быстрого умножения и деления, которые просты в понимании и применении для любого ученика. Эти приемы я и включила в памятку, которая будет полезна для учащихся 5-6-х классов.
1) Умножение на 4, 8, 16 и т.д.
Чтобы число умножить на 4, 8, 16 его последовательно удваивают.
213 · 8 = (213 · 2) · 4= (426 · 2) · 2 = 852 · 2= 1704.
2) Умножение на 5; 50; 0,5; 25; 2,5; 0,25; 125; 12,5; 1,25; 0,125
Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2.
138 · 5 = (138 · 10) : 2 = 1380 : 2 = 690.
Чтобы умножить число на 50, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 2.
87 · 50 = (87 · 100) : 2 = 4350.
Чтобы умножить число на 0,5, нужно разделить на 2.
360 · 0,5 = 360 : 2 = 180.
Чтобы умножить число на 25, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 4.
348 · 25 = 34800 : 4 = 8700.
Чтобы умножить число на 2,5, нужно умножить его на 10 и полученное произведение разделить на 4.
96 · 2,5 = 960 : 4 = 240.
Чтобы умножить число на 0,25, нужно разделить его на 4.
196 · 0,25 = 196 : 4 = 49.
Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8.
32 · 125 = 32 : 8 · 1000 = 4000.
Чтобы умножить число на 12,5, нужно умножить его на 100 и разделить на 8.
24 · 12,5 = 24 : 8 · 100 = 300.
Чтобы умножить число на 1,25, нужно умножить его на 10 и разделить на 8.
64 · 1,25 = 64 : 8 · 10 = 80.
Чтобы умножить число на 0,125, нужно разделить его на 8.
16,8 · 0,125 = 16,8 : 8 = 2,1
Если множитель не делится нацело на 2, 4 или на 8, то деление производится с остатком. Затем частное умножают соответственно на 10, 100 или 1000, а остаток - на 5, 25 или 125.
1) 53 · 5 = 26 · 10 + 1 · 5 = 265 (53 : 2 = 26 и 1 в остатке);
2) 43 · 25 = 10 · 100 + 3 · 5 = 1075 (43 : 4 = 10 и 3 в остатке);
3) 66 · 125 = 8 · 1000 + 2 · 125 = 8250 (66 : 8 = 8 и 2 в остатке).
3) Умножение на 1,5 и на 15
Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину. Чтобы умножить число на 15, нужно исходное число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения.
1) 24 · 1,5 = 24 + 12 = 36;
2) 129 · 15 = 1290 + 645 = 1935.
4) Умножение на 11
Следует "раздвинуть" цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.
1) 34 · 11 = 374, т.к. 3 + 4 =7, семерку помещаем между тройкой и четверкой,
2) 68 · 11 = 748, т.к. 6 + 8 = 14, четверку помещаем между семеркой (шестерка плюс перенесенная единица) и восьмеркой.
5) Умножение двузначного числа на 101 и на 10101
Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе.
1) 57 · 101 = 5757.
2) 89 · 10101 = 898989.
6) Умножение на 9, 99 и 999
К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель.
1) 286 · 9 = 2860 - 286 = 2574;
2) 23 · 99 = 2300 - 23 = 2277;
3) 18 · 999 = 18000 - 18 = 17982.
7) Деление на 0,5; 5; 50 и 500
Чтобы число разделить на 0,5; 5; 50 или 500, надо это число разделить на 1; 10; 100 или 1000 соответственно, и затем результат умножить на 2.
1) 21600 : 50 = 21600 : 100 · 2 = 432.
2) 42400 : 5 = 42400 : 10 · 2 = 8480.
3) 214000 : 500 = 214000 : 1000 · 2 = 428.
4) 218 : 0,5 = 1218 · 2= 436.
8) Деление на 25; 2,5; 0,25
Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4. Чтобы число разделить на 2,5, надо это число разделить на 10 и умножить на 4. Чтобы число разделить на 0,25, надо это число умножить на 4.
1) 12100 : 25 = 12100 : 100 · 4 = 484.
2) 31 : 0,25 = 31 · 4 = 124.
3) 240 : 2,5 = 240 : 10 · 4= 24 · 4 = 96.
9) Деление на 125; 12,5; 1,25; 0,125
Чтобы число разделить на 125; 12,5; 1,25; 0,125, надо это число умножить на 8 и разделить на 1000; 100; 10; 1 соответственно (см. Приложение I).
1) 4000 : 12,5 = 4000 : 100 · 8 = 320.
2) 9000 : 125 = 9000 : 1000 · 8 = 72.
3) 18 : 1,25 = 144 : 10 · 8 = 14,4.
4) 11 : 0,125 = 11 · 8 = 88.
3. Результаты работы
Изучены приёмы быстрого счёта и показаны на наглядных примерах учащимся 6 класса. Проведена встреча со старшеклассниками, в ходе которой ребята были познакомлены с приёмами быстрого устного счёта. Составлен сборник с разными видами алгоритмов упрощенных вычислений, оформлены буклеты для кабинета математики, памятки быстрого счёта для использования учащимися 5-6 классов на уроке.
4. Заключение
Счет является простым и легким делом только, когда владеешь особыми приемами и навыками. Каждый ученик может улучшить вычислительные навыки с использованием приемов быстрого счета. Наработка вычислительных навыков должна быть систематической, ежедневной, надо стремиться к тому, чтобы как можно больше освоить "хитрых" приемов. В наше время умение быстро и правильно производить в уме сложные вычисления не утратило своей актуальности. Используя различные приемы устного счета, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении отдельных школьных предметов. Такие навыки помогут школьникам в учебе, в быту, в профессиональной деятельности. В заключение хочется подчеркнуть, что устный счет развивает механическую память, быстроту реакции, умение сосредоточиться, а поиски и обоснование новых приемов служат формированию логических умений. Быстрый счет - настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения.
Список литературы
- Виленкин Н.Я. Математика: учебник для 5 кл. - Издательство «Просвещение», 2008.
- Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся, - М. Просвещение, 1986г.
- Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4-8 кл. сред. шк. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 1988.
- Билл Хэндли «Считайте в уме как компьютер», Минск, Попурри, 2009г.
- Минских Е.М. «От игры к знаниям», М., «Просвещение», 1982г.
- Борзенко В.И., Горелов А.Г. Требования к исследовательским работам по математике// Журнал «Исследовательская работа школьников», 2005. №3. .63-64
- Черемных Г.В. Художественное оформление результатов исследовательской работы// Журнал «Исследовательская работа школьников», 2005. №3. с.65-82
- Вроблевский. Как научиться легко и быстро считать. - М. - 1932. - 132с.
- Корнеев А.А. Феномен русского умножения. История.
- Сорокин А.С. Техника счета. М., "Знание", 1976.