Урок "Геометрия в мозаиках" для 8-го класса

Мигунова Наталья Павловна, учитель математики

Разделы: Математика

Класс: 8

Единица содержания:способы составления геометрических мозаик.

Цель:

обучающий аспект

узнать определение мозаики и паркета, понятие правильной геометрической мозаики;
определить, из каких фигур и по какому принципу составляются геометрические мозаики (паркеты) (познавательные универсальные учебные действия);
уметь составлять геометрические мозаики (познавательные универсальные учебные действия);
познакомиться с творчеством голландского художника Маурица Эшера (личностные и познавательные универсальные учебные действия).

развивающий аспект

развивать умение самостоятельно ставить цель и планировать свою учебную деятельность (регулятивные универсальные учебные действия);
развивать математическую речь / понимать значение, грамотно и точно употреблять специальные термины правильные многоугольники, правильная мозаика (познавательные универсальные учебные действия);
развивать логическое мышление при составлении геометрических мозаик, доказательстве теоремы о паркете из четырехугольников (познавательные универсальные учебные действия);
развивать познавательный интерес к математике, выделять ее роль в искусстве и значение в жизнедеятельности людей (личностные универсальные учебные действия);

воспитывающий аспект: воспитывать культуру общения при работе в парах, а также такие качества как ответственность и аккуратность (коммуникативные и регулятивные универсальные учебные действия).

Тип урока: урок-открытие.

Этапы урока:

подготовка к активной учебно-познавательной деятельности,
применение знаний и способов действий,
итог на рефлексивной основе.

Граница знания - незнания

Знают	Не знают
Понятие правильного многоугольника (равностороннего треугольника, квадрата), формулу суммы углов правильного n-угольника	Определение мозаики, способов составления мозаик

План урока «Геометрия в мозаиках»

1. Этап актуализации

Математика - это не только стройная система законов, теорем, задач, но и уникальное средство как познания, так и создания красоты. Художники, скульпторы, архитекторы в своём творчестве применяют знания геометрии. Наука и искусство, словно нити холста, переплетались в полотнах мастеров Возрождения. Живопись переходила в начертательную геометрию, а геометрия - в искусство.

Сегодня мы рассмотрим одно из направлений применения геометрии. Тема урока «Геометрия в мозаиках». У нас сегодня необычный урок. Урок-открытие. Мы попытаемся приоткрыть тайну составления мозаик.

Но для начала вспомним,

какие многоугольники называются правильными? (Многоугольники, у которых все стороны и все углы равны)
назовите градусную меру угла в правильном треугольнике (60°),
в правильном четырёхугольнике, т.е. квадрате) (90°),
в правильном шестиугольнике (120°).

А теперь перейдём к мозаикам.

Мозаики бывают разными. Кирпичная кладка домов, паркет в комнате, кафельная плитка на кухне - все это примеры геометрических мозаик, орнаментов, повторяющиеся элементы которых накрывают всю плоскость. В сущности, мы живем среди геометрических мозаик. С точки зрения портного или обувщика такая мозаика - это выйкройка без потерь.

Посмотрим определение мозаики. Мозаики - регулярное разбиение плоскости, набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними.
Давайте познакомимся с необычными, поражающими воображение мозаиками нидерландского художника графика Мориса Эшера (1898-1972). Элементами его мозаик являются фигуры животных, рыб, птиц, рептилий, находящиеся в определённом порядке по отношению друг к другу. Мозаика «День и ночь» является своего рода психологическим тестом на определение оптимистов и пессимистов. Белые лебеди летят в ночной город, а чёрные- в город, в котором - день. Оба города расположены симметрично друг другу относительно некоторой оси.
Вызывает интерес и удивление работа Эшера «Рептилии». В ней помимо мозаики художник показывает связь между: плоским и пространственным изображениями. Математики всего мира используют работы Эшера для иллюстрации математических идей и закономерностей. Следующая мозаика называется «Метаморфозы»
Идея симметрии объединила целую серию мозаик Эшера в одну группу. Всадники, бабочки, яшерицы, рыбы с кораблями - эти мозаики построены с использованием одних и тех же математических закономерностей. В чём отличие этих мозаик от предыдущих? (Они состоят из повторяющихся фигур, связанных друг с другом в определённом порядке) Сегодня мы будем рассматривать геометрические мозаики, составленные по тому же принципу, что и регулярные мозаики Эшера.
2. Этап получения и применения знаний
Проблема 1: Из каких геометрических фигур можно собрать мозаику? ФОПД - парная Задание 1 Выберите из предложенных фигур те, из которых можно составить мозаику. Фрагмент мозаики выложите на парте. 1-я пара получат квадраты и неправильные треугольники, 2-я пара получает правильные шестиугольники и неправильные треугольники, 3-я пара получает правильные пятиугольники и правильные треугольники. Учащиеся «выкладывают» из предложенных фигур мозаику.
Проверяем выполнение задания с помощью Смарт доски Из каких геометрических фигур можно собрать мозаику? Вывод: Плоскость можно покрыть правильными треугольниками, квадратами, правильными шестиугольниками. Мозаику, составленную из геометрических фигур, называется паркетом. Паркет, составленный из правильных многоугольников, называется правильным. Узлом называется точка схода вершин. Именно узел содержит в себе секрет составления мозаики. Как вы думаете, почему из правильных треугольников можно составить мозаику, а из правильных пятиугольников - нет?
Итак, проблема 2: В каком случае соответственные вершины правильных многоугольников могут соединиться в узле мозаике? Подсказка: чему равна сумма углов, сходящихся в узле? Ответ: сумма углов, сходящихся в узле, должна быть 360°. Вывод: сумма углов, сходящихся в узле, т.е. имеющих общую вершину, должна быть 360 градусов.
Задание 2 В геометрии существует теорема: Для любого четырехугольника существует паркет, состоящий из четырехугольников, равных данному. Иначе говоря, четырехугольником произвольной формы можно заполнить всю плоскость. Составьте паркет из предложенных равных 4-х угольников. Фрагмент паркета выложите на парте. Докажите, что существует паркет, составленный из равных 4-х угольников. (Иллюстрация - на слайде)
Учащиеся на партах составляют паркет из предложенных четырёхугольников и объясняют, почему такой паркет можно составить из любых равных четырёхугольников. (т.к. сумма углов в узле равна сумме углов четырёхугольника, т.е. 360°.
Мы составляли достаточно простые паркеты. Но существуют и паркеты комбинированные. В геометрии доказано, что из правильных фигур можно составить 11 видов паркетов. Задание 3 1) По предложенному образцу составьте аппликацию - фрагмент одного из видов правильных паркетов. 2) Проверьте сумму углов, сходящихся в одном узле. Задание 1-й паре: Сложить мозаику по образцу: Задание 2-й паре: Сложить мозаику по образцу: Задание 3-й паре: Сложить мозаику по образцу: Задание 4-й паре: Сложить мозаику по образцу: Учащиеся комментируют составленные паркеты. Записывают сумму углов в узле.
3. Итог и рефлексия
В чём заключаются секреты составления геометрических мозаик? Геометрические мозаики можно составлять - из правильных многоугольников, - из любых равных четырёхугольников. Сумма углов в узле мозаики должна составлять 360°.