Место и роль темы «Подобие треугольников» в школьном курсе математики
Треугольник является одной из центральных фигур геометрии. На основе понятия «треугольник» в школьный курс геометрии вводятся понятия других фигур. При решении задач используются разнообразные свойства треугольника, которые широко применяются на практике, в том числе и признаки подобия.
Учение о подобии фигур было создано в Древней Греции еще в V-IV веках до нашей эры, оно существует и развивается и в наше время. Можно привести много примеров подобия из повседневной жизни: создание моделей реальных предметов, обувь и одежда, выпускаемые разных размеров, мячи для спортивных игр и др.
В учебнике «Геометрия. 7-9 классы» авторского коллектива: Л.С.Атанасян и др. тема «Признаки подобия треугольников» является третьей темой в курсе 8 класса.
В этом учебнике глава, в которую входит эта тема, называется «Подобные треугольники». В первом параграфе главы «Определение подобных треугольников» дается понятие пропорциональных отрезков, определение подобных треугольников и теорема об отношении площадей подобных треугольников. Этим авторы подвели нас ко второму параграфу «Признаки подобия треугольников», в котором каждый признак выделен в отдельный пункт. В пункте, в свою очередь, изложена теорема и ее доказательство. После второго параграфа следуют параграфы «Применение подобия к доказательству теорем и решению задач» и «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника».
После каждого параграфа и в конце главы представлены задачи по данным темам. Есть задачи повышенной трудности в конце курса 8 класса.
Перед темой «Подобные треугольники» авторы дают на изучение главы «Четырехугольники» и «Площадь». В первой рассматриваются параграфы «Многоугольники», «Параллелограмм и трапеция», «Прямоугольник, ромб, квадрат», во второй - «Площадь многоугольника», «Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции» и «Теорема Пифагора».
После подобия следует глава «Окружность». В ней рассматриваются параграфы «Касательная к окружности», «Центральные и вписанные углы», «Четыре замечательные точки треугольника». Затем - глава «Векторы», в которой представлены темы «Понятие вектора», «Сложение и вычитание векторов», «Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач».
Планируемые результаты.
- Учащиеся вспомнят и закрепят формулировки признаков подобия треугольников;
- научатся решать задачи на применение признаков подобия треугольников в практической деятельности;
- научаться выделять и решать основные типы задач на подобие треугольников по материалам основного государственного экзамена;
- уметь оценивать результаты деятельности, уметь составлять алгоритм действия.
Основные понятия. Подобные треугольники, признаки подобия, коэффициент подобия, пропорциональные отрезки, параллельные прямые, свойства параллельных прямых, прямоугольные треугольники.
Методические пособия: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Издательство «Просвещение».
Анализ учебного пособия авторского коллектива Л.С.Атанасян и др.
| Критерии анализа |
Анализ учебника |
|
|
Тематическое планирование |
Изучение темы распланировано на 5 часов |
|
|
Первый признак подобия треугольников |
2 ч |
|
|
Второй признак подобия треугольников |
1 ч |
|
|
Третий признак подобия треугольников |
1 ч |
|
|
Решение задач из этого параграфа |
1 ч |
|
|
Класс, в котором изучается тема |
Тема изучается в 8 классе |
|
|
Является ли тема самостоятельной главой/параграфом |
Данная тема является самостоятельным параграфом в главе «Подобные треугольники» и идет вторым по счету параграфом |
|
|
После каких тем изучается данная тема |
Изучается после глав «Четырехугольники» и «Площадь», в главе «Подобные треугольники» - после первого параграфа «Определение подобных треугольников» |
|
|
Перед какими темами изучается данная тема |
Изучается перед параграфами «Применение подобия к доказательству теорем и решению задач» и «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника» главы «Подобие треугольников», перед главами «Окружность» и «Векторы» |
|
|
Что должен знать ученик перед изучением темы |
Понятие пропорциональных отрезков; теорему о сумме углов треугольника; теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу |
|
|
Что должен знать на выходе каждый обучающийся |
В результате изучения параграфа учащиеся должны знать признаки подобия треугольников; уметь их доказывать и применять при решении задач |
|
|
Наличие отдельного учебника для теории/практики |
Теоретическая и практическая части находятся в одном учебнике |
|
|
Доступность/понятность материала |
Материал основывается на ранее изученном со ссылками на пункты с нужным теоретическим материалом |
|
|
Выделение правил/определений |
Основные определения, на которые следует обратить внимание, выделены жирным шрифтом; теоремы размещены в рамочки |
|
|
Правильность чертежей |
В учебник включено большое количество рисунков и чертежей.
|
|
|
Наличие разобранных задач по теме |
Разобрана задача № 556 |
|
Практическая часть по теме «Признаки подобия треугольников» в данном учебнике представлена достаточно большим количеством упражнений (№ 550-563 после параграфа и № 608-617, 624, 626, 627 после главы), они структурированы в порядке изучения материала и вырабатывают навыки решения различных задач по геометрии, решение которых основано на применении признаков подобия треугольника.
Присутствуют как задачи базового, так и продвинутого уровней. Базовый уровень должен быть доступен всем учащимся и основывается на базе изученных правил. Задачи продвинутого уровня отмечены в учебнике знаком «*», они требуют от учащихся углубленных знаний по теме. По данной теме в учебнике Л.С.Атанасяна и др. задача № 626 является задачей повышенного уровня, остальные - базового.
Трудности с которыми могут встретиться обучающиеся
При переходе к систематическому курсу геометрии в 8 классе содержание учебника и теоретический уровень изложения материала резко количественно и качественно меняются. В этот момент очень важно применять наглядность. Многие пособия можно сделать своими руками, особенно раздаточный материал, когда дети могут потрогать, попробовать все собственными руками. Далее при изучении признаков равенства и подобия треугольников очень важно дать учащимся почувствовать, что, например, в первом признаке необходимо, чтобы в треугольниках были не просто соответственно равные две стороны и какой-либо угол, а угол, лежащий между ними. В этом случае можно вырезать три треугольника: два из которых равны по первому признаку, а у третьего равны с двумя другими соответственно две стороны, а угол противолежащий. Так же необходимо поступить и при доказательстве второго признака равенства треугольников, чтобы учащиеся не просто доказали теорему, а на собственном опыте убедились в ее справедливости и понимали какие соответственно равные элементы они должны увидеть в треугольниках, чтобы доказать их равенство.
Трудности возникают, и когда ученики встречаются с требованием доказывать очевидное. Аксиомы просто приводят их в замешательство. А дальше на основе этих аксиом приходится доказывать такие же очевидные вещи. Зачем? Этот вопрос - одна из сложностей при изучении геометрии. Чтобы избежать ее необходимо объяснять, что такое определение, свойство, признак, теорема и доказательство, какая между ними связь и какие между ними отличия, чтобы ученик совершенно четко представлял структуру изучаемого предмета, а не заучивал теоремы и доказательства наизусть, совершенно не понимая их сути.
Тема урока: "Признаки подобия треугольников".
Класс: 8 класс.
Учебное пособие: Л.С.Атанасян и др. Геометрия 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. М., 2010.
Тип урока: урок открытия нового знания.
Цель урока: Формирование знаний о признаках подобия треугольников, а также умений применять их в простейших случаях.
Задачи урока:
образовательные:
- Формулировка признаков подобия треугольников;
- Описание основной идеи доказательства признаков подобия треугольников;
- Выделение теоретического базиса доказательств признаков подобия треугольников.
развивающие:
- Развитие внимания, исследовательских навыков;
- Развитие логического мышления;
- Формирование умения работы с дополнительными источниками
воспитательные:
- Развитие навыков общения;
- Формирование умения работы в парах и группах.
Техническое оборудование: компьютер, проектор, экран (интерактивная доска), презентация.