Автор проекта:
Глазунова Полина,
ученица 9 класса
Наставник:
Липина И.В.,
учитель математики
Введение
Самые гениальные открытия в науке способны изменить человечество и его существование до неузнаваемости. Изобретенная вакцина может спасти миллионы людей, создание оружия, наоборот, отнимет жизни тысячи. Человек когда-то обходился без электричества, а ныне не может представить жизнь без него. Но есть и такие открытия, которые мало кто знает и изучает. Одними из таких открытий - фракталы.
Вам наверняка не доводилось слышать это удивительное и необычное слово, но что же такого скрыто в этом термине?
Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты не имеют между собой ничего общего. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них - еще меньшие, то есть ветка подобно всему дереву.
Таким же образом устроена и кровеносная система в теле человека, а также многие другие вещи на нашей планете. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше от нас и ближе к воде, чем остальные. Подобное свойство объектов американский известный математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты - фракталами (от латинского fractus - изломанный).
Цель проекта: изучение мира фракталов и возможности применения их в нашем мире.
Задачи:
- Ознакомиться с биографией математиков, которые ввели данный термин.
- Изучить новое понятие в математике - фракталы.
- Узнать какие бывают типы фракталов.
- Понять и определить, как в жизни можно применить полученные знания о фракталах.
Практическая значимость проекта: Сделать брошюру с типами фракталов, встречающихся в природе.
Продукт проекта: буклет.
I. Теоретическая часть
1.1. Краткая биография Бенуа Мандельброта
Бенуа Мандельброт (Benoit B. Mandelbrot, 20.11.1924 - 14.10.2010) - математик из Франции, получивший известность благодаря открытию фракталов. Бенуа преподает математические науки, является почетным преподавателем Йельского Университета, а также научным сотрудником компании «IBM», Баттельским членом Тихоокеанской Национальной лаборатории.
Бенуа Мандельброт родился в Варшаве в семье евреев из Литвы. Когда Бенуа было 11 лет, его семья переехала во Францию. В этой же стране он получил образование. В Университете Парижа Бенуа Мандельброт получил степень доктора математических наук в 1952г.
Книга «Фрактальная геометрия природы» является величайшей его работой, благодаря которой он прославился.
Бенуа работал в исследовательском центре компании IBM в начале своей научной деятельности. В то время сотрудники центра трудились над передачей данных на расстояние. Во время исследований ученые столкнулись с проблемой больших потерь, которые возникали из-за шумовых помех. У Бенуа появилась сложная и очень важная задача - понять, как предсказать возникновение шумовых помех в электронных схемах, когда метод вероятности оказывается неэффективным.
При просмотре результатов измерений шума, Мандельброт обнаружил одну странную закономерность - графики шумов в разном масштабе выглядели одинаково. Идентичная картина наблюдалась независимо от того, был ли это график шумов за одну минуту, час или неделю. При изменении масштаба графика, картина каждый раз не менялась.
В семидесятых годах прошлого века благодаря Бенуа Мандельброту мир узнал о новом понятии «фрактал».
Первый рисунок фрактала представлял собой графическое объяснение множества Мандельброта, которое появилось благодаря исследованиям Гастона Мориса Жюлина.
У этого французского математика возник вопрос о том, как будет выглядеть множество, если построить его на основе простой формулы.
При обработке последовательности, которая состояла из большого количества значений, Бенуа перенёс полученные результаты на график. На рисунке можно увидеть, что он получил.
После это изображение было раскрашено и оно стало одним из самых известных изображений фракталов, созданные человеком.
1.2. Понятие «Фрактал»
Фракта́л (лат. fractus - дроблёный, сломанный, разбитый) - множество, обладающее свойством самоподобия (объект, который совпадает точно или приближённо с частью самого себя, т.е. иметь такую же форму, что и одна или более частей).
Слово «фрактал» можно употреблять не только в качестве математического термина. Фракталом также называется предмет, который обладает одним из, ниже указанных, свойств:
~ Обладает сложной структурой во всех масштабах, т.е. при увеличении масштаба можно увидеть одинаково сложную картину.
~ Является самоподобным или приближённо самоподобным.
~ Обладает метрической размерностью.
1.3. Типы фракталов
Конструктивные (геометрические) фракталы
Геометрические фракталы можно построить с помощью простого алгоритма. Для начала нам нужны две геометрические фигуры, одна из которых будет основой, а другая фрагментом. На первом этапе будет изображаться основа будущего фрактала. После некоторых из её частей заменяются фрагментами, взятыми в нужном масштабе. Затем у полученной фигуры некоторые части, заменяются на фигуры, подобные фрагменту и т.д. Если мы продолжим проделывать этот алгоритм, то в конце у нас получится фрактал.
Можно рассмотреть этот процесс на примере кривой Коха (рисунок выше).
За основу кривой Коха можно взять любую кривую. Но мы ограничимся самым простым случаем - отрезком. Фрагмент - ломаная, изображенная сверху на рисунке. После первой части алгоритма изначальный отрезок совпадет с фрагментом, затем каждый из составляющих его отрезков сам заменится на ломаную, которая подобна фрагменту, и т.д. На рисунке изображены первые четыре этапа этого процесса.
Динамические (алгебраические) фракталы
- Это разновидность фракталов, которые можно построить, если использовать различные алгебраические формулы.
- Их получают с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах.
- Самыми известными из них являются множества Мандельброта и Жюлиа.
Стохастические фракталы
уществует ещё одна разновидность фракталов - стохастические. Их можно получить, если в процессе построения хаотически менять какие-либо его части. При этом очень часто получаются объекты, которые можно наблюдать в природе. Например: изрезанные линии берега, несимметричные деревья и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются для моделирования рельефа местности и поверхности моря.
2. Практическая часть
Применение знаний о фракталах
На сегодняшний день теория фракталов применяется в различных сферах деятельности человека. Помимо научного исследования объекта и упоминавшейся выше фрактальной живописи.
Фракталы применяются в теории информации с целью сжатия графических данных (в основе здесь используется главное свойство фракталов -самоподобие. Для того, чтобы сохранить незначительный фрагмент рисунка и преобразования, с возможностью которых можно получить оставшиеся части, необходимо значительно меньше памяти, нежели с целью хранения всего файла).
Добавляя в формулы, изначального вида фракталы, можно получить такие, которые невероятно точно передают настоящие объекты - рельеф земной поверхности, гор, изрезанные линии водоёмов, что с успехом используется в физике, географии, а также компьютерной графике с целью достижения наибольшего подобия с реальными объектами.
В радиоэлектронике за последние десять лет стали производить антенны, обладающие фрактальными формами. Занимая мало места, они гарантируют высококачественный приём сигнала.
Экономисты применяют фракталы с целью отображения кривых колебаний денежных валют (Мандельброт открыл данное свойство более 30 лет назад).
Инженеры проектируют звуковые системы в виде раковины.
Заключение
В абсолютно всем, что нас охватывает, мы зачастую видим беспорядок, однако на самом деле это безупречная форма, рассмотреть которую нам могут помочь фракталы. Природа - наилучший архитектор, безупречный создатель таких работ. Если в каком-то месте мы не видим её закономерности, это означает, что её нужно искать в ином масштабе. Все люди без исключения стремятся подражать естественным формам. Инженеры проектируют звуковые системы в форме раковин, создают антенны с геометрией снежинок и т.д. Учёные убеждены в том, что фракталы хранят в себе ещё достаточно тайн, которые людям в скором времени предстоит раскрыть.
Список литературы и интернет-ресурсов
Текст:
- http://fraktalsworld.blogspot.com/p/blog-page.html
- https://www.popmech.ru/science/8906-krasota-povtora-fraktaly/#part5
- https://3dnews.ru/754657
- https://www.koob.ru/mandelbrot/
- https://www.liveinternet.ru/users/lifestyleforyou/post153645471/
Картинки:
