Общие рекомендации
Мне очень хотелось показать ребятам при решении задач по геометрии (№13), что в них общего и как лучше понять и решить эти задачи.
Все задачи по определению углов в пространстве сводятся к задаче по определению углов на плоскости. Углы же на плоскости, как правило, определяются из треугольников.
Для вычисления углов в треугольнике используют теорему косинусов (если известны все три стороны), теорему синусов (если известны угол и две стороны). В прямоугольном треугольнике углы определяются через отношения сторон.
1.Угол между прямыми
1. Если прямые, между которыми требуется определить угол, пересекаются, на этих прямых строится треугольник с вершиной в точке пересечения. Две другие вершины выбираются из соображений удобства, так чтобы длины сторон получившегося треугольника легко вычислялись. Теперь угол между заданными прямыми - есть угол в треугольнике.
2. Если прямые, между которыми требуется определить угол, скрещиваются (не пересекаются и не параллельны), одну из этих прямых параллельным переносом сдвигают так, чтобы прямые пересеклись. При таком переносе углы между прямыми не изменяются. Какую прямую и в каком направлении сдвигать определяют из соображений удобства, так чтобы треугольник, построенный на этих прямых с вершиной в точке пересечения был достаточно определен. Теперь задача сводится к определению угла между пересекающимися прямыми.
Найти угол между прямыми AE и SB в пирамиде ABCDS, если E середина ребра SD.
Переносим прямую SB на прямую EO. Они параллельны, т.к. EO средняя линия в треугольнике BDS, а SB его основание. Теперь задача сводится к вычислению ∠ E в треугольнике EAO.
3. Часто при параллельном переносе прямых для образования замкнутого треугольника требуется достраивать трехмерное тело.
В треугольной прямой призме ABCDA1B1C1 требуется найти угол между прямыми BC1 и A1C.
Достраиваем призму вверх, как показано на рисунке. Переносим прямую A1C на A2C1. Эти прямые параллельны. Замыкаем треугольник по передней грани призмы BC1A2 и вычисляем в полученном треугольнике угол ∠ С1.
4. Перепендикулярность скрещивающихся прямых иногда можно выяснить при помощи теоремы о трех перпендикулярах. Если ортогональная проекция одной из прямых на плоскость (содержащую вторую прямую) перепендикулярна второй прямой, то сама первая прямая также перпендикулярна второй.
Определить угол между прямыми BD1 и A1D в кубе ABCDA1B1C1D1.
Прямая AD1 является ортогональной проекцией BD1 на плоскость AA1D. Отрезки AD1 и A1D перпендикулярны как диагонали квадрата. Следовательно, A1D также перпендикулярна AD1.
5. Векторный метод. В тех случаях, когда легко определить направляющие векторы каждой из заданных прямых, можно вычислить угол между ними с помощью скалярного произведения векторов. Угол между направляющими векторами прямых есть угол между прямыми. Этот метод хорошо работает в параллелепипедах. Угол между векторами определяется по формуле, приведенной в Приложении.
Определить угол между прямыми BD1 и MN в кубе ABCDA1B1C1D1. Стороны куба равны 2. Точки M и N середины сторон AA1 и BC соответственно.
Положим начало координат в точке A. Выберем оси координат как показано на рисунке. Точки M, N, B, D1 имеют координаты M(0;0;1), N(2;1;0), B(2;0;0), D1(0;2;2). Векторы (2;1;-1), (-2;2;2). 
. 
Угол между прямыми должен быть меньше 90o, следовательно, окончательно получаем 
.