Возраст: 13-14 лет.
Продолжительность занятий: 4 ч.
Форма занятия: занятие исследовательского типа.
Оборудование: интерактивная доска, компьютеры или ноутбуки, с установленными программами «Математический конструктор», «Excel», карточки с заданиями практических и лабораторных работ.
Цель: формирование представлений о необычных кривых на примере циклоиды.
Задачи:
- образовательная: формирование представлений о циклоиде;
- развивающая: формирование исследовательских умений, развитие умений создавать динамичные модели в математическом конструкторе;
- воспитательная: формирование интереса к исследовательской деятельности.
Ход занятия
1. Организационное начало занятия
Представьте, что вы едите на мотоцикле (или велосипеде). На пути попадается камешек, который застревает в протекторе колеса. Провернувшись несколько кругов с колесом, куда он полетит, когда выскочит из протектора? Против движения мотоцикла или по направлению?
2. Эксперимент
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать, по какой же линии двигался камешек, застрявший в протекторе, другими словами, какова траектория движения камешка, застрявшего в протекторе колеса?
Давайте проведем небольшой эксперимент.
Для эксперимента воспользуемся спирографом.
Круг спирографа - модель колеса. Зафиксируем на нем гриф карандаша. Эта точка будет символизировать камешек на колесе. Изобразите прямую линию. Прокатите круг по этой прямой. Какую линию нарисует точка на окружности.
Получившаяся кривая называется циклоидой. Название дал Галилео Галилей. Дословный перевод: «происходящий от круга»; «напоминающий круг».
3. Объяснение
А теперь вернемся к нашей задаче.
Рассмотреть модель «Куда полетит камень?» (Математический конструктор. «Моделирование реальных объектов и явлений»)
Нажмём кнопку «Старт/Стоп» и запустим движение колеса. Нажмём несколько раз кнопку «ОТСКОЧИЛ КАМЕНЬ». Куда летят все камни, отскочившие от колеса? (В разных направлениях по ходу его движения.)
Остановим колесо, очистим все следы от камней. Нажмём снова на кнопку «ОТСКОЧИЛ КАМЕНЬ». Что можно сказать о траектории камня? (Можно повторить эксперимент несколько раз при разных положениях колеса). (Траектория всякий раз представляет собой прямую, которая проходит через точку B - верхнюю точку колеса (точнее, траекторией будет луч - «половинка» этой прямой)).
Что можно сказать о связи этой прямой с циклоидой? (Это касательная к циклоиде в точке M).
Движение тела всегда начинается по касательной к той траектории, по которой оно двигалось. А какова будет траектория (линия) движения камешка на протекторе колеса?
Движение тела всегда начинается по касательной к той траектории, по которой оно двигалось. Касательная - это прямая имеющая одну общую точку с кривой.
Касательная к циклоиде всегда направлена по направлению движения. Значит, по направлению движения полетит и камушек.
Кто-нибудь из вас катался по лужам на велосипеде без заднего крыла? Что вы испытывали?
Мокрая полоса на футболке - подтверждение описанного нами факта о направлении движения камешка.
Циклоиду начали пристально изучать в начале XVIII в.
А начали ее изучение с поиска ответа на вопрос: какая траектория приведет тело, движущееся под под действием силы тяжести, из одной точки в другую?
Это задача, положившая начало такому разделу математики, как дифференциальное исчисление.
В 1696 году Иоганн Бернулли получил циклоиду как решение задачи о брахистохроне - кривой наискорейшего спуска (брахистос - «кратчайший», хронос - «время»). Задача формулируется так: среди всех плоских кривых, соединяющих точки A и B, найти ту, двигаясь по которой под действием силы тяжести материальная точка быстрее всего попадёт из A в B. Оказалось, что решением её является циклоида.
Галилей тоже пришел к выводу, что спуск по четвертине окружности будет быстрее. Он вписывал в нее ломанные линии и заметил, что при увеличении числа звеньев время спуска уменьшается.
Христиан Гюйгенс доказал, что циклоида является ещё и таутохроной (тауто - «то же самое»). Это означает, что скатывание по циклоиде из точки A в точку B является не только самым быстрым, но ещё и не зависит от положения начальной точки A на циклоиде. Т.е. шары, запущенные по циклоиде из точек A1 и A2, достигают точки B одновременно! Напомним ещё раз, что скатываются они под воздействием силы тяжести. Таутохронность циклоиды позволила Гюйгенсу сконструировать высокоточные часы с изохронным маятником. В этих часах период колебания маятника не зависел от его начального отклонения, поскольку груз на конце маятника двигался по циклоиде.
Циклоида - первая трансцендентая кривая, которая была «точно измерена». Кристофер Рен (архитектор и математик, строитель знаменитого купола собора св. Павла в Лондоне) в 1658 году доказал, что длина одной арки циклоиды равна 2r, где r - радиус производящей окружности. Это произвело огромное впечатление на современников, так как до этого не было известно ни одной кривой, для которой было бы найдено точное алгебраическое выражение её длины. Декарт даже высказывал мнение, что «мы, люди, не можем найти соотношение между прямыми и кривыми». Торричелли и Роберваль посчитали площадь под аркой циклоиды, используя для этого принцип Кавальери, - она оказалась равна утроенной площади производящего круга 3πr2 .
Мы с вами катили круг по прямой и получили циклоиду, как траекторию движения точки, лежащей на окружности. Можем назвать прямую и круг «родителями» циклоиды, а есть ли другие родственники у циклоиды?
Давайте продолжим наш эксперимент. Изобразим траекторию движения точки, лежащей внутри круга, если круг движется по все той же прямой.
Мы получили укороченную циклоиду.
Всем известная игрушка Ванька-Встанька основана на движении внутренней точки круга, катящегося по прямой. Нижняя часть болванчика имеет форму полушара, в ней налит свинец, поэтому ее центр тяжести расположен очень низко. Если фигурку наклонить, то мы будем иметь дело с движением внутренней точки круга, катящегося по прямой.
Если наклоненную фигурку предоставить самой себе, то она будет двигаться так, чтобы ее центр опустился как можно ниже, т.е. Ванька-Встанька всегда будет возвращаться к вертикальному положению.
4. Эксперимент
Продолжим экспериментировать. Попробуем катить наш круг по окружности. Как вы думаете, как линия должна получится?
Рассмотрим несколько случаев.
Пусть радиус неподвижного круга больше радиуса подвижного (эпициклоида).
Уменьшим радиус подвижного круга (эпициклоида).
Пусть радиус подвижного круга равен радиусу неподвижного (кардиоида).
Попробуйте построить линию, прокатив круг меньшего радиуса по внутренней части большего круга (гипоциклоида).
Исследуйте вид кривых, получаемых в зависимости от отношения k = R/r , R - радиус неподвижной окружности, r - радиус окружности, катящейся по ней. Для исследования используйте интерактивную модель, разработанную в математическом конструкторе. Результаты эксперимента занесите в таблицу 1.
Таблица 1. Исследование циклоиды
|
Значение k
|
Вид кривой |
Название |
|
Окружность катится по внешней стороне неподвижной окружности (эпициклоида) |
||
|
k = 1 |
|
кардиоида |
|
k = 2 |
|
нефроида |
|
k - несократимая дробь |
|
Эпициклоида является замкнутой кривой |
|
k - иррациональное число |
|
Эпициклоида не замкнутая |
|
Окружность катится по внутренней стороне неподвижной окружности (гипоциклоида) |
||
|
k = 2 |
|
Диаметр неподвижной окружности (пара Туси) |
|
k = 3 |
|
Дельтоида |
|
k - несократимая дробь |
|
Замкнутая гипоциклоида |
|
k - иррациональное число |
|
Гипоциклоида не замкнутая |
, n - количество полных обращений катящейся окружности для замыкания кривой
5. Лабораторная работа
Ребята работают в парах в математическом конструкторе по созданию динамической модели (инструкция к работе Куда полетит камень (1c.ru)). Педагог осуществляет педагогическое сопровождение деятельности обучающихся, проведение зарядок для глаз, перерывов в работе за компьютером.
6. Подведение итогов. Анкета «Обратная связь»
Учащиеся отвечают на вопросы анкеты, например, такие как «Степень моей включенности в работу….», «Что мне мешало быть включенным в работу…», «Что помогало….», «Мои основные ошибки в ходе занятия…», «Что раздражало, вызывало напряжение…», «Я реализовал себя на занятии …», «Мои пожелания педагогу…» и т.п.