Введение. Без истории нет современности
1.1. Геометрия - один из самых красивых, полезных и сложных школьных предметов. К тому же, это одна из самых древних наук, которая возникла на основе практической деятельности людей, а в дальнейшем сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением свойств геометрических фигур. Эту науку называют Евклидовой геометрией. В современном ее преподавании сохранились все каноны построения.
Начиная изучать курс геометрии в 7 классе, современный школьник должен понимать главные принципы: от понятия к определению, от аксиомы к теореме, от теории к практике. Приведу пример небольшой экскурсии в историю математики, которую провожу фрагментами на уроках геометрии в первой четверти.
1.2 Древнегреческий ученый Евклид создал великий рукописный труд «Начала», который состоит из 13 книг. К ним традиционно присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках. Схожесть первой книги с учебником геометрии очевидна. Начинается она с семи определений простейших геометрических объектов, затем следуют пять постулатов (к пятому вернемся чуть позже). Далее сформулированы девять аксиом, которые имеют характер общих утверждений, относящихся в равной мере, как к числам, так и к непрерывным величинам. Например:
3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
За аксиомами следуют три теоремы, представляющие задачи на построение. Затем рассматриваются различные случаи равенства и неравенства треугольников, теоремы о параллельных прямых и параллелограммах, теоремы о равенстве площадей треугольников и параллелограммов.
Заканчивается первая книга теоремой Пифагора.
1.3 Этот монументальный труд содержит небольшое предложение, которое веками тревожило умы и вершило судьбы великих математиков. Речь идет о пятом постулате - последнем и самом сложном высказывании, из включенных Евклидом в аксиоматику. В современном учебнике эта аксиома параллельности прямых прозвучит проще: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, [лежащей с данной прямой в одной плоскости,] и не пересекающей ее. Долго ученые думали, что пятый постулат можно доказать как теорему, опираясь на другие факты. В конце ХIII века у некоторых геометров возникла мысль о невозможности такого доказательства. Решение этого вопроса было найдено великим русским математиком Николаем Ивановичем Лобачевским (1792-1856). Как и его предшественники, Лобачевский пытался выводить различные следствия из отрицания: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят, по крайней мере, две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости, и не пересекающие ее. Следствия, рано или поздно, должны были привести к противоречию. Лобачевский доказал много теорем, не обнаружил логических противоречий, и на основании этого сделал вывод: можно построить другую геометрию, отличную от геометрии Евклида, которая так же непротиворечива.
Бурное развитие математики в ХIХ веке привело к ряду замечательных открытий геометрии. Выдающимся немецким математиком Б.Риманом (1826-1866) была создана новая геометрия, обобщающая геометрии Евклида и Лобачевского.
1.4 По-видимому, все определили и во всем «поставили точку». Геометрия, как наука, имеет свою богатейшую историю, строгость и стройность доказательств теорем развивает человеческий разум, красота решения отдельных задач иногда восхищает. Но почему сегодня школьный курс геометрии не вызывает интереса у большинства учащихся, наоборот, создает трудности при обучении. Результаты ОГЭ и ЕГЭ показывают низкий уровень подготовки выпускников по геометрии. Эти вопросы возникли давно и остались по сегодняшний день:
- Почему в современной науке геометрия стала догмой?
- Почему в современной школе при изучении геометрии проблемы возникают у большинства учащихся?
- Можно ли что-то изменить при изучении геометрии?
Размышляя над этими вопросами, решая и подбирая задачи к урокам во всех классах, готовя старшеклассников к экзамену по математике, сделала некоторые выводы.
Приемы изучения начал геометрии
2.1. Свойства геометрических фигур изучали и изучают по принципу «новое из старого». Бесспорно, построение чертежей и доказательство новых фактов основывается на аксиомах. И вот уже на первых теоремах встает вопрос. Что важнее: строгость изложения или доступность?
Для учителя, наверное, так:
| СТРОГОСТЬ |
ДОСТУПНОСТЬ |
Для ученика - наоборот:
| СТРОГОСТЬ |
ДОСТУПНОСТЬ |
Давайте в школьном учебнике увидим:
| СТРОГОСТЬ |
ДОСТУПНОСТЬ |
СТРОГОСТЬ |
Содержание учебника «Геометрия. 7 класс» А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир, соответствующего ФГОС основного общего образования 2010 г., доказывает целесообразность подобного подхода. В основу данного учебника положен наглядно-дедуктивный принцип в сочетании с частичной аксиоматизацией. Главное, считают авторы - научить учащихся применять свойства геометрических фигур при решении практических и теоретических задач.
2.2. В геометрии очень важны задания на «подумай». Очень интересны вопросы со словами «пронаблюдайте», «пофантазируйте». Например:
Решение: Тринадцатиугольник должен быть невыпуклым. Значит число вершин, которые образуют стороны, пересекающиеся с прямой, нечетное. Тогда, чтобы ломаная была замкнутой, по меньшей мере, две вершины лежат по одну сторону от данной прямой. Поэтому есть хотя бы одна сторона не пересекающаяся с прямой.
б) Диагонали правильного пятиугольника образуют правильный пятиугольник (пятиконечная звезда). Верно ли это для произвольного пятиугольника?
Решение: Нет, так как нарушается параллельность пар сторон и диагоналей. Не сохраняется равенство углов.
2.3. В учебнике «Геометрия 7-9» Левона Сергеевича Атанасяна и его соавторов есть задачи-теоремы, доказательство которых помогает решить другие задачи. Но их не так уж и много. А ведь ключевые задачи-теоремы объединяют целые классы. Схему набора геометрических задач по некоторой теме или определенного класса можно представить так:
Стрелы - это идеи, методы «принизывающие» задачи учебника.
Рассмотрим некоторые задачи.
Технология полного усвоения материала
«Все новое - это хорошо забытое старое». Поговорка в вопросах обучения и образования очень актуальная. В начале своей педагогической деятельности часто использовала метод «укрупнения дидактических единиц». Сейчас требования ФГОС ставят перед учителем задачи формировать у учащихся универсальные учебные действия. Овладение практически значимыми умениями и навыками направлено на решение математических и нематематических задач. Мой личный опыт показал, что иногда объединять несколько теорем (тем) на одном уроке геометрии очень полезно и важно. Это учит применять основные геометрические понятия и методы решения задач из различных разделов курса, в том числе задач, не сводящихся к непосредственному применению известных алгоритмов. Предлагаю вашему вниманию технологическую карту урока «Отношение 2 к 1». На котором в предметном направлении закрепляются теоремы о средней линии треугольника, свойство медиан треугольника, свойства подобия треугольников. Этот урок рефлексии проводился мной в 8 классе уже несколько раз, причем в соответствии с календарным планированием в третьей четверти и в конце года при организации итогового повторения. Соответствует двум действующим учебникам геометрии под редакцией Л.С.Атанасяна и авторской группы А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир.
Информационная карта урока
Заключение
Рассмотренные примеры, показывают, что система ключевых задач и различные технологии на уроках геометрии позволяет найти более короткий (а значит рациональный) путь решения геометрической задачи, запомнить теоретические факты блоком, сделать очевидным план построения, решить сложную олимпиадную задачу. При этом, ни в коей мере не нарушается главный принцип последовательности геометрического доказательства. А главное, расширяет возможности для формулирования новых задач, то есть делает геометрию живой.
Список литературы
- Геометрия 7-9. Учебник для ОУ. Л.С.Атанасян, Р.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Поздняк и др. М.: Просвящение, 2008.
- Геометрия. 7 класс . Учебник для ОО. А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир, Вентана-Граф, 2016.
- Геометрия. Дидактические материалы. А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, Е.М.Рабинович, М.С. Якир, Вентана-Граф, 2013.
Интернет-ресурсы
- ru.wikipedia.org/wiki/Начала_Евклида
- ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия_Лобачевского
- school-collection.edu.ru