Это интересно знать (Материал для внеклассной работы)

Часть 1. За страницами учебника математики

1. Как в древности выполняли арифметические действия

Применявшиеся в древности обозначения чисел были более или менее пригодны для результатов счёта. А вот для выполнения арифметических действий с ними они никуда не годились. Попробуйте быстро сосчитать чему равно частное от деления СССIV на XVIII.

Впрочем, со сложением и вычитанием ни у египтян, ни у вавилонян особых затруднений не было. Египетскому писцу, чтобы выполнить сложение, достаточно было нарисовать столько раз знаки и I, сколько они встречаются в обеих записях вместе:

ՈՈՈ ՈՈII

+ ՈՈIII = ՈՈՈՈIII ՈՈՈII

Получилась запись, из которой видно, что ответом служит число 75.

Хуже было дело с умножением. И тут египтяне придумали интересный ход: они заменили умножение на любое число удвоением, то есть сложением числа с самим собой. Например, если надо умножить число 34 на 5, то поступали так: умножали 34 сначала на 2, потом ещё раз на 2. Записывали столбиками (конечно, в своих обозначениях чисел).

1	34	Так как 5 = 4 + 1, то для получения ответа оставалось сложить числа, стоящие в правом столбике против цифр 1 и 4. Сложив 134 и 34, получали ответ 170. Таким образом можно было умножить число 34 на 7: 347 = 34 (4+2+1) = 136 + 68 + 34 = 238.
2	68
4	136

Интересно, что похожий способ умножения применялся через несколько тысяч лет русскими крестьянами.

Пусть требуется умножить 37 на 32. Составляли два столбца чисел - один удвоением, начиная с числа 37, другой раздвоением (то есть делением на два), начиная с числа 32:

37	32	Произведение пар чисел каждой строки дают одно и то же число: 37•32 = 1184•1 = 1184. Но как умножить числа, если второй множитель нельзя раздвоить? Например, 47•37? Поступали так же, как и в приведенном примере: лишь при нечётных делимых сначала вычитали 1, а потом уже делили пополам и отмечали звёздочкой те строчки, в которых это приходилось делать (в том числе и последнюю).
74	16
148	8
296	4
592	2
1184	1

47	37	(*)	Если бы при делении на 2 чисел второго столбца остатков не было, то произведение равнялось бы числу 1504. В этом случае мы действовали бы так, как будто вначале было 47•36, а в третьей строке не 188•9, а 188•8. Мы отбросили по одному разу 47 и 188, а поэтому верное произведение получится, если к числу 1504 прибавить 188 и 47, то есть 47•37 = 1504 + 188 + 47 = 1739.
94	18
188	9	(*)
376	4
752	2
1504	1	(*)

По другому пути пошли в Вавилоне. Так как у вавилонян было 50 различных чисел первого разряда (тогда нуля они ещё не знали), то таблица умножения содержала слишком много произведений и запомнить её не было никакой возможности. Поэтому они сосчитали раз и навсегда с помощью повторного сложения произведения и полученные результаты занесли в таблицы. При умножении каждый раз смотрели в таблицы умножения и находили в них ответ. Вообще вавилоняне любили составлять таблицы. У них были таблицы квадратов и кубов, обратных чисел и даже сумм квадратов и кубов.

А как же считали греки и римляне? Они производили вычисления с помощью абака. Так как камешек в абаке называли калькулюс, то счёт на абаке получил название калькуляция. И сейчас подсчёт цен на товары называется калькуляцией, а человек, выполняющий этот подсчёт - калькулятором. Но после того, как четыре десятка лет назад были сделаны маленькие приборы, выполняющие сложные расчёты за секунды, название «калькулятор» перешло к ним.

Вам всем известны наши счёты, которые представляют также абак, в котором место полосок на доске занимают проволоки для единиц, десятков и т.д.

2. Задачи древности

Разумеется, и египтянам, и вавилонянам, и грекам, и римлянам счёт был нужен не сам по себе. С его помощью они решали различные задачи, возникавшие у них в хозяйственных и военных делах. Мы расскажем про арифметические задачи, которые тогда решали. Многие из них напоминали известную задачу:

Летела стая гусей, а навстречу им ещё один гусь. Гусь говорит: «Здравствуйте, сто гусей». А ему отвечают: «Нас не сто гусей, а меньше. Если бы нас было столько, да ещё столько, да ещё полстолька, да ещё четверть столька, да ты гусь, вот тогда нас было бы сто гусей.» Сколько гусей было в стае?

Мы, современные школьники, прочтя задачу, сразу составим уравнение: х + х + ½х + ¼х +1 = 100 и, если хорошо умеем справляться с дробями, найдём из него х = 36.

Но в Древнем Египте про то, что неизвестные величины можно обозначать буквами, а потом работать с ними как с известными величинами, и не подозревали. С дробями тоже были сложности. Однако, египтяне придумали метод решения таких задач, который назвали «методом кучи».

Прочитав эту задачу, египетский писец Ахмес сказал бы: «Считай с четырёх». Это значило: «Считай, что в стае было четыре гуся». Тогда простой подсчёт показывает, что столько, да ещё столько, да ещё полстолька, да ещё четверть столько дают 4+4+2+1 = 11 гусей, а нужно получить не 11, а 99 гусей (100 - 1). Так как 99:11=9, то надо взятое вначале число 4 умножить на 9. Тогда получится правильный ответ 36.

Поскольку вначале делалось неправильное предположение, что число гусей равнялось 4, этот способ называется теперь «Правилом ложного положения».

Много интересных задач содержат и вавилонские клинописные таблички. О вавилонской науке мы знаем больше, чем о египетской. Дело в том, что папирус, на котором писали египтяне, был очень непрочным, да ещё и горючим материалом. А вавилоняне писали, выдавливая острой палочкой клинья на табличке, сделанной из мягкой глины. Когда табличка была заполнена, её обжигали в печи и она становилась твердой как кирпич. До нас дошли сотни табличек математического содержания, из которых можно судить о том, что они владели более обширными знаниями, чем египтяне. В Вавилоне умели решать более трудные задачи. Такие задачи теперь тоже решают с помощью уравнений, но более сложных, чем те, к которым приводят задачи из египетских папирусов.

Некоторые древние задачи были несложные, но вели к интересным выводам. Например: «В доме 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый колос даёт 7 растений, на каждом растении вырастает 7 мер зерна. Сколько всех вместе?»

Интересно, что в автора задачи не интересует, о каких вещах или предметах идёт речь, - важно только их общее количество.

В задаче надо сосчитать сумму пяти чисел, из которых каждое следующее в 7 раз больше предыдущего. Чтобы решить её надо только терпеливо умножать на 7 и складывать. Но такие суммы часто встречаются и получили особое название: сумма геометрической прогрессии. В 18 веке итальянский математик Леонардо Пизанский, по прозвищу Фибоначчи, привел в своей книге задачу, почти не отличающуюся от египетской: «Семь старушек отправились в Рим. У каждой из них по семи ослов, каждый осёл несёт по семи мешков, в каждом мешке по семи хлебов, в каждом хлебе по семи ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всего предметов?»

И на Руси решались похожие задачи. Ещё в 19 веке в деревнях загадывали: «Шли семь старцев, у каждого старца по семи костылей. На каждом костыле по семи сучков. На каждом сучке по семи кошелей. В каждом кошеле по семи пирогов. В каждом пироге по семи воробьёв. Сколько всего?»

А ведь это та же задача Ахмеса! Прожившая тысячелетия, она сохранилась почти неизменной!

3. Рассказы о геометрии

1. Натягиватели верёвок

В жарком засушливом Египте успешно вести земледелие можно только на землях, расположенных вблизи реки Нил. Поэтому вся эта земля была поделена между крестьянами. И поля отделялись друг от друга межами. Каждую весну Нил разливался и межи смывались. Особые чиновники занимались межеванием земель.

Греки, посещавшие Египет, называли их гарпедонаптами, то есть натягивателями верёвок. Но надо было знать, в каком направлении и между какими точками их натягивать. А для этого нужен план полей. Так возникла наука о землемерии - геометрия.

Давайте мысленно перенесёмся на 4 тысячи лет назад и представим себе египетских мастеров, которые собираются строить пирамиду. С чего начать?

Возьмём кусок папируса и нарисуем на нём чертёж постройки. Теперь надо выбрать место для постройки и наметить основание, фундамент пирамиды. Для этого воткнём в землю отвесный шест. В полдень, когда тень от шеста будет короче всего, она покажет нам направление на север. Наметим на земле линию север - юг натягивая верёвку. Теперь проведём линию восток-запад, для чего берётся верёвка с двумя колышками и проводятся две дуги. Через точки пересечения дуг проводим прямую. Так как линии пересекаются по прямым углом, мы можем изготовить угольник, который используем в дальнейшем. Теперь на земле надо наметить основание пирамиды. По форме оно такое же, как на чертеже. Только, конечно, во много раз увеличенное. Можно начинать строить. Для того, чтобы каменные «кубики», из которых складывается пирамида, становились правильно, пользуются отвесом - верёвочкой с гирькой.

Чтобы узнать, сколько каменных блоков пойдёт на сооружение пирамиды, египтянам надо было научиться вычислять её объём, но они это умели.

2. Как Фалес посрамил гарпедонаптов?

В 6 веке до новой эры из далёкой Греции в Египет прибыл Фалес из Милета, чтобы на месте познакомиться с египетской наукой - геометрией.

Египтяне задали ему трудную задачу: как найти высоту одной из громадных пирамид? Фалес нашёл для этой задачи простое и красивое решение. Он воткнул длинную палку вертикально в землю и сказал: «Когда тень от этой палки будет той же длины, что и сама палка, тень от пирамиды будет иметь ту же длину, что и высота пирамиды».

Чтобы сообразить это, Фалес должен был уже много знать про геометрические фигуры. А дальше, вероятно Фалес рассуждал так: солнце от Земли очень далеко, поэтому идущие от него и к пирамиде лучи можно без большой ошибки считать параллельными.

Много интересного рассказывают о Фалесе: он знал, как измерить расстояние до корабля, стоящего на якоре далеко от берега, он первым посоветовал мореплавателям ориентироваться по Полярной звезде, умел предсказывать лунные и солнечные затмения. Но главная его заслуга в том, что он первым начал игру в «Докажи», которой всё время занимаются математики. Для египтян способ определения высоты пирамиды, предложенный Фалесом, был ещё одной вещью, которую надо заучить наизусть, а потом передавать ученикам, говоря: «Делай, как делается». А Фалес поставил вопрос: «Почему это так?» - и стал не только наблюдать свойства геометрических фигур, но и выводить одни свойства из других.

3. Эратосфен измеряет Землю

Математика всегда решала задачи, которые ставила перед ней жизнь, практика. Очень интересную задачу решил Эратосфен, живший в 3 веке до н.э.в Египте и прославившийся методом отыскания простых чисел, он впервые определил размеры земного шара. Он знал, что в день летнего солнцестояния - самый длинный день года - в г. Сиена, что южнее г. Александрия, солнце заглядывает на дно самых глубоких колодцев. А в Александрии в этот день дно колодцев остаётся в тени. Там солнечные лучи падают на землю не отвесно, как в Сиене, а под углом и освещают только стенку колодца. Эратосфен измерил угол между направлением солнечного луча и стенкой колодца. Оказалось, что этот угол равен 1/25 развернутого угла, значит, расстояние между городами в 25 раз меньше длины меридиана, соединяющего полюса земного шара.

Солнце по-разному освещает колодцы в Александрии и Сиене только потому, что земля не плоская, а скорее всего круглая, как шар. Наверное, так рассуждал Эратосфен. Расстояние между городами было известно, поэтому умножив его на 25, Эратосфен определил длину меридиана. Погрешность, сделанная Эратосфеном, оказалась невелика.

Заключение

Греческие учёные не случайно так много занимались математикой. «Математика есть ключ ко всем наукам», - говорил один из них и, конечно, был прав. Ведь всё, что можно измерить, выразить числами, становится материалом для применения математики. Наверное, поэтому другой знаменитый греческий учёный - Платон - над дверью дома, в котором он занимался с учениками, велел сделать такую надпись: «Не обучившийся геометрии пусть не входит в эту дверь».

Гиппократ написал первый в мире учебник по геометрии. Но он не дошёл до нас. Может он сгорел во время пожара в Александрийской библиотеке. Всё больше и больше геометрических утверждений открывали греческие учёные, сложнее становились их рассуждения. Чтобы не разыскивать эти утверждения по разным книгам, надо было свести их вместе и написать учебник, содержащий всю сложившуюся к тому времени науку о фигурах.

Этот гигантский труд выполнил живший примерно 2300 лет тому назад александрийский геометр Евклид. Евклид написал книгу «Начала», которая благодаря своим высоким качествам вытеснила все другие учебники по геометрии. Каждое свойство фигур Евклид доказывал и делал это так замечательно, что многие современные учебники по геометрии больше, чем половину берут прямо от Евклида.

Представляете, каким гениальным человеком был этот учёный, если его книга приносит пользу спустя более 20 веков после того, как она была написана.

Часть 2. Олимпиадные задачи (олимпиада «Олимпус»)